Ugrás a tartalomhoz

Harmonikus analízis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A harmonikus analízis a matematikának egy olyan ága, amely egy függvény és annak frekvenciában való megjelenítése közötti összefüggések vizsgálatával, egyszerű függvények szuperpozíciójával történő előállíthatóságának kérdéseivel foglalkozik. A matematikának e területe a francia matematikus és fizikus, Jean-Baptiste Joseph Fourier által bizonyos fizikai jelenségek értelmezése során vizsgált trigonometrikus sorokkal(wd)[1] kapcsolatosan alakult ki. A huszadik század elején Riesz Frigyes, Fejér Lipót és Haar Alfréd magyar matematikusokat is foglalkoztatta a téma kutatása. A frekvencia-reprezentációt a valós vonalon lévő függvények Fourier-transzformációjával, periodikus függvényeknél(wd)[2] pedig Fourier-sorokkal találjuk meg. Ezen transzformációk más tartományokra való általánosítását általában Fourier-analízisnek nevezik, bár ezt a kifejezést néha felcserélhetően használják a harmonikus analízissel. A harmonikus analízis hatalmas témává vált, és olyan változatos területeken alkalmazzák, mint a számelmélet, az ábrázoláselmélet(wd)[3], a jelfeldolgozás(wd), a kvantummechanika, az árapályelemzés és az idegtudomány.

Lord Kelvin harmonikus elemzője 1876, Hunterian Museum(wd), Glasgow

A "harmónia"(wd) kifejezés az ógörög harmonikos szóból származik, ami azt jelenti, hogy "zenében jártas".[4] A fizikai sajátérték-problémákban olyan hullámokat kezdett jelenteni, amelyek frekvenciái egymás egész számú többszörösei, akárcsak a hangjegyek harmonikusainak frekvenciái, de a kifejezést az eredeti jelentésén túl általánosították.

Klasszikus harmonikus analízis

[szerkesztés]

Történelmileg a harmonikus függvények a Laplace-egyenlet(wd) megoldásai voltak[5], ezt a fogalmat először speciális függvényekre[6][7], majd általános elliptikus operátorokra(wd)[8][9] terjesztették ki, napjainkban pedig a harmonikus függvényeket a periodikus függvények általánosításának tekintik[10] a sokaságon(wd) meghatározott függvénytereken, például általános, nem feltétlenül elliptikus parciális differenciálegyenletek(wd)[11] megoldásaként, beleértve bizonyos peremfeltételeket, amelyek szimmetriát vagy periodicitást(wd)[12] eredményezhetnek.[13]

Fourier-analízis

[szerkesztés]

A klasszikus Fourier-transzformáció az Rn-n még mindig folyamatban lévő kutatási terület, különös tekintettel az általánosabb objektumok Fourier-transzformációjára, mint például a temperált eloszlásokra. Például, ha bizonyos követelményeket támasztunk egy f eloszlásra, megpróbálhatjuk ezeket a követelményeket lefordítani f Fourier-transzformációjával. A Paley–Wiener-tétel egy példa erre. A Paley–Wiener-tétel(wd)[14] azonnal azt jelenti, hogy ha f a kompakt támogatás nullától eltérő eloszlása (ezek közé tartoznak a kompakt támogatás(wd)[15] függvényei), akkor a Fourier-transzformációja soha nem támogatott kompaktan (vagyis ha egy jel korlátozott az egyik tartományban, akkor korlátlan a másikban). Ez a bizonytalansági elv nagyon elemi formája harmonikus elemzési környezetben. A Fourier-sorok kényelmesen tanulmányozhatók a Hilbert-terek kontextusában, amely kapcsolatot teremt a harmonikus analízis és a funkcionálanalízis között. A Fourier-transzformációnak négy változata létezik, a transzformáció által leképezett terektől függően:

Absztrakt harmonikus analízis

[szerkesztés]

Az absztrakt harmonikus analízis elsősorban azzal foglalkozik, hogy a valós vagy komplex értékű függvények (gyakran nagyon általános tartományokon) hogyan tanulmányozhatók szimmetriák, például transzlációk vagy rotációk segítségével (például a Fourier-transzformáción és rokonain keresztül); ez a terület természetesen rokon a valós változós harmonikus analízissel, de szellemiségében talán közelebb áll az ábrázoláselmélethez(wd)[18] és a funkcionálanalízishez.[19]

A harmonikus analízis egyik legmodernebb ága, melynek gyökerei a XX. század közepére nyúlnak vissza, a topológiai csoportok(wd)[20] analíziséhez. Az alapvető motivációs ötletek a különféle Fourier-transzformációk, amelyek általánosíthatók Hausdorff(wd) lokálisan kompakt(wd)[21] topológiai csoportokon meghatározott függvények transzformációjára.[22]

