Modulus (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A modulus az algebrai struktúrák egy fajtája, a vektortér fogalmának általánosítása, gyengítése, amely bizonyos vektortéraxiómák elhagyásával keletkezik. Egy gyűrű feletti modulus viszonya a gyűrűhöz ahhoz hasonlít, mint egy test feletti vektortér viszonya a testhez. Az algebrában a modulusoknak számos alkalmazása van többek közt a csoportelméletben, a gyűrűelméletben és az algebrai geometriában.

A modulust egy olyan vektortérként foghatjuk fel, ahol a skalárok nem testet, hanem csak gyűrűt alkotnak.

Definíció[szerkesztés]

Legyen adva egy gyűrű, és legyen Abel-csoport. Tegyük fel, hogy létezik egy "szorzás" művelet (ez fogja a vektorok skalárral való szerepét kapni, egymás mellé írással jelöljük). Az -et bal oldali -modulusnak nevezzük, ha az előbbi műveletek teljesítik a következő kritériumokat:

Legyenek és . Ekkor:

  • r(n+m)=rn+rm
  • (r+s)n=rn+sn
  • r(sn)=(rs)n

Ha egységelemes gyűrű, akkor -et unitér modulusnak nevezzük, ha

Hasonlóan értelmezzük a jobb oldali modulust, ekkor a szorzás a másik oldalról történik. Vannak kétoldali modulusok, ezek egyszerre bal és jobb oldali modulusok, tehát a jobb oldali szorzás ugyanaz, mint a bal oldali szorzás (szokás ezt bimodulusnak is nevezni).

Példák[szerkesztés]

Legyen egy Abel-csoport. Ez modulussá tehető felett a következő szorzásművelettel. Legyen és ekkor -szer. Ha negatív, akkor értelem szerint -nek kell az -szeres összegét venni, ha pedig , akkor . Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban modulus.

Legyen , tehát az -es valós mátrixok (az összeadással és a mátrixszorzással, mint művelettel), és legyen , és értelmezzük a szorzást így: esetén , tehát a közönséges mátrix-vektor szorzás. Ez egy bal oldali modulus, de nem kétoldali, ugyanis általában .

Irodalom[szerkesztés]

  • Kiss Emil (2007): Bevezetés az algebrába. Typotex Kft. [1]
  • Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába [2]