Bessel-függvény

A matematikában a Bessel-függvények a Bessel-féle differenciálegyenlet kanonikus megoldásai (y(x)). A Bessel-féle differenciálegyenlet:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

Ezt a függvényt először Daniel Bernoulli (1700 – 1782) svájci fizikus definiálta, majd Friedrich Bessel (1784 – 1846) német matematikus általánosította, és róla nevezték el a függvényeket.

A differenciálegyenlet igaz bármely valós vagy komplex α-ra (ez a függvény rendszáma). A legfontosabb esetekben α egy egész vagy félegész szám. A differenciálegyenletnek két fajta megoldása ismeretes: ezek az I. fajú Bessel-függvény (J_α) és a II. fajú Bessel-függvény (Y_α) (Neumann-függvény). Létezik egy III. fajú függvény is, de ezt inkább Hankel-függvénynek hívják, mely a I. fajú Bessel-függvény és a II. fajú Bessel függvény speciális kombinációja.

Alkalmazások

A Bessel-függvények a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenletek megoldásaira használják hengerkoordináta-rendszerben, vagy gömbi koordináták rendszerében. A Bessel-függvények különösen fontosak a hullámterjedési problémák megoldásánál, és statikuspotenciál-problémák esetén. Hengerkoordináta-rendszerben a Bessel-függvényeknél az α=n; gömbi koordináták rendszerében a félegész szám rendű megoldás alkalmazható (α = n+1/2).

Példák az alkalmazási területekre

• Elektromágneses hullámok (elektromágneses sugárzás) megoldása hengerkoordináta-rendszerben,
• Hővezetés hengerkoordináta-rendszerben,
• Vékony akusztikus membránok rezgéseinek elemzése
• Diffúziós problémák rácsszerkezetekben
• A radiális Schrödinger-egyenlet megoldásai szabad részecskékre
• Akusztikus sugárzás megoldásai
• Jelfeldolgozásban: FM szintézis, Kaiser-ablak, Bessel-szűrő

I. fajú Bessel-függvény (J_α)

I.fajú Bessel-függvény, α =0,1,2 esetekre

II. fajú Bessel-függvény (Y_α)

II.fajú Bessel-függvény, α =0,1,2 esetekre

Bessel-integrál

n egész értékekre a Bessel-függvény definiálható integrállal is:

$J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin(\tau ))\,\mathrm {d} \tau .$

Egy másik analóg kifejezés integrállal:

$J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(n\tau -x\sin(\tau ))}\,\mathrm {d} \tau .$

Bessel ezt a kifejezést használta, és ebből a kifejezésből vezette le a függvény számos tulajdonságát.

Módosított Bessel-függvény

A Bessel-függvények érvényesek komplex argumentumú x-ekre is. Egy fontos speciális eset, amikor az argumentum tisztán komplex. Ezekben az esetekben a Bessel-függvény megoldásait módosított Bessel-függvényeknek hívják (vagy hiperbolikus Bessel-függvénynek).

Módosított I.fajú Bessel-függvény, n =0,1,2 esetekre

Módosított II.fajú Bessel-függvény, n =0,1,2 esetekre

Irodalom

• Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2011. ISBN 978-963-279-300-9  
• Lizorkin, P.I: Bessel function. (hely nélkül): Springer. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4  

Kapcsolódó szócikkek

• http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html
• http://www.reak.bme.hu/fileadmin/user_upload/felhasznalok/kis/Bessel.pdf
• http://dlmf.nist.gov/10
• Lommel-függvény
• Struve-függvény
• Hankel-függvény
• Anger-függvény
• Neumann-polinom
• Propagátor