Csoporthatás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport hat egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatának igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topologikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

G csoport (balról) hat X halmazon, ha G minden eleme egy

X\rightarrow X bijekció.

G egységeleme X-en az identitás:

1x=x \; (\forall x \in X)

Teljesül az alábbi asszociativitás:

\varphi(\psi x) =(\varphi\psi) x \;\;(\forall x \in X)(\forall \varphi,\psi \in G )

Pálya és stabilizátor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha G hat X-en, akkor valamely X-beli x pont pályáján, avagy orbitján

Gx=\{\varphi x | \varphi \in G\}

halmazt értjük. Ha y rajta van x pályáján, azaz

y=g\,x, akkor
x=g^{-1}\,y, tehát x is rajta van y pályáján.

Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha y rajta van x, és z rajta van y pályáján, akkor z rajta van x pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent saját magába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy X-et particionálják a G általi pályák.

Egy X-beli x pont stabilizátorának G azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek x-et fixen hagyják. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges x pont S_x stabilizátora részcsoportja G-nek. Tekintsük S_x baloldali mellékosztályait. Legyen \pi' \in \pi S_x, ekkor

\pi'=\pi\sigma\; (\sigma \in S_x)
\pi'\,x=\pi\sigma\,x=\pi\,x

Így S_x bármely mellékosztályának tetszőleges két eleme x-et ugyanoda viszi. Most tegyük fel, hogy

\pi\,x=\pi'\,x .

Ekkor legyen:

\sigma = \pi^{-1}\pi' . Így
\sigma\,x = \pi^{-1}\pi'\,x =\pi^{-1}\,\pi x = x,

tehát \sigma benne van x stabilizátorában, és

\pi'=\pi\sigma, azaz
\pi'\in\pi S_x.

Így x stabilizátorának minden mellékosztálya x pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy S_x indexe x pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:

 |Gx|\cdot |S_x|=|G|.

Ha két pont stabilizátora konjugált, akkor azt mondjuk, hogy hasonló a pályájuk.

Burnside-lemma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pálya-stabilizátor tétel hasznos következménye a Burnside-lemma. Ha G csoport hat X halmazon, akkor a csoportbéli transzformációk fixpontjainak az összegét kiszámolhatjuk úgy is, hogy minden pontnál megszámoljuk, hogy hány transzformációnak a fixpontja. Jelölje P a G általi pályák halmazát:

\sum_{x \in X}|S_x|=\sum_{x \in X}\frac{|G|}{|Gx|}=\sum_{p \in P}\sum_{x\in p}\frac{|G|}
{|p|}=|G|\sum_{p \in P}\frac{|p|}{|p|}=|G|\cdot|P|

Ezt rendezve kapjuk a Burnside-lemmát:

\frac{1}{|G|}\sum_{x \in X}|S_x|=|P|,

ami a bevezetésben foglaltak szerint azt jelenti, hogy egy csoporthatás transzformációi fixpontjainak az átlagos száma éppen a csoport általi pályák száma.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK