Többszörösen tökéletes számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A számelméletben a többszörösen tökéletes szám (multiply perfect number, multiperfect number vagy pluperfect number) a tökéletes szám fogalmának általánosítása.

Legyen k és n pozitív egész szám. Az n szám akkor és csak akkor k-tökéletes (vagy k-szorosan tökéletes), ha pozitív osztóinak összege, tehát az osztóösszeg σ(n) = k · n; egy szám tehát akkor tökéletes, ha 2-tökéletes. A k-tökéletes számokat (különösen k>2-re) többszörösen tökéletes számoknak nevezzük. 2014-es adat szerint k=1 és k=11 között ismerünk k-tökéletes számokat.[1]

Beláthatók a következők:

  • Ha p prímszám, n p-tökéletes és p nem osztója n-nek, akkor pn (p+1)-tökéletes. Ebből az is következik, hogy n akkor és csak akkor olyan 3-tökéletes szám, ami 2-vel osztható, de 4-gyel nem, ha n/2 páratlan tökéletes szám – amilyenből egyetlen sem ismert.
  • Ha 3n 4k-tökéletes és 3 nem osztója n-nek, akkor n 3k-tökéletes.

A legkisebb k-tökéletes számok[szerkesztés]

A következő táblázat bemutatja a legkisebb k-tökéletes számokat k ≤ 11 -ig (A007539 sorozat az OEIS-ben):

k A legkisebb k-tökéletes szám Megtalálója Vélhetően mindet megtalálták?[1] Becsült számuk[1]
1 1 ókori igen, bizonyítottan 1
2 6 = 21 · 31 ókori nem, végtelen sok van
3 120 = 23 · 31 · 51 ókori igen 6
4 30240 = 25 · 33 · 51 · 71 René Descartes, 1638 körül igen 36
5 14182439040
= 27 · 34 · 51 · 71 · 112 · 171 · 191
René Descartes, 1638 körül igen 65
6 154345556085770649600
= 215 · 35 · 52 · 72 · 111 · 131 · 171 · 191 · 311 · 431 · 2571
Robert Daniel Carmichael, 1907 igen 245
7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000
= 232 · 311 · 54 · 75 · 112 · 132 · 171 · 191 · 231 · 311 · 371 · 431 · 611 · 711 · 731 · 891 · 1811 · 21411  · 5994791
TE Mason, 1911 csaknem biztosan ~515
8 ~2,34111439263306338... · 10161 Paul Poulet, 1929[1] talán igen ~1140
9 ~7,9842491755534198... · 10465 Fred Helenius[1] nem ~2200
10 ~2,86879876441793479... · 10923 Ron Sorli[1] nem ~4500
11 ~2,51850413483992918... · 101906 George Woltman[1] nem ~10 000

Például a 120 3-tökéletes, mert 120 osztóinak összege
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 · 120.

A k-tökéletes számok sorozata[szerkesztés]

Az alábbi táblázat bemutatja a k-tökéletes számok sorozatait k=6-ig.

k Az első néhány k-szorosan tökéletes szám OEIS
2 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, ... A000396
3 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160, ... A005820
4 30240, 32760, 2178540, 23569920, 45532800, 142990848, ... A027687
5 14182439040, 31998395520, 518666803200, 13661860101120, ... A046060
6 154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, ... A046061

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Az X-nél kisebb többszörösen tökéletes számok darabszáma minden pozitív ε-ra.[2]
  • Az egyetlen ismert többszörösen tökéletes szám az 1.

A k egyes értékei[szerkesztés]

Tökéletes számok[szerkesztés]

Az olyan n számok, amikre σ(n) = 2n, tökéletes számok.

3-tökéletes számok[szerkesztés]

Az olyan n számok, amikre σ(n) = 3n 3-tökéletesek.(triperfect). Egy páratlan 3-tökéletes számnak legalább 1070-nek kellene lennie, legalább 12 különböző prímtényezővel, melyek legnagyobbika meghaladja a 105-t.[3]

6-tökéletes számok[szerkesztés]

Az ismert értékei itt találhatók. Valószínűleg a számuk véges, és a lista teljes.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. ^ a b c d e f g Flammenkamp
  2. Sándor et al (2006) p.105
  3. Sandor et al (2006) pp.108–109

További információk[szerkesztés]