Az abeli lokálisan kompakt[21] csoportokra vonatkozó elméletet Pontrjagin(wd)[23] kettősségnek(wd) nevezik.[24]

A harmonikus analízis ennek a kettősségnek és a Fourier-transzformációnak a tulajdonságait vizsgálja, és megpróbálja kiterjeszteni ezeket a jellemzőket különböző beállításokra, például a nem Abel-féle(wd) Lie-csoportok.[25] esetére.[26]

Az általános nem-abeli lokálisan kompakt csoportok esetében a harmonikus elemzés szorosan kapcsolódik az egységes csoportreprezentációk elméletéhez. Kompakt csoportok(wd)[27] esetében a Peter–Weyl-tétel(wd)[28] megmagyarázza, hogyan kaphatunk harmonikusokat, ha minden reprezentáció ekvivalenciaosztályából választunk egy irreducibilis reprezentációt(wd).[29] A felharmonikusoknak ez a megválasztása élvezi a klasszikus Fourier-transzformáció néhány hasznos tulajdonságát a konvolúciók pontszerű szorzatokba való átvitelében, vagy más módon az alapul szolgáló csoportstruktúra(wd) bizonyos megértésében. Lásd még: Nem kommutatív harmonikus elemzés(wd).[30]

Ha a csoport sem nem Abel-féle, sem nem kompakt, akkor jelenleg nem ismert általános kielégítő elmélet (a „kielégítő” legalább olyan erős, mint a Plancherel-tétel(wd)[31]). Sok konkrét esetet azonban elemeztek, például az SLn-t. Ebben az esetben a végtelen dimenziójú reprezentációk(wd)[32] döntő szerepet játszanak.

Alkalmazott harmonikus analízis

[szerkesztés]
Basszusgitár időjel, nyitott húrú A hang (55 Hz)
A nyílt húrú A hang basszusgitár időjelének Fourier transzformációja (55 Hz)[33]

A harmonikus analízis számos tudományos és mérnöki alkalmazása abból az elképzelésből vagy hipotézisből indul ki, hogy egy jelenség vagy jel egyedi oszcillációs komponensek összegéből áll. Az óceán árapálya és a vibráló húrok gyakori és egyszerű példák. Az elméleti megközelítés gyakran az, hogy a rendszert differenciálegyenlettel vagy egyenletrendszerrel próbálják leírni, hogy megjósolják a lényeges jellemzőket, beleértve az oszcilláló komponensek amplitúdóját, frekvenciáját és fázisait. A konkrét egyenletek a területtől függenek, de az elméletek általában olyan egyenleteket próbálnak kiválasztani, amelyek az alkalmazható fő elveket képviselik.

A kísérleti megközelítés általában a jelenséget pontosan számszerűsítő adatok beszerzése. Például az árapályok tanulmányozása során a kísérletvezető mintákat vett a vízmélységről az idő függvényében, elég szoros időközönként ahhoz, hogy lássa az egyes oszcillációkat, és elég hosszú ideig ahhoz, hogy valószínűleg több oszcillációs periódus is beletartozzon. A rezgő húrokon végzett vizsgálat során gyakori, hogy a kísérletező a várt legmagasabb frekvencia legalább kétszeresével és a legalacsonyabb frekvencia várható periódusának sokszorosával mintavételezett hanghullámot kap.

Például a jobb oldali felső képen lévő jel egy basszusgitár hanghulláma, amely egy A hangnak megfelelő nyitott húron játszik 55 Hz-es alapfrekvenciával. A hullámforma oszcillálónak tűnik, de összetettebb, mint egy egyszerű szinuszhullám, ami további hullámok jelenlétét jelzi. A hanghoz hozzájáruló különböző hullámösszetevők feltárhatók a Fourier-transzformáció néven ismert matematikai elemzési technika alkalmazásával, melynek eredményét az alsó ábra mutatja. Vegye figyelembe, hogy van egy kiemelkedő csúcs 55 Hz-en, de vannak más csúcsok is 110 Hz-en, 165 Hz-en és más frekvenciákon, amelyek az 55 Hz egész számú többszöröseinek felelnek meg. Ebben az esetben az 55 Hz-et a húrrezgés alapfrekvenciájaként azonosítjuk, az egész többszöröseket pedig harmonikusoknak(wd)[34] nevezzük.

