Anger-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, az Anger-függvény szorosan kapcsolódik a Bessel-függvényekhez.[1]

Az Anger-függvényt Carl Theodor Anger német matematikusról (1803–1858) nevezték el.

A függvény definíciója:

\mathbf{J}_\nu(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (\nu\theta-z\sin\theta) \,d\theta

Weber-függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Weber-függvény definíciója:

\mathbf{E}_\nu(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin (\nu\theta-z\sin\theta) \,d\theta

A függvényt Heinrich Friedrich Weber (1843 -1912), német fizikusról nevezték el. A függvény szoros kapcsolatban van a II. fajú Bessel-függvénnyel. A Weber-függvény Lommel–Weber-függvényként is ismert.

Kapcsolat a Weber-, és az Anger-függvény között[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kapcsolat:

\sin(\pi \nu)\mathbf{J}_\nu(z) = \cos(\pi\nu)\mathbf{E}_\nu(z)-\mathbf{E}_{-\nu}(z)
-\sin(\pi \nu)\mathbf{E}_\nu(z) = \cos(\pi\nu)\mathbf{J}_\nu(z)-\mathbf{J}_{-\nu}(z)

Ha ν nem egész, akkor kifejezhetők egymás lineáris kombinációjaként . Ha ν egész, akkor az Anger-függvény Jν, megegyezik a Jν, Bessel-függvénnyel, és a Weber-függvény kifejezhető, mint a Struve-függvény véges lineáris kombinációja. A Weber-, és az Anger-függvények a Bessel-függvények inhomogén formáinak z^2y^{\prime\prime} + zy^\prime +(z^2-\nu^2)y = 0 a megoldásai.

Az Anger-függvény kielégíti a következő egyenletet:

z^2y^{\prime\prime} + zy^\prime +(z^2-\nu^2)y = (z-\nu)\sin(\pi z)/\pi

és a Weber-függvény kielégíti a:

z^2y^{\prime\prime} + zy^\prime +(z^2-\nu^2)y = -((z+\nu) + (z-\nu)\cos(\pi z))/\pi.

egyenletet.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]