Köbszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A köbszámok (teljes köbök, vagy teljes harmadik hatványok) az n3 = n·n·n alakban írható számok, ahol n egész. Figurális számok, ezen belül poliéderszámok: a kocka alakban elrendezett pontok darabszámaiként is definiálhatók. Elnevezésükben a köb a latin cubus, vagyis kocka szóból származik.

Az első néhány pozitív köbszám az 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000...

A köbszámok tulajdonságai[szerkesztés]

  • Végtelen sok köbszám van.
  • Köbszám ellentettje is köbszám.
  • Köbszámok szorzata is köbszám, mert (a·a·a)·(b·b·b)=(a·b)·(a·b)·(a·b), mely köbszám.
  • A köbszámok a négyzetszámok többszörösei, de van olyan négyzetszám, amely köbszám is egyben.
  • Két (nem feltétlenül különböző) pozitív köbszám összege sohasem köbszám. Ez a nagy Fermat-tétel 3 kitevőre vonatkozó speciális esetének következménye. (Többtagú összegek esetében viszont már lehetséges ez: n3-öt önmagával összeadva (n3)2-szer, (n3)3 adódik, ami persze köbszám. De három köbszám összege is lehet köbszám, pl. 216=125+64+27, azaz 63=53+43+33).
  • Ha a pozitív páratlan számok sorozatát egy, kettő, három, … hosszú blokkokra osztjuk, akkor az egyes blokkok összege rendre kiadja a pozitív köbszámokat:

(Az első néhány középpontos hatszögszám: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271.)

  • Minden természetes szám felírható legfeljebb kilenc nem negatív köbszám összegeként.
  • Minden racionális szám felírható három olyan tört összegeként, amelyekben a számláló és a nevező is köbszám, és ennyire szükség is van.

Tízes számrendszerben a köbszámok a következő végződésűek lehetnek: 000, 1, 8, 7, 4, 125, 375, 625, 875, 6, 3, 2 vagy 9 a következő szabályok szerint:

  • Ha a szám utolsó számjegye 0, akkor a köbe 000-ra végződik és az azt megelőző számjegyek is köbszámot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 1, akkor a köbe is 1-re végződik.
  • Ha a szám utolsó számjegye 2, akkor a köbe 8-ra végződik, és az azt megelőző számjegyek 4-gyel oszható számot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 3, akkor a köbe 7-re végződik.
  • Ha a szám utolsó számjegye 4, akkor a köbe is 4-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel nem osztható páros számot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 5, akkor a köbe 125-re, 375-re, 625-re vagy 875-re végződik.
  • Ha a szám utolsó számjegye 6, akkor a köbe is 6-ra végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztva 1 maradékot adó páratlan számot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 7, akkor a köbe 3-ra végződik.
  • Ha a szám utolsó számjegye 8, akkor a köbe 2-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztva 3 maradékot adó páratlan számot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 9, akkor a köbe is 9-re végződik.

Generátorfüggvény[szerkesztés]

Minden valós számsorozathoz formális hatványsor rendelhető, . Ez az adott számsorozat generátorfüggvénye. Ebben az összefüggésben a köbszámok sorozatát nullától kezdik:

Ezzel a köbszámok generátorfüggvénye

ahol .

Források[szerkesztés]

  1. Gyemidovics, B. P.: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Bp., 1971. 8. o.
  2. Weisstein, Eric W.: Apéry constant (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715

További információk[szerkesztés]