Csoporthatás
A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport hat egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatának igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topologikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.
Definíció
[szerkesztés]G csoport (balról) hat X halmazon, ha G minden eleme egy
G egységeleme X-en az identitás:
Teljesül az alábbi asszociativitás:
Pálya és stabilizátor
[szerkesztés]Ha G hat X-en, akkor valamely X-beli x pont pályáján, avagy orbitján
halmazt értjük. Ha y rajta van x pályáján, azaz
- , akkor
- , tehát x is rajta van y pályáján.
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha y rajta van x, és z rajta van y pályáján, akkor z rajta van x pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent saját magába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy X-et particionálják a G általi pályák.
Egy X-beli x pont stabilizátorának G azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek x-et fixen hagyják. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges x pont stabilizátora részcsoportja G-nek. Tekintsük bal oldali mellékosztályait. Legyen , ekkor
Így bármely mellékosztályának tetszőleges két eleme x-et ugyanoda viszi. Most tegyük fel, hogy
- .
Ekkor legyen:
- . Így
- ,
tehát benne van x stabilizátorában, és
- , azaz
- .
Így x stabilizátorának minden mellékosztálya x pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy indexe x pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:
- .
Ha két pont stabilizátora konjugált, akkor azt mondjuk, hogy hasonló a pályájuk.
Burnside-lemma
[szerkesztés]A pálya-stabilizátor tétel hasznos következménye a Burnside-lemma. Ha G csoport hat X halmazon, akkor a csoportbéli transzformációk fixpontjainak az összegét kiszámolhatjuk úgy is, hogy minden pontnál megszámoljuk, hogy hány transzformációnak a fixpontja. Jelölje P a G általi pályák halmazát:
Ezt rendezve kapjuk a Burnside-lemmát:
- ,
ami a bevezetésben foglaltak szerint azt jelenti, hogy egy csoporthatás transzformációi fixpontjainak az átlagos száma éppen a csoport általi pályák száma.
Források
[szerkesztés]- Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK