Félegész számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a félegészek olyan számok, amelyek formája

n + 1/2,

ahol az n egész szám. Például

4½, 7/2, ‒13/2, 8,5

valamennyi félegész szám. Megjegyzendő, hogy egy egész szám fele nem feltétlenül félegész szám: a páros számok fele egész szám, nem pedig félegész. Pontosan fogalmazva, a félegészek olyan számok, amelyek páratlan számok feleként állnak elő.

A félegész számok halmazára gyakran a következő jelölést használják:

\mathbb Z + {1\over 2}.

A diadikus törtek (a nevező 2 hatványa) speciális esete.[1]

Használat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az egészekkel együtt csoportot alkotnak az összeadásra. Ezt a csoportot \frac{1}{2} \mathbb Z jelöli.[2] Azonban, mivel két félegész szám szorzata nem egész, vagy félegész, ezért a szorzásra és az összeadásra nem alkotnak gyűrűt.[3]

A félegész számok a matematika több területén előfordulnak, ezért célszerű volt speciális kifejezést bevezetni rájuk.

  • A részecskefizikában a fermionok spinje félegész értékű.[4] Ennek következménye a Pauli-féle kizárási elv.[5]
  • A kvantum harmonikus oszcillátor energiaszintjei félegészek, így a legkisebb energiájuk nem lehet nulla.[6]
  • Az algebrában a Hurwitz-egészek olyan kvaterniók, amelynek a komponensei vagy valamennyi egész, vagy valamennyi félegész szám.[7]
  • Négy dimenzióban a legsűrűbb gömbpakolásban a gömbök középpontjai azokat a pontokat foglalják el, amelyek minden koordinátája egész vagy félegész. Ez a Hurwitz-egészekkel áll kapcsolatban.[8]
  • A rácssokszögek területe egész vagy félegész szám.
  • A faktoriális kiterjesztése a teljes gamma-függvény. Ennek értéke félegész számokra a gömbtérfogat térfogat képletében is megjelenik:

[9]

V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n.
ahol n a dimenzió, és R a gömb sugara.
  • Félegész számokra a gammafüggvény értéke négyzetgyök π egész számú többszöröse:

[10]

\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi}

ahol n!! szemifaktoriális.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Sabin, Malcolm (2010), Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes, vol. 6, Geometry and Computing, Springer, p. 51, ISBN 9783642136481, <http://books.google.com/books?id=18UC7d7h0LQC&pg=PA51>.
  2. Turaev, Vladimir G. (2010), Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds, vol. 18 (2nd ed.), De Gruyter Studies in Mathematics, Walter de Gruyter, p. 390, ISBN 9783110221848.
  3. Boolos, George; Burgess, John P. & Jeffrey, Richard C. (2002), Computability and Logic, Cambridge University Press, p. 105, ISBN 9780521007580, <http://books.google.com/books?id=0LpsXQV2kXAC&pg=PA105>.
  4. http://www.atomki.hu/fizmind/harmonia/harmonia.html
  5. Mészáros, Péter (2010), The High Energy Universe: Ultra-High Energy Events in Astrophysics and Cosmology, Cambridge University Press, p. 13, ISBN 9781139490726, <http://books.google.com/books?id=NXvE_zQX5kAC&pg=PA13>.
  6. Fox, Mark (2006), Quantum Optics : An Introduction, vol. 6, Oxford Master Series in Physics, Oxford University Press, p. 131, ISBN 9780191524257, <http://books.google.com/books?id=Q-4dIthPuL4C&pg=PA131>.
  7. http://www.wordiq.com/definition/Hurwitz_quaternion
  8. John, Baez (August 12, 2004), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry by John H. Conway and Derek A. Smith", Bulletin of the American Mathematical Society 42: 229–243, doi:10.1090/S0273-0979-05-01043-8, <http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/conway_smith/>.
  9. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.
  10. Bonnar, James (2013), The Gamma Function, Applied Research Press, p. 43, ISBN 9781493775439, <http://books.google.com/books?id=qCoWAgAAQBAJ&pg=PA43>.