Egyéb ágak

[szerkesztés]

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. A matematikában a 'trigonometrikus sorozat' egy végtelen sorozat
    alakú trigonometrikus polinom(wd) végtelen változata.
  2. A periodikus függvény olyan függvény, amely szabályos időközönként megismétli az értékeit. Például a trigonometrikus függvények, amelyek Radián időközönként ismétlődnek, periodikus függvények. A periódusos függvényeket az egész tudományban használják az oszcillációk, hullámok és egyéb periodicitást mutató jelenségek leírására.
  3. Az ábrázoláselmélet a matematikának egy olyan ága, amely az absztrakt algebrai struktúrákat(wd) tanulmányozza úgy, hogy elemeiket vektorterek lineáris transzformációjaként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezeken az absztrakt algebrai struktúrákon.
  4. "harmonic". Online Etymology Dictionary.
  5. https://www.math.ru.nl/~burtscher/lecturenotes/2021PDEnotes.pdf
  6. A speciális függvények olyan különleges matematikai függvények, amelyeknek a matematikai analízisben, funkcionálanalízisben, geometriában, fizikában vagy más alkalmazásokban betöltött jelentőségük miatt többé-kevésbé bevett nevük és jelölésük(wd) van.
  7. N. Vilenkin. Special functions and the theory of group representation (1968) 
  8. A parciális differenciálegyenletek elméletében az elliptikus operátorok olyan differenciáloperátorok(wd), amelyek általánosítják a Laplace-operátort.
  9. Lásd még Atiyah-Singer index-tétel(wd)
  10. Harmonic analysis | Mathematics, Fourier Series & Waveforms | Britannica
  11. A másodrendű lineáris parciális differenciálegyenleteket elliptikus(wd), hiperbolikus(wd) vagy parabolikus(wd) egyenletekbe sorolják.
  12. A periodicitás, ciklus vagy ismétlődés általában egy dolog vagy folyamat azon tulajdonságára utal, amely egy adott esemény bekövetkezése tekintetében rendszerességet mutat.
  13. https://www.math.ucla.edu/~tao/247a.1.06f/notes0.pdf
  14. A matematikában a Paley–Wiener-tétel bármely olyan tétel, amely összefüggésbe hozza egy függvény vagy eloszlás végtelenben lévő bomlási tulajdonságait a Fourier-transzformációjának analitikusságával. A tétel Raymond Paley(wd) (1907–1933) és Norbert Wiener (1894–1964) nevét viseli.
  15. Az Topologikus téren kompakt támogatású függvények azok, amelyek zárt támogatása kompakt részhalmaza. . Ha a valós egyenes vagy -dimenziós euklideszi tér, akkor egy függvénynek akkor és csak akkor van kompakt támogatása, ha korlátos, mivel az részhalmaza kompakt, ha és csak akkor, ha zárt és korlátos.
  16. A matematikában a diszkrét Fourier-transzformáció egy függvény egyenlő távolságú mintáinak(wd) véges sorozatát alakítja át a diszkrét idejű Fourier-transzformáció(wd) egyenlő távolságú mintáinak azonos hosszúságú sorozatává, amely a frekvencia komplex értékű függvénye.
  17. A matematikában a diszkrét idejű Fourier-transzformáció, amelyet véges Fourier-transzformációnak(wd) is neveznek, a Fourier-analízis egyik formája, amely értéksorozatra alkalmazható.
  18. A reprezentációelmélet a matematikának egy olyan ága, amely absztrakt algebrai struktúrákat(wd) tanulmányoz úgy, hogy azok elemeit vektortér lineáris transzformációiként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezen absztrakt algebrai struktúrák felett.
  19. https://www.math.ucla.edu/~tao/247a.1.06f/notes0.pdf
  20. A topológiai csoportok logikailag csoportok és topológiai terek kombinációja, azaz egyszerre csoportok és topológiai terek, így a csoportműveletek folytonossági feltétele összekapcsolja ezt a két struktúrát, következésképpen nem függetlenek egymástól.
  21. a b A matematikában a lokálisan kompakt csoport egy G topológiai csoport(wd), amelynél az alapul szolgáló topológia lokálisan kompakt(wd) és Hausdorff. A lokálisan kompakt csoportok azért fontosak, mert a matematikában előforduló csoportok sok példája lokálisan kompakt, és ezeknek a csoportoknak van egy természetes mértéke, amelyet Haar-mértéknek(wd) neveznek. Ez lehetővé teszi a Borel-mérték(wd) függvény integrálok meghatározását G-n, így általánosíthatóak a szabványos elemzési fogalmak, mint például a Fourier-transzformáció és az terek(wd).
  22. Alain Robert. Introduction to the Representation Theory of Compact and Locally Compact Groups 
  23. Lev Szemjonovics Pontrjagin (1908. szeptember 3. - 1988. május 3.) szovjet matematikus. A Fourier-transzformációk absztrakt elméletével foglalkozott, valamint bevezette a Pontrjagin osztályok(wd) fogalmát a topológiában.
  24. A matematikában a Pontryagin-dualitás a lokálisan kompakt Abel-csoportok(wd) kettőssége(wd), amely lehetővé teszi a Fourier-transzformáció általánosítását az összes ilyen csoportra, beleértve a körcsoportot(wd) (egy modulusú komplex számok multiplikatív csoportja), a véges Abel-csoportokat (diszkrét topológiával), és az egész számok additív csoportja(wd) (szintén diszkrét topológiával(wd)), a valós számok és minden véges dimenziós vektortér a valós értékek vagy egy p-adikus mező felett.
  25. A Lie-csoport egy olyan csoport, amely egyben differenciálható sokaság(wd) is, sima csoportműveletekkel.
  26. Gerald B Folland. A Course in Abstract Harmonic Analysis 
  27. A matematikában a kompakt (topológiai) csoport olyan topológiai csoport(wd), amelynek a topológiája kompakt topológiai térként valósítja meg.
  28. A Peter–Weyl tétel a harmonikus analízis elméletének alapvetõ eredménye, amely kompakt, de nem feltétlenül Abel-féle topológiai csoportokra vonatkozik. Eredetileg Hermann Weyl és tanítványa, Fritz Peter(wd) bizonyította be egy kompakt G topológiai csoport beállításában (Peter & Weyl 1927).
  29. A matematikában, különösen a csoportok és algebrák(wd) reprezentációelméletében(wd), egy algebrai struktúra(wd) irreducibilis reprezentációja vagy irrepje egy nem nulla reprezentáció, amelynek nincs megfelelő nemtriviális részreprezentációja , ahol részhalmaz zárva van a csoporthatásra.
  30. A matematikában a nem kommutatív harmonikus elemzés az a terület, ahol a Fourier-analízis eredményeit kiterjesztik a nem kommutatív topológiai csoportokra(wd).
  31. A Plancherel-tétel (néha Parseval(wd)–Plancherel azonosságnak nevezik) a harmonikus analízis eredménye, amelyet Michel Plancherel(wd) 1910-ben bizonyított. Kimondja, hogy egy függvény négyzetes modulusának integrálja egyenlő a frekvenciaspektruma négyzetes modulusának integráljával.
  32. A reprezentációelmélet(wd) matematikai területén a csoportreprezentációk absztrakt csoportokat írnak le a vektortér önmaga bijektív lineáris transzformációi (vagyis vektortér automorfizmusok) szempontjából; különösen használhatók csoportelemek invertálható mátrixként való ábrázolására, így a csoportművelet mátrixszorzással(wd) ábrázolható.
  33. Computed with https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/.
  34. A harmonikus olyan hullám, amelynek frekvenciája az alapfrekvencia, az eredeti periodikus jel frekvenciájának pozitív egész számú többszöröse, például szinuszos hullám.
  35. A matematikai analízisban egy tartomány (domén) vagy régió egy nem üres összefüggő(wd) nyílt halmaz egy topológiai térben, különösen az Rn valós koordinátatér(wd) vagy a Cn komplex koordinátatér(wd) bármely nem üres összekapcsolt nyitott részhalmaza. A koordinátatér összekapcsolt nyílt részhalmazát gyakran használják egy függvény tartományára(wd), de általában a függvények olyan halmazokon is definiálhatók, amelyek nem topológiai terek.
  36. A matematikában a sokaság egy topológiai tér, amely lokálisan hasonlít az euklideszi térre az egyes pontok közelében. Pontosabban, egy -dimenziós sokaság, vagy röviden -sokaság, egy topológiai tér azzal a tulajdonsággal, hogy minden pontnak van egy szomszédsága, amely homeomorf az -dimenziós euklideszi tér nyitott részhalmazával.
  37. A dob alakját hallani annyit tesz, mint a dobfej alakjára vonatkozó információkat a kibocsátott hangból, azaz a felhangok listájából következtetni matematikai elmélet segítségével.
  38. Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane, 2nd, New York, NY: Springer, 37. o. (2013. július 15.). ISBN 978-1461479710 
  39. A gömbharmonikusok a gömb felületén meghatározott speciális függvények.
  40. Komplex analízisben a Hardy-terek (vagy Hardy-osztályok) Hp holomorf függvények bizonyos terei(wd) az egységkorongon(wd) vagy a felső félsíkon(wd). Riesz Frigyes vezette be és G. H. Hardyról nevezte el őket. A valós analízisben a Hardy-terek a valós egyenes eloszlásának bizonyos terei, amelyek (eloszlások értelmében) a komplex Hardy-terek holomorf függvényeinek határértékei, és a funkcionálanalízis Lp-tereihez(wd) kapcsolódnak. 1 ≤ p < ∞ esetén ezek a valódi Hp Hardy-terek Lp bizonyos részhalmazai, míg p < 1 esetén az Lp-terek nemkívánatos tulajdonságokkal rendelkeznek, és a Hardy-terek sokkal jobban viselkednek.

Lásd még

[szerkesztés]

Fourier-analízis

Bibliográfia

[szerkesztés]

Fordítás

[szerkesztés]
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Harmonic analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.