Prímtényező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Az ábra megmutatja a 864 szám prímtényezős felbontását. Az eredményül kapott prímtényezők röviden így írhatók fel: 25 × 33

A számelméletben egy pozitív egész szám prímtényezőin vagy törzstényezőin a szám prímszám osztóinak összességét értjük.[1] Egy pozitív egész szám prímfelbontása: a szám prímtényezőinek listázása, annak figyelembevételével, hogy hányszor szerepelnek a szám osztói között. A számelmélet alaptétele kimondja, hogy minden pozitív egész szám egyféleképpen bontható fel prímtényezők szorzatára.[2]

A prímtényezős felbontást a rövidség érdekében hatványformában szokás felírni. Például

melyben a 2, 3 és 5 prímtényezők multiplicitása 3, 2 illetve 1.

A felbontást a szám kanonikus alakjának is nevezik (pl. ).

Egy n szám p prímtényezőjét tekintve p multiplicitása az a legnagyobb a kitevő, amire pa osztója n-nek.

Egy n pozitív egész számra a prímtényezők száma és a prímtényezők összege (a multiplicitást nem tekintve) olyan számelméleti függvények, melyek additívak, de nem totálisan additívak.[3]

Négyzetszámok[szerkesztés]

A négyzetszámok arról ismerhetőek meg, hogy minden prímtényezőjük páros multiplicitással rendelkezik. Például a 144 (a 12 négyzete) prímtényezői:

Ezeket átrendezve:

Mivel minden prímtényező páros számúszor jelenik meg, az eredeti szám kifejezhető valamely kisebb szám négyzeteként. Hasonlóan, a köbszámok prímtényezőinek multiplicitása a 3 többszöröse s.í.t.

Relatív prímek[szerkesztés]

A közös prímtényezővel nem rendelkező pozitív egész számokat relatív prímeknek (angolul: coprime) nevezik. Ha a és b pozitív egész számok relatív prímek, ha legnagyobb közös osztójuk lnko(ab) = 1. Az euklideszi algoritmussal meghatározható, hogy két szám relatív prím-e prímtényezőik ismerete nélkül is; az algoritmus a számjegyek száma szerint polinomiális időben fut le.

Az 1 szám minden pozitív egésszel és önmagával is relatív prím. Ennek oka, hogy nincsenek prímtényezői, ő az üres szorzat. Tehát lnko(1, b) = 1 bármely b ≥ 1.

Kriptográfiai alkalmazásai[szerkesztés]

A számok prímfelbontása titkosítási rendszerek kriptográfiai biztonságának fontos részét képezi;[4] a probléma ismereteink szerint a polinomiálisnál hosszabb időt vesz igénybe; viszonylag könnyű olyan problémát megalkotni, aminek megoldása az univerzum életkoránál hosszabb időt venne igénybe jelenlegi algoritmusainkkal.

Omega-függvények[szerkesztés]

Az ω(n) (omega) megmutatja az n szám különböző prímtényezőinek számát, míg a Ω(n) (nagy omega) függvény, az n szám összes prímtényezőjének a számát[2] Ha

,

akkor

.

Például 24 = 23 × 31, így ω(24) = 2 és Ω(24) = 3 + 1 = 4.

  • ω(n) értéke n = 1, 2, 3…-ra 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, … (A001221 sorozat az OEIS-ben).
  • Ω(n) értéke n = 1, 2, 3…-ra 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, … (A001222 sorozat az OEIS-ben).

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime factor című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Jensen, Gary R.. Arithmetic for Teachers: With Applications and Topics from Geometry. American Mathematical Society (2004) 
  2. a b Riesel, Hans (1994), Prime numbers and computer methods for factorization, Basel, Switzerland: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
  3. Melvyn B. Nathanson. Additive Number Theory: the Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (1996). ISBN 0-387-94656-X 
  4. Menezes, Alfred, van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A.. Handbook of Applied Cryptography. CRC Press (1996. október 1.). ISBN 0-8493-8523-7