Harmonikus analízis

A harmonikus analízis a matematikának egy olyan ága, amely egy függvény és annak frekvenciában való megjelenítése közötti összefüggések vizsgálatával, egyszerű függvények szuperpozíciójával történő előállíthatóságának kérdéseivel foglalkozik. A matematikának e területe a francia matematikus és fizikus, Jean-Baptiste Joseph Fourier által bizonyos fizikai jelenségek értelmezése során vizsgált trigonometrikus sorokkal (wd)^[1] kapcsolatosan alakult ki. A huszadik század elején Riesz Frigyes, Fejér Lipót és Haar Alfréd magyar matematikusokat is foglalkoztatta a téma kutatása. A frekvencia-reprezentációt a valós vonalon lévő függvények Fourier-transzformációjával, periodikus függvényeknél (wd)^[2] pedig Fourier-sorokkal találjuk meg. Ezen transzformációk más tartományokra való általánosítását általában Fourier-analízisnek nevezik, bár ezt a kifejezést néha felcserélhetően használják a harmonikus analízissel. A harmonikus analízis hatalmas témává vált, és olyan változatos területeken alkalmazzák, mint a számelmélet, az ábrázoláselmélet (wd)^[3], a jelfeldolgozás (wd), a kvantummechanika, az árapályelemzés és az idegtudomány.

A "harmónia"(wd) kifejezés az ógörög harmonikos szóból származik, ami azt jelenti, hogy "zenében jártas".^[4] A fizikai sajátérték-problémákban olyan hullámokat kezdett jelenteni, amelyek frekvenciái egymás egész számú többszörösei, akárcsak a hangjegyek harmonikusainak frekvenciái, de a kifejezést az eredeti jelentésén túl általánosították.

A klasszikus Fourier-transzformáció az Rⁿ-n még mindig folyamatban lévő kutatási terület, különös tekintettel az általánosabb objektumok Fourier-transzformációjára, mint például a temperált eloszlásokra. Például, ha bizonyos követelményeket támasztunk egy f eloszlásra, megpróbálhatjuk ezeket a követelményeket lefordítani f Fourier-transzformációjával. A Paley–Wiener-tétel egy példa erre. A Paley–Wiener-tétel (wd)^[5] azonnal azt jelenti, hogy ha f a kompakt támogatás nullától eltérő eloszlása (ezek közé tartoznak a kompakt támogatás (wd)^[6] függvényei), akkor a Fourier-transzformációja soha nem támogatott kompaktan (vagyis ha egy jel korlátozott az egyik tartományban, akkor korlátlan a másikban). Ez a bizonytalansági elv nagyon elemi formája harmonikus elemzési környezetben.

A Fourier-sorok kényelmesen tanulmányozhatók a Hilbert-terek kontextusában, amely kapcsolatot teremt a harmonikus analízis és a funkcionálanalízis között. A Fourier-transzformációnak négy változata létezik, a transzformáció által leképezett terektől függően:

diszkrét/periodikus-diszkrét/periodikus: diszkrét Fourier transzformáció (wd),
folyamatos/periodikus-diszkrét/periodikus: Fourier-sor,
diszkrét/periodikus-folyamatos/periodikus: diszkrét idejű Fourier-transzformáció (wd),
folytonos/periodikus–folyamatos/periodikus: Fourier-transzformáció.

Absztrakt harmonikus analízis[szerkesztés]

A harmonikus analízis egyik legmodernebb ága, melynek gyökerei a XX. század közepére nyúlnak vissza, a topológiai csoportok (wd)^[7] analíziséhez. Az alapvető motivációs ötletek a különféle Fourier-transzformációk, amelyek általánosíthatók Hausdorff lokálisan kompakt (wd)^[8] topológiai csoportokon meghatározott függvények transzformációjára.

Az abeli lokálisan kompakt csoportokra vonatkozó elméletet Pontrjagin (wd)^[9] kettősségnek (wd) nevezik.^[10]

A harmonikus analízis ennek a kettősségnek és a Fourier-transzformációnak a tulajdonságait vizsgálja, és megpróbálja kiterjeszteni ezeket a jellemzőket különböző beállításokra, például a nem Abel-féle Lie-csoportok (wd).^[11] esetére.

Az általános nem-abeli lokálisan kompakt csoportok esetében a harmonikus elemzés szorosan kapcsolódik az egységes csoportreprezentációk elméletéhez. Kompakt csoportok esetében a Peter–Weyl-tétel (wd)^[12] megmagyarázza, hogyan kaphatunk harmonikusokat, ha minden reprezentáció ekvivalenciaosztályából választunk egy irreducibilis reprezentációt (wd). A felharmonikusoknak ez a megválasztása élvezi a klasszikus Fourier-transzformáció néhány hasznos tulajdonságát a konvolúciók pontszerű szorzatokba való átvitelében, vagy más módon az alapul szolgáló csoportstruktúra bizonyos megértésében. Lásd még: Nem kommutatív harmonikus elemzés(wd).

Ha a csoport sem nem Abel-féle, sem nem kompakt, akkor jelenleg nem ismert általános kielégítő elmélet (a „kielégítő” legalább olyan erős, mint a Plancherel-tétel (wd)^[13]). Sok konkrét esetet azonban elemeztek, például az SL_n-t. Ebben az esetben a végtelen dimenziójú reprezentációk (wd) döntő szerepet játszanak.

Egyéb ágak[szerkesztés]

A laplace-i sajátértékek és sajátvektorok vizsgálata tartományokon (wd), sokaságokon (wd) és (kisebb mértékben) gráfokon szintén a harmonikus analízis egyik ágának tekinthető. Lásd például a dob alakjának hallását^[14].^[15]
Az euklideszi tereken végzett harmonikus analízis az Rⁿ-en lévő Fourier-transzformáció olyan tulajdonságaival foglalkozik, amelyeknek nincs analógja az általános csoportokon. Például az a tény, hogy a Fourier-transzformáció forgásinvariáns. A Fourier-transzformáció radiális és gömb alakú összetevőire bontása olyan témákhoz vezet, mint a Bessel-függvények és a gömbharmonikusok (wd)^[16].
A csőtartományok harmonikus elemzése a Hardy-terek (wd) tulajdonságainak magasabb dimenziókra történő általánosításával foglalkozik.

Alkalmazott harmonikus analízis[szerkesztés]

Basszusgitár időjel, nyitott húrú A hang (55 Hz)

A nyílt húrú A hang basszusgitár időjelének Fourier transzformációja (55 Hz)^[17]

A harmonikus analízis számos tudományos és mérnöki alkalmazása abból az elképzelésből vagy hipotézisből indul ki, hogy egy jelenség vagy jel egyedi oszcillációs komponensek összegéből áll. Az óceán árapálya és a vibráló húrok gyakori és egyszerű példák. Az elméleti megközelítés gyakran az, hogy a rendszert differenciálegyenlettel vagy egyenletrendszerrel próbálják leírni, hogy megjósolják a lényeges jellemzőket, beleértve az oszcilláló komponensek amplitúdóját, frekvenciáját és fázisait. A konkrét egyenletek a területtől függenek, de az elméletek általában olyan egyenleteket próbálnak kiválasztani, amelyek az alkalmazható fő elveket képviselik.

A kísérleti megközelítés általában a jelenséget pontosan számszerűsítő adatok beszerzése. Például az árapályok tanulmányozása során a kísérletvezető mintákat vett a vízmélységről az idő függvényében, elég szoros időközönként ahhoz, hogy lássa az egyes oszcillációkat, és elég hosszú ideig ahhoz, hogy valószínűleg több oszcillációs periódus is beletartozzon. A rezgő húrokon végzett vizsgálat során gyakori, hogy a kísérletező a várt legmagasabb frekvencia legalább kétszeresével és a legalacsonyabb frekvencia várható periódusának sokszorosával mintavételezett hanghullámot kap.

Például a jobb oldali felső képen lévő jel egy basszusgitár hanghulláma, amely egy A hangnak megfelelő nyitott húron játszik 55 Hz-es alapfrekvenciával. A hullámforma oszcillálónak tűnik, de összetettebb, mint egy egyszerű szinuszhullám, ami további hullámok jelenlétét jelzi. A hanghoz hozzájáruló különböző hullámösszetevők feltárhatók a Fourier-transzformáció néven ismert matematikai elemzési technika alkalmazásával, melynek eredményét az alsó ábra mutatja. Vegye figyelembe, hogy van egy kiemelkedő csúcs 55 Hz-en, de vannak más csúcsok is 110 Hz-en, 165 Hz-en és más frekvenciákon, amelyek az 55 Hz egész számú többszöröseinek felelnek meg. Ebben az esetben az 55 Hz-et a húrrezgés alapfrekvenciájaként azonosítjuk, az egész többszöröseket pedig harmonikusoknak (wd)^[18] nevezzük.

