Halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, melyet leginkább az „összesség”, „sokaság” szavakkal tudunk körülírni (egy Georg Cantor által adott körülírását ld. lentebb); de mivel igazából alapfogalom; így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik.

A modern matematika alapvető, egységes tárgyalásmódot és számos tudományos eredményt hozó hozzáállását fejezi ki az a kijelentés, miszerint végső soron minden, a matematika által vizsgált dolog: halmaz. Szakszerűbben fogalmazva, a matematika teljes egészének, de legalábbis minden hagyományosan vizsgált területének (számelmélet, geometria, valószínűségszámítás stb.) megadható a halmazelméleti modellje. Így, annak ellenére, hogy a halmazelmélet csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.

A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.

Történet és áttekintés[szerkesztés]

Fő szócikk: A halmazelmélet története

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető, elsődleges okának ma a valós függvényanalízis bizonyos ellentmondásainak felfedezését tartjuk; melyek felvetették a valós számok elméletének szigorúbb megalapozásának igényét.

A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat

Főbb fogalmak[szerkesztés]

A naiv halmazelméletben egy halmaz meghatározott, egymástól különböző objektumok gyűjteménye, összessége. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Azt, hogy eleme az halmaznak, így jelöljük: .

Az axiomatikus halmazelméletben a halmaz és az eleme reláció alapfogalom, melyekre a halmazelmélet axiómái vonatkoznak.

Halmazok egyenlősége[szerkesztés]

Legyenek és tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az és halmazok egyenlőek, ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük: .

Tetszőleges , , halmazokra érvényesek a következő állítások:

  • ; (reflexivitás)
  • ha , akkor ; (szimmetria)
  • ha és , akkor ; (tranzitivitás)

Részhalmaz[szerkesztés]

Legyenek és tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy az halmaz részhalmaza a halmaznak (vagy más szavakkal: a halmaz tartalmazza az halmazt), ha az minden eleme a halmaznak is eleme. Ezt így jelöljük: . Az halmazt a halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha , és .

Tetszőleges , , halmazokra érvényesek a következő állítások:

  • ; (reflexivitás)
  • ha és , akkor ; (antiszimmetria)
  • ha és , akkor ; (tranzitivitás)

Üres halmaz[szerkesztés]

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, és így jelöljük: .

Hatványhalmaz[szerkesztés]

Tetszőleges halmaz összes részhalmazainak a halmazát, az halmaz hatványhalmazának nevezzük, és -val, -val vagy -val jelöljük. A pontosan azt jelenti, hogy .

Halmazműveletek[szerkesztés]

Halmazok egyesítése és metszete[szerkesztés]

Legyenek és tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden elemére teljesül, hogy és/vagy , az és halmazok egyesítésének (más szóval uniójának) nevezzük, és így jelöljük: . Azt a halmazt pedig, amelynek minden elemére teljesül, hogy és , az és halmazok metszetének nevezzük, és így jelöljük: .

Ha , akkor az és halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük.

Tetszőleges halmazokra érvényesek a következő állítások:

  • ; (idempotencia)
  • ; (idempotencia)
  • ; (kommutativitás)
  • ; (kommutativitás)
  • ; (asszociativitás)
  • ; (asszociativitás)
  • ; (disztributivitás)
  • ; (disztributivitás)

továbbá:

   
   

Halmazok különbsége és szimmetrikus különbsége[szerkesztés]

Legyenek és tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden elemére teljesül, hogy és , az és halmazok különbségének nevezzük, és így jelöljük: . Az halmazt pedig az és halmazok szimmetrikus különbségének hívjuk és -vel szokás jelölni. .

Komplementer halmaz[szerkesztés]

Legyen adott valamely halmaz. Ekkor tetszőleges halmaz esetén az halmazt az a halmaz komplementerének (komplementerhalmazának) nevezzük.[1]

Halmazok Descartes-szorzata és Descartes-hatványa[szerkesztés]

Tetszőleges elemekre az halmazt elempárnak nevezzük és -vel jelöljük.

Tetszőleges , , , elemekre akkor és csak akkor teljesül, ha és , azaz az így definiált elempárok rendezett elempárok.

Legyenek tetszőleges halmazok. Az elempárok halmazát az és halmazok Descartes-szorzatának (vagy másképpen: direkt szorzatának) nevezzük és így jelöljük: . Ha , akkor Descartes-hatványról beszélünk.

Tetszőleges halmazokra érvényes a következő állítás:

  • ; (asszociativitás)

A halmazok direkt szorzata nem kommutatív művelet.

Megfeleltetés, reláció[szerkesztés]

Legyenek tetszőleges halmazok. Az halmaz részhalmazait az halmaz halmazba történő megfeleltetéseinek nevezzük, és így jelöljük: . Ha , akkor relációkról beszélünk.

Parciális leképezés, leképezés[szerkesztés]

Legyenek , tetszőleges halmazok. A ρ: -ból -be történő megfeleltetést -t -be képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden esetén legfeljebb egy olyan van, amire ∈ρ. A ρ: A-ból -be történő megfeleltetést -t -be képező leképezésnek nevezzük, ha minden esetén pontosan egy olyan van, amire ∈