Környezet (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Egy halmaz a síkon csak akkor környezete a pontnak, ha létezik egy olyan kellően kis sugarú körlap középponttal, amelyet bennfoglal (vagyis amely részhalmaza -nek).

A topológiában és a matematika más részein a környezet egy alapvető fogalom. Intuitív módon úgy lehet leírni, hogy egy pont környezete egy olyan halmaz, ami tartalmazza magát a pontot úgy, hogy „van még hely”, vagyis hogy a pont „mozgatható” ezen a környezeten (halmazon) belül.

Egy téglalap nem a környezete egyetlenegy csúcsának sem (és az élt alkotó pontoknak sem).

Ez a fogalom szoros kapcsolatban áll a nyílt halmazokkal és a belső pontokkal.

Definíció[szerkesztés]

Ha egy topologikus tér és , egy pontja akkor, egy környezete, egy részhalmaza aminek részhalmaza egy olyan nyílt halmaz, amely tartalmazza -t, vagyis:

Ez azzal ekvivalens, hogy , és hogy a egy belső pontja.

Jegyezzük meg, hogy magának a környezetnek nem kell nyílt halmaznak lennie. Ha nyílt, akkor nyílt környezetnek vagy nyitott környezetnek is nevezik. Néhányan megkövetelik, hogy a környezetek nyitottak legyenek, ezért azt, hogy egy adott esetben mit értünk pontosan környezet alatt, érdemes közölni.

Azok a halmazok amelyek az összes általuk tartalmazott pontnak a környezetei biztosan nyitottak, hiszen felírhatóak nyílt halmazok uniójaként.

Egy pont összes környezetét tartalmazó halmazt az adott pont környezet-rendszerének nevünk.

Ha az topologikus tér egy részhalmaza, akkor az környezetén egy olyan halmazt értünk, ami magában foglal egy nyílt halmazt, ami magában foglalja -t. Ebből következik, hogy egy halmaz akkor és csak akkor környezete egy halmaznak, ha az környezete minden pontjának. Továbbá adott, hogy akkor és csak akkor környezete -nek, ha részhalmaza összes belső pontja által alkotott halmaznak (vagyis -nak, ahol a határát jelöli).

Metrikus terekben[szerkesztés]

Egy halmaz a síkban és az halmaz egy uniform környezete, . (Szaggatottal jelölve egy sugarú „gömböt” amely középpontja az egyik „csúcsa”, ill. az összes halmaz uniója által alkotott halmaz.)

Egy metrikus térben egy halmaz a pont környezete ha létezik egy nyitott gömb középponttal és sugárral úgy, hogy:

részhalmaza -nek (vagyis belső pontja -nek).

-t az halmaz uniform környezetének hívják, ha létezik olyan pozitív szám, hogy bármely elemre teljesül, hogy:

részhalmaza -nek (vagyis ha megválasztása nem függ magától a elemtől, hanem csakis az és a halmazok jellegétől).

Bármely -ra és -re értelmezett egy -környezet , ami azon pontok halmaza, amelyek elemei -nek és a távolságuk egy elemétől kisebb, mint . (Vagy egy másik ekvivalens definíció alapján, az uniója az összes nyitott sugarú gömbnek, amelyek középpontja valamely pontja).

Ismert, hogy bármely -környezet uniform környezet, ill., hogy egy halmaz akkor és csak akkor uniform környezet ha tartalmaz egy -környezetet valamilyen -val.

Topológia környezetekből[szerkesztés]

Egy lehetséges definíciója a topológiáknak az, hogy először is definiáljuk pontok környezet-rendszerét, majd ennek segítségével definiáljuk a nyílt halmazokat úgy, mint olyan halmazok, amelyek minden pontjukhoz tartalmaznak egy környezetet is.

Ezután minden környezet-rendszerének uniójához létrehozunk egy halmazt minden -re amely részhalmazaiból áll, és amelyre igazak az alábbiak:

  1. az pont eleme az összes -nek.
  2. minden bennfoglal egy halmazt, úgy hogy bármely -re, .

Bizonyítható, hogy a topológia mindkét definíciója ekvivalens, vagyis hogy ekvivalens a definíció, amiben a környezet-rendszert nyitott halmazokkal definiáljuk, és az a definíció, amely a környezet-rendszer segítségével definiálja a nyitott halmazokat és a topológiát (lásd fent).

Források[szerkesztés]