Automorfizmus (csoportelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az absztrakt algebra csoportelmélet nevű ágában automorfizmus a neve az olyan bijektív leképezésnek, amely művelettartó és egy csoportot önmagára képez le.

Definíció[szerkesztés]

Legyen egy csoport, és legyen bijektív leképezés (azaz különböző elemeihez különböző elemeket rendel, és minden eleme előáll valamely elemének képeként). Ezt a leképezést automorfizmusnak nevezzük, ha bármely -re . Az automorfizmusok tehát olyan izomorfizmusok, amelyek egy csoportot önmagára képeznek le.

Példák[szerkesztés]

  • Tetszőleges csoportnak automorfizmusa az identikus leképezés, vagyis az a leképezés, amely minden elemhez saját magát rendeli. Ezt az automorfizmust szokás triviális automorfizmusnak nevezni.
  • A valós számok additív csoportjának automorfizmusa az a leképezés, amely minden valós számhoz a háromszorosát rendeli.
  • A sík egybevágóságai által alkotott csoportnak automorfizmusa az a leképezés, amely minden egybevágósághoz a egybevágóságot rendeli, ahol egy adott egyenesre való tükrözés.

Automorfizmus-csoport[szerkesztés]

Egy csoport automorfizmusai (a leképezések összetételével, mint művelettel) maguk is csoportot alkotnak. A csoport automorfizmusainak csoportját -vel jelöljük. egységeleme az identikus leképezés.

Belső automorfizmusok[szerkesztés]

Legyen , és jelölje azt a leképezést, amely tetszőleges -hez annak a -vel vett konjugáltját rendeli. Akkor automorfizmusa -nek. Az ilyen automorfizmusokat belső automorfizmusnak nevezzük.

Egy csoport belső automorfizmusai (a leképezések összetételével, mint művelettel) maguk is csoportot alkotnak. A csoport belső automorfizmusainak csoportját -vel jelöljük. normálosztója -nek. Az faktorcsoportot külső automorfizmus-csoportjának nevezzük és -vel jelöljük.

különböző elemeiből származhat ugyanaz a belső automorfizmus. Speciálisan , ha g centrumelem. izomorf a faktorcsoporttal, és így akkor és csak akkor, ha kommutatív.

Nemtriviális automorfizmus-csoportok[szerkesztés]

Az egy- és a kételemű csoport automorfizmus-csoportja triviális (csak az identikus leképezést tartalmazza). Minden más csoport automorfizmus-csoportja nemtriviális. Ezt a következő gondolatmenet igazolja:

Ha nem kommutatív, és például az elemek nem kommutálnak, akkor x-nek a belső automorfizmusnál vett képe x-től különböző, így nem az identikus leképezés és ezért nem triviális.

Ha kommutatív, akkor -nek eleme az a leképezés, ami tetszőleges -hez annak inverzét rendeli. Ez éppen akkor nem az identikus leképezés, ha van olyan elem, hogy vagyis . Ha ilyen elem nincsen, azaz minden nemegység elem másodrendű, akkor felfogható egy a kételemű test feletti vektortér additív csoportjaként, és e vektortér bármely nemnulla determinánsú, nem-identikus lineáris transzformációja -nek nemtriviális automorfizmusa.

Anti-automorfizmusok[szerkesztés]

Anti-automorfizmusnak nevezzük a csoport olyan önmagára való bijektív leképezését, amely a szorzás sorrendjét megváltoztatja, azaz amelyre . anti-automorfizmusainak halmazát jelöli. Ha G Abel-csoport, akkor persze egybeesik -vel. Egyszerű példa anti-automorfizmusra az a leképezés, ami tetszőleges -hez annak inverzét rendeli, hiszen . csoportot alkot a leképezésszorzásra, mint műveletre nézve. Ebben a csoportban direkt tényező.

Története[szerkesztés]

Csoportautomorfizmusokat először William Rowan Hamilton ír matematikus említett 1856-ban az Icosian Calculus című művében.[1]

Források[szerkesztés]

  1. Sir William Rowan Hamilton (1856.). „Memorandum respecting a new System of Roots of Unity”. Philosophical Magazine 12, 446. o.