Halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, melyet leginkább az „összesség”, „sokaság” szavakkal tudunk körülírni (egy Georg Cantor által adott körülírását ld. lentebb); de mivel igazából alapfogalom; így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik.

A modern matematika alapvető, egységes tárgyalásmódot és számos tudományos eredményt hozó hozzáállását fejezi ki az a kijelentés, miszerint végső soron minden, a matematika által vizsgált dolog: halmaz. Szakszerűbben fogalmazva, a matematika teljes egészének, de legalábbis minden hagyományosan vizsgált területének (számelmélet, geometria, valószínűségszámítás stb.) megadható a halmazelméleti modellje. Így, annak ellenére, hogy a halmazelmélet csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.

A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.

Történet és áttekintés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fő szócikk: A halmazelmélet története

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető, elsődleges okának ma a valós függvényanalízis bizonyos ellentmondásainak felfedezését tartjuk; melyek felvetették a valós számok elméletének szigorúbb megalapozásának igényét.

A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat

Főbb fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A naiv halmazelméletben egy halmaz meghatározott, egymástól különböző objektumok gyűjteménye, összessége. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Azt, hogy \mbox{ }{a} eleme az \mbox{ }{A} halmaznak, így jelöljük: \mbox{ }{a \in A}.

Az axiomatikus halmazelméletben a halmaz és az eleme reláció alapfogalom, melyekre a halmazelmélet axiómái vonatkoznak.

Halmazok egyenlősége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az A és B halmazok egyenlőek, ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük: A=B.

Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:

  • A=A; (reflexivitás)
  • ha A=B, akkor B=A; (szimmetria)
  • ha A=B és B=C, akkor A=C; (tranzitivitás)

Részhalmaz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A \subseteq B

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza a B halmaznak (vagy más szavakkal: a B halmaz tartalmazza az A halmazt), ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme, és ezt így jelöljük: A\subseteq B. Az A halmazt a B halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha A\subseteq B, és A \neq B.

Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:

Üres halmaz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, és így jelöljük: \emptyset.

Hatványhalmaz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetszőleges A halmaz összes részhalmazainak a halmazát, az A halmaz hatványhalmazának nevezzük, és P(A)-val, \weierp(A)-val vagy 2^A-val jelöljük. A B \in 2^A pontosan azt jelenti, hogy B \subseteq A.

Halmazműveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Halmazok egyesítése és metszete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden a elemére teljesül, hogy a\in A és/vagy a\in B, az A és B halmazok egyesítésének (más szóval uniójának) nevezzük, és így jelöljük: A\cup B. Azt a halmazt pedig, amelynek minden a elemére teljesül, hogy a\in A és a\in B, az A és B halmazok metszetének nevezzük, és így jelöljük: A\cap B.

Ha A\cap B = \emptyset, akkor az A és B halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük.

Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:

továbbá:

  • A\cup \emptyset =A
  • A\cap \emptyset =\emptyset
A \cap B
   
A \cup B
   
A \setminus B

Halmazok különbsége és szimmetrikus különbsége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden a elemére teljesül, hogy a\in A és a\notin B, az A és B halmazok különbségének nevezzük, és így jelöljük: A\backslash B. Az (A\backslash B)\cup (B\backslash A) halmazt pedig az A és B halmazok szimmetrikus különbségének hívjuk.

Komplementer halmaz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen adott valamely U halmaz. Ekkor tetszőleges A\subseteq U halmaz esetén az U\backslash A halmazt az a A halmaz komplementerének (komplementerhalmazának) nevezzük.[1]

Halmazok Descartes-szorzata és Descartes-hatványa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetszőleges a, b elemekre az \{ \{ a \}, \{ a, b \} \} halmazt elempárnak nevezzük és (a,b)-vel jelöljük.

Tetszőleges a, b, c, d elemekre (a, b)=(c, d) akkor és csak akkor teljesül, ha a=c és b=d, azaz az így definiált elempárok rendezett elempárok.

Legyenek A, B tetszőleges halmazok. Az \{ (a, b) | a\in A, b\in B\} elempárok halmazát az A és B halmazok Descartes-szorzatának (vagy másképpen: direkt szorzatának) nevezzük és így jelöljük: A\times B. Ha A=B, akkor Descartes-hatványról beszélünk.

Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényes a következő állítás:

  • A\times (B\times C) = ( A\times B ) \times C; (asszociativitás)

A halmazok direkt szorzata nem kommutatív művelet.

Megfeleltetés, reláció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek A, B tetszőleges halmazok. Az A\times B halmaz részhalmazait az A halmaz B halmazba történő megfeleltetéseinek nevezzük, és így jelöljük: \rho :A\to B. Ha A=B, akkor relációkról beszélünk.

Parciális leképezés, leképezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek A, B tetszőleges halmazok. A ρ:AB A-ból B-be történő megfeleltetést A-t B-be képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden aA esetén legfeljebb egy olyan bB van, amire (a,b)∈ρ. A ρ:AB A-ból B-be történő megfeleltetést A-t B-be képező leképezésnek nevezzük, ha minden aA esetén pontosan egy olyan bB van, amire (a,b)∈ρ.

X és Y halmazokat ekvivalensnek nevezünk, ha létezik X-et Y-ra képező kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ez az ekvivalencia egy tranzitív, szimmetrikus, és reflexív reláció.

Halmazok számossága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges (azaz a halmaz elemeinek a száma véges), ha nem létezik olyan bijektív leképezés, ami a halmazt egy valódi részhalmazába képezi le. Ellenkező esetben végtelen halmazról beszélünk.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges A halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely n \in N természetes számra létezik  \{1,\dots, n \} \to A bijekció.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Totik Vilmos: Halmazelméleti feladatok és tételek, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1997)
  • Hajnal András & Hamburger Péter: Halmazelmélet, 3. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp (1994) ISBN 963-18-5998-3
  • Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N. J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
  • Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N. Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4