Udvarias számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A 15 = 4 + 5 + 6 udvarias felbontást szemléltető Young-ábra

A számelmélet területén az udvarias számok olyan pozitív egész számok, melyek felírhatók két vagy több egymást követő pozitív egész szám összegeként. A többi pozitív egész szám udvariatlan.[1][2] Az udvarias számokat lépcsős számoknak, esetleg lépcsőszámoknak is nevezik, mivel az udvarias számok partíciókra bontását vizuálisan szemléltető, francia stílusú Young-ábrák lépcsőkre emlékeztetnek.[3][4][5] Ha az összegben szereplő számok mind nagyobbak egynél, az összeget trapézszámoknak is nevezik, mivel trapéz formában elhelyezkedő pontok mintázatát jelképezi.[6][7][8][9][10][11][12]

A számok egymást követő egészek összegére való felbontásával és az ilyen jellegű felbontások számának meghatározásával behatóan foglalkozott Sylvester,[13] Mason,[14][15] Leveque[16] és számos kortárs matematikus is.[1][2][17][18][19][20][21][22][23]

Példák és jellemzés[szerkesztés]

Az első néhány udvarias szám:

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (A138591 sorozat az OEIS-ben).

Az udvariatlan számok pontosan megegyeznek a kettőhatványokkal.[13] Ez a Lambek–Moser-tétel folyománya, mely szerint az n-edik udvarias szám éppen ƒ(n + 1), ahol

Udvariasság[szerkesztés]

Egy pozitív szám udvariassága vagy udvariasságának mértéke meghatározza, hogy hányféleképpen lehet kifejezni egymást követő egész számok összegeként. Minden x egész szám udvariassága megegyezik x egynél nagyobb páratlan osztóinak a számával.[13] Az 1, 2, 3, … számok udvariasságának mértéke:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... (A069283 sorozat az OEIS-ben).

Például 9 udvariassága 2, mert két páratlan >1 osztója van, a 3 és önmaga, így két udvarias reprezentációja:

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

15 udvariasságának mértéke 3, mivel három páratlan osztója van, a 3, 5 és 15, így (ahogy a cribbage-játékosoknak ismerős lehet)[24] három udvarias reprezentációja létezik:

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Egy pozitív szám udvariasságának kiszámítására egyszerű módszer, ha felbontjuk prímtényezőire, a 2-nél nagyobb prímtényezők kitevőihez egyet adunk, összeszorozzuk az így kapott számokat és kivonunk az eredményből egyet. Például a 90 udvariasságának mértéke 5, mert ; a 3 és 5 kitevői 2, illetve 1; a módszert alkalmazva .

Az udvarias reprezentáció megszerkesztése a páratlan osztókból[szerkesztés]

A páratlan osztók és az udvarias reprezentációk közötti kapcsolat megértéséhez tekintsünk egy x számot az y > 1 páratlan osztóval. Ekkor y egymást követő egész szám helyezkedik el x/y körül (így átlaguk pontosan x/y), melyek összege x:

A tagok némelyike nulla vagy negatív lehet. A nullákat el lehet hagyni, a negatív tagokat pedig fel lehet használni pozitív tagok semlegesítésére, ami x udvarias reprezentációjához vezet. (Az y > 1 követelmény miatt az udvarias reprezentáció biztosan egynél több tagból áll; y = 1-re ugyanez a konstrukció csak a triviális egytagú x = x eredményt adná.) Például az x = 14 udvarias szám egyetlen nemtriviális páratlan osztója a 7. Ebből adódik a 14/7 = 2 körül elhelyezkedő 7 egymást követő szám:

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

Az első tag, a −1 „kiüti” a későbbi +1-et, a második tag, a nulla pedig elhagyható, ami a következő udvarias kifejtéshez vezet:

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

Megfordítva, x minden udvarias kifejtése megkapható a fenti konstrukció segítségével. Ha egy kifejtés páratlan számú tagból áll, x/y a középső érték, ha pedig páros számú tagból, melynek minimális értéke m, akkor kiterjeszthető olyan egyedi módon egy az eredetivel megegyező összegű, páratlan számú tagból álló hosszabb sorozattá, hogy hozzávesszük a következő 2m − 1 darab számot: −(m − 1), −(m − 2), ..., −1, 0, 1, ..., −(m − 2), −(m − 1). Ezen kiterjesztés után újra x/y lesz a középső tag. A konstrukció formájából adódóan a szám udvarias kifejtései és egynél nagyobb páratlan osztói között 1:1 megfeleltetés hozható létre, amivel bijektív bizonyítás adható az udvarias számok udvariasságának karakterizációjára.[13][25] Kicsit általánosabban, ugyanez a gondolatmenet 2:1 megfeleltetést hoz létre az egymást követő egész számok összegeként történő felírások számára (megengedve a nullát, a negatív számokat és az egy tagból álló felírásokat) és a páratlan osztók (az 1-et is beleérve) között.[15]

Az eredmény másik általánosítása, hogy bármely n szám esetén megegyezik az n k darab páratlan nagyságú partícióra való osztásainak száma az n legfeljebb k darab különböző, egymást követő számokból álló „futamokra” való osztásainak számával.[13][26][27] Itt egy-egy „futam” egy vagy több egymást követő értéket jelent olyan módon, hogy a rákövetkező kisebb, illetve nagyobb értékek nem tagjai az adott partíciónak; például a 10 következő particionálása: 10 = 1 + 4 + 5 két futamból áll, az 1-ből, illetve a 4 + 5-ből. Egy udvarias felbontás egyetlen futamból áll, és az egyetlen, d értékből álló partíció ekvivalens n felbontásával a d ⋅ (n/d) szorzatra, így tehát az eredmény k = 1 speciális esetéből ismét kiviláglik az udvarias felbontások és a páratlan szorzótényezőkre (itt beleértve a triviális n = n-t és a triviális páratlan 1 faktort) való bontások egyenértékűsége.

Trapézszámok[szerkesztés]

Ha egy udvarias felbontás 1-gyel kezdődik, az így kifejezett szám egy háromszögszám:

Máskülönben a szám két háromszögszám különbségeként írható fel:

Utóbbi esetben az így kifejezett szám egy trapézszám. A trapézszám tehát olyan udvarias szám, melyben az udvarias felbontás minden tagja nagyobb egynél. Az udvarias számok közül kizárólag azok a számok nem trapézszámok, melyek egyetlen nemtriviális páratlan osztóval rendelkező háromszögszámok; ennek oka, hogy a korábban leírt bijekciónak megfelelően a páratlan osztó felel meg a háromszögű felbontásnak és nem létezik más udvarias felbontás. Ezért a nem-trapéz udvarias számok éppen a prímszámok és kettőhatványok szorzataként felírható számok. Jones és Lord megfigyelése szerint[12] pontosan kétfajta ilyen alakú háromszögszám létezik (A068195 sorozat az OEIS-ben):

  1. a páros tökéletes számok 2n − 1(2n − 1), melyek egy 2n − 1 Mersenne-prím és a legközelebbi kettőhatvány felével való szorzatból képződnek, továbbá
  2. a 2n − 1(2n + 1) alakú szorzatai egy 2n + 1 Fermat-prímnek a legközelebbi kettőhatvány felével.

Például a tökéletes számok közül a 28 = 23 − 1(23 − 1), a másik fajtából pedig a 136 = 24 − 1(24 + 1) mindkettő udvarias háromszögszámok, melyek nem trapézszámok. A sejtések szerint véges számú Fermat-prím létezik (melyek közül csak ötöt – 3, 5, 17, 257 és 65,537 – fedeztek fel eddig), de végtelen sok Mersenne-prím – ha utóbbi igaz, akkor szintén végtelen sok udvarias nem-trapézszám létezik.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. a b Adams, Ken (March 1993), "How polite is x?", The Mathematical Gazette 77 (478): 79–80, DOI 10.2307/3619263.
  2. a b Griggs, Terry S. (December 1991), "Impolite Numbers", The Mathematical Gazmértékesette 75 (474): 442–443, DOI 10.2307/3618630.
  3. Mason, John; Burton, Leone & Stacey, Kaye (1982), Thinking Mathematically, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-10238-3.
  4. Stacey, K. & Groves, S. (1985), Strategies for Problem Solving, Melbourne: Latitude.
  5. Stacey, K. & Scott, N. (2000), "Orientation to deep structure when trying examples: a key to successful problem solving", in Carillo, J. & Contreras, L. C., Resolucion de Problemas en los Albores del Siglo XXI: Una vision Internacional desde Multiples Perspectivas y Niveles Educativos, Huelva, Spain: Hergue, pp. 119–147, <http://staff.edfac.unimelb.edu.au/~kayecs/publications/2000/ScottStacey-OrientationTo.pdf>. Hozzáférés ideje: 2016-04-11 Archiválva 2008. július 26-i dátummal a Wayback Machine-ben.
  6. Gamer, Carlton; Roeder, David W. & Watkins, John J. (1985), "Trapezoidal numbers", Mathematics Magazine 58 (2): 108–110, DOI 10.2307/2689901.
  7. Jean, Charles-É. (March 1991), "Les nombres trapézoïdaux", Bulletin de l’AMQ: 6–11, <http://www.recreomath.qc.ca/art_trapezoidaux_n.htm>.
  8. Haggard, Paul W. & Morales, Kelly L. (1993), "Discovering relationships and patterns by exploring trapezoidal numbers", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 24 (1): 85–90, DOI 10.1080/0020739930240111.
  9. Feinberg-McBrian, Carol (1996), "The case of trapezoidal numbers", Mathematics Teacher 89 (1): 16–24.
  10. Smith, Jim (1997), "Trapezoidal numbers", Mathematics in School 5: 42.
  11. Verhoeff, T. (1999), "Rectangular and trapezoidal arrangements", Journal of Integer Sequences 2, Article 99.1.6, <http://www.emis.de/journals/JIS/trapzoid.html>.
  12. a b Jones, Chris & Lord, Nick (1999), "Characterising non-trapezoidal numbers", The Mathematical Gazette 83 (497): 262–263, DOI 10.2307/3619053.
  13. a b c d e Sylvester, J. J. & Franklin, F (1882), "A constructive theory of partitions, arranged in three acts, an interact and an exodion", American Journal of Mathematics 5 (1): 251–330, DOI 10.2307/2369545. In The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester (December 1904), H. F. Baker, ed. Sylvester defines the class of a partition into distinct integers as the number of blocks of consecutive integers in the partition, so in his notation a polite partition is of first class.
  14. Mason, T. E. (1911), "On the representations of a number as a sum of consecutive integers", Proceedings of the Indiana Academy of Science: 273–274.
  15. a b Mason, Thomas E. (1912), "On the representation of an integer as the sum of consecutive integers", American Mathematical Monthly 19 (3): 46–50, DOI 10.2307/2972423.
  16. Leveque, W. J. (1950), "On representations as a sum of consecutive integers", Canadian Journal of Mathematics 2: 399–405, DOI 10.4153/CJM-1950-036-3,
  17. Pong, Wai Yan (2007), "Sums of consecutive integers", College Math. J. 38 (2): 119–123.
  18. Britt, Michael J. C.; Fradin, Lillie & Philips, Kathy et al. (2005), "On sums of consecutive integers", Quart. Appl. Math. 63 (4): 791–792.
  19. Frenzen, C. L. (1997), "Proof without words: sums of consecutive positive integers", Math. Mag. 70 (4): 294.
  20. Guy, Robert (1982), "Sums of consecutive integers", Fibonacci Quarterly 20 (1): 36–38, <http://www.fq.math.ca/Scanned/20-1/guy.pdf>.
  21. Apostol, Tom M. (2003), "Sums of consecutive positive integers", The Mathematical Gazette 87 (508): 98–101.
  22. Prielipp, Robert W. & Kuenzi, Norbert J. (1975), "Sums of consecutive positive integers", Mathematics Teacher 68 (1): 18–21.
  23. Parker, John (1998), "Sums of consecutive integers", Mathematics in School 27 (2): 8–11.
  24. Graham, Ronald; Knuth, Donald & Patashnik, Oren (1988), "Problem 2.30", Concrete Mathematics, Addison-Wesley, p. 65, ISBN 0-201-14236-8.
  25. Vaderlind, Paul; Guy, Richard K. & Larson, Loren C. (2002), The inquisitive problem solver, Mathematical Association of America, pp. 205–206, ISBN 978-0-88385-806-6.
  26. Andrews, G. E. (1966), "On generalizations of Euler's partition theorem", Michigan Mathematical Journal 13 (4): 491–498, DOI 10.1307/mmj/1028999609.
  27. Ramamani, V. & Venkatachaliengar, K. (1972), "On a partition theorem of Sylvester", The Michigan Mathematical Journal 19 (2): 137–140, DOI 10.1307/mmj/1029000844.

További információk[szerkesztés]