Giuga-számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A számelmélet területén a Giuga-számok olyan összetett n számok, melyek különböző pi prímtényezőire mind igaz, hogy , vagy ami ezzel ekvivalens, minden különböző pi prímtényezőre .

A Giuga-számokat a kevéssé ismert Giuseppe Giuga olasz matematikusról nevezték el, a prímszámokkal kapcsolatos Agoh–Giuga-sejtéshez kapcsolódnak.

Definíciók[szerkesztés]

A Giuga-számok Takashi Agoh által megadott alternatív definíciója szerint egy n összetett szám akkor és csak akkor Giuga-szám, ha a

kongruencia teljesül, ahol B egy Bernoulli-szám, pedig az Euler-függvény.

Giuseppe Giuga a fentivel ekvivalens megfogalmazása szerint: egy n összetett szám akkor és csak akkor Giuga-szám, ha a

kongruencia teljesül, továbbá teljesül, hogy

Az eddig ismert n Giuga-számok valójában a következő erősebb feltételt is kielégítik:

Példák[szerkesztés]

A Giuga-számok sorozata így kezdődik:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, … (A007850 sorozat az OEIS-ben).

Például a 30 Giuga-szám, mivel prímtényezői 2, 3 és 5, melyekre igazak a következők:

  • 30/2 − 1 = 14, ami osztható 2-vel,
  • 30/3 − 1 = 9, ami osztható 3-mal és
  • 30/5 − 1 = 5, ami osztható 5-tel.

Tulajdonságai[szerkesztés]

A Giuga-számok prímtényezőinek különbözőknek kell lenniük. Ha osztója -nek, abból következik hogy , ahol az szám osztható -vel. Ezért nem lenne osztható -vel, így tehát nem Giuga-szám.

A fentiek szerint kizárólag négyzetmentes számok lehetnek Giuga-számok. Például a 60 prímtényezői 2, 2, 3 és 5, továbbá 60/2 − 1 = 29, ami nem osztható 2-vel. Ezért a 60 nem Giuga-szám.

A prímszámok négyzetei tehát ki vannak zárva, de a diszkrét félprímek sem lehetnek Giuga-számok. Mivel ha és pímszámok, akkor , tehát nem lesz osztója -nek, ezért nem Giuga-szám.

Az összes ismert Giuga-szám páros. Ha létezik páratlan Giuga-szám, legalább 14 prímszám szorzataként kell előállnia. Nem ismert, hogy létezik-e végtelen sok Giuga-szám.

Paolo P. Lava (2009) sejtése szerint a Giuga-számok az n' = n+1 differenciálegyenlet megoldásai, ahol n' megegyezik n aritmetikai deriváltjával. (Négyzetmentes számokra , , tehát n' = n+1 épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, n-nel megszorozva.)

José Mª Grau és Antonio Oller-Marcén megmutatták, hogy egy n egész akkor és csak akkor Giuga-szám, ha valamely a > 0-ra kielégíti az n' = a·n + 1 differenciálegyenletet, ahol n' megegyezik n aritmetikai deriváltjával. (Itt is igaz, hogy n' = n+1 épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, n-nel megszorozva.)

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Irodalom[szerkesztés]