Jegyzetek[szerkesztés]

↑ A matematikában a 'trigonometrikus sorozat' egy végtelen sorozat
${\tfrac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx},$
alakú trigonometrikus polinom (wd) végtelen változata.
↑ A periodikus függvény olyan függvény, amely szabályos időközönként megismétli az értékeit. Például a trigonometrikus függvények, amelyek $2\pi$ Radián időközönként ismétlődnek, periodikus függvények. A periódusos függvényeket az egész tudományban használják az oszcillációk, hullámok és egyéb periodicitást mutató jelenségek leírására.
↑ Az ábrázoláselmélet a matematikának egy olyan ága, amely az absztrakt algebrai struktúrákat (wd) tanulmányozza úgy, hogy elemeiket vektorterek lineáris transzformációjaként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezeken az absztrakt algebrai struktúrákon.
↑ "harmonic". Online Etymology Dictionary.
↑ A matematikában a Paley–Wiener-tétel bármely olyan tétel, amely összefüggésbe hozza egy függvény vagy eloszlás végtelenben lévő bomlási tulajdonságait a Fourier-transzformációjának analitikusságával. A tétel Raymond Paley (wd) (1907–1933) és Norbert Wiener (1894–1964) nevét viseli.
↑ Az $X$ Topologikus téren kompakt támogatású függvények azok, amelyek zárt támogatása $X$ kompakt részhalmaza. $X$ . Ha $X$ a valós egyenes vagy $n$ -dimenziós euklideszi tér, akkor egy függvénynek akkor és csak akkor van kompakt támogatása, ha korlátos, mivel az $\mathbb {R} ^{n}$ részhalmaza kompakt, ha és csak akkor, ha zárt és korlátos.
↑ A topológiai csoportok logikailag csoportok és topológiai terek kombinációja, azaz egyszerre csoportok és topológiai terek, így a csoportműveletek folytonossági feltétele összekapcsolja ezt a két struktúrát, következésképpen nem függetlenek egymástól.
↑ A lokálisan kompakt csoport egy G topológiai csoport, amelynél az alapul szolgáló topológia lokálisan kompakt és Hausdorff-tér.
↑ Lev Szemjonovics Pontrjagin (1908. szeptember 3. - 1988. május 3.) szovjet matematikus. A Fourier-transzformációk absztrakt elméletével foglalkozott, valamint bevezette a Pontrjagin osztályok (wd) fogalmát a topológiában.
↑ A matematikában a Pontryagin-kettősség a lokálisan kompakt Abel-csoportok kettőssége, amely lehetővé teszi a Fourier-transzformáció általánosítását az összes ilyen csoportra (wd).
↑ A Lie-csoport egy olyan csoport, amely egyben differenciálható sokaság (wd) is, sima csoportműveletekkel.
↑ A Peter–Weyl tétel a harmonikus analízis elméletének alapvetõ eredménye, amely kompakt, de nem feltétlenül Abel-féle topológiai csoportokra vonatkozik. Eredetileg Hermann Weyl és tanítványa, Fritz Peter (wd) bizonyította be egy kompakt G topológiai csoport beállításában (Peter & Weyl 1927).
↑ A Plancherel-tétel (néha Parseval (wd)–Plancherel azonosságnak nevezik) a harmonikus analízis eredménye, amelyet Michel Plancherel (wd) 1910-ben bizonyított. Kimondja, hogy egy függvény négyzetes modulusának integrálja egyenlő a frekvenciaspektruma négyzetes modulusának integráljával.
↑ A dob alakját hallani annyit tesz, mint a dobfej alakjára vonatkozó információkat a kibocsátott hangból, azaz a felhangok listájából következtetni matematikai elmélet segítségével.
↑ Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane, 2nd, New York, NY: Springer, 37. o. (2013. május 29.). ISBN 978-1461479710
↑ A gömbharmonikusok a gömb felületén meghatározott speciális függvények.
↑ Computed with https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/.
↑ A harmonikus olyan hullám, amelynek frekvenciája az alapfrekvencia, az eredeti periodikus jel frekvenciájának pozitív egész számú többszöröse, például szinuszos hullám.

Lásd még[szerkesztés]

Fourier-analízis

Bibliográfia[szerkesztés]

Elias Stein (wd) and Guido Weiss (wd), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
Yitzhak Katznelson (wd), An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
Terence Tao, Fourier Transform. (Introduces the decomposition of functions into odd + even parts as a harmonic decomposition over ℤ₂.)
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
George W. Mackey (wd), Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498-6509.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Harmonic analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] A matematikában a 'trigonometrikus sorozat' egy végtelen sorozat
${\tfrac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx},$
alakú trigonometrikus polinom (wd) végtelen változata.

[2] A periodikus függvény olyan függvény, amely szabályos időközönként megismétli az értékeit. Például a trigonometrikus függvények, amelyek $2\pi$ Radián időközönként ismétlődnek, periodikus függvények. A periódusos függvényeket az egész tudományban használják az oszcillációk, hullámok és egyéb periodicitást mutató jelenségek leírására.

[3] Az ábrázoláselmélet a matematikának egy olyan ága, amely az absztrakt algebrai struktúrákat (wd) tanulmányozza úgy, hogy elemeiket vektorterek lineáris transzformációjaként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezeken az absztrakt algebrai struktúrákon.

[4] "harmonic". Online Etymology Dictionary.

[5] A matematikában a Paley–Wiener-tétel bármely olyan tétel, amely összefüggésbe hozza egy függvény vagy eloszlás végtelenben lévő bomlási tulajdonságait a Fourier-transzformációjának analitikusságával. A tétel Raymond Paley (wd) (1907–1933) és Norbert Wiener (1894–1964) nevét viseli.

[6] Az $X$ Topologikus téren kompakt támogatású függvények azok, amelyek zárt támogatása $X$ kompakt részhalmaza. $X$ . Ha $X$ a valós egyenes vagy $n$ -dimenziós euklideszi tér, akkor egy függvénynek akkor és csak akkor van kompakt támogatása, ha korlátos, mivel az $\mathbb {R} ^{n}$ részhalmaza kompakt, ha és csak akkor, ha zárt és korlátos.

[7] A topológiai csoportok logikailag csoportok és topológiai terek kombinációja, azaz egyszerre csoportok és topológiai terek, így a csoportműveletek folytonossági feltétele összekapcsolja ezt a két struktúrát, következésképpen nem függetlenek egymástól.

[8] A lokálisan kompakt csoport egy G topológiai csoport, amelynél az alapul szolgáló topológia lokálisan kompakt és Hausdorff-tér.

[9] Lev Szemjonovics Pontrjagin (1908. szeptember 3. - 1988. május 3.) szovjet matematikus. A Fourier-transzformációk absztrakt elméletével foglalkozott, valamint bevezette a Pontrjagin osztályok (wd) fogalmát a topológiában.

[10] A matematikában a Pontryagin-kettősség a lokálisan kompakt Abel-csoportok kettőssége, amely lehetővé teszi a Fourier-transzformáció általánosítását az összes ilyen csoportra (wd).

[11] A Lie-csoport egy olyan csoport, amely egyben differenciálható sokaság (wd) is, sima csoportműveletekkel.

[12] A Peter–Weyl tétel a harmonikus analízis elméletének alapvetõ eredménye, amely kompakt, de nem feltétlenül Abel-féle topológiai csoportokra vonatkozik. Eredetileg Hermann Weyl és tanítványa, Fritz Peter (wd) bizonyította be egy kompakt G topológiai csoport beállításában (Peter & Weyl 1927).

[13] A Plancherel-tétel (néha Parseval (wd)–Plancherel azonosságnak nevezik) a harmonikus analízis eredménye, amelyet Michel Plancherel (wd) 1910-ben bizonyított. Kimondja, hogy egy függvény négyzetes modulusának integrálja egyenlő a frekvenciaspektruma négyzetes modulusának integráljával.

[14] A dob alakját hallani annyit tesz, mint a dobfej alakjára vonatkozó információkat a kibocsátott hangból, azaz a felhangok listájából következtetni matematikai elmélet segítségével.

[15] Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane, 2nd, New York, NY: Springer, 37. o. (2013. május 29.). ISBN 978-1461479710

[16] A gömbharmonikusok a gömb felületén meghatározott speciális függvények.

[17] Computed with https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/.

[18] A harmonikus olyan hullám, amelynek frekvenciája az alapfrekvencia, az eredeti periodikus jel frekvenciájának pozitív egész számú többszöröse, például szinuszos hullám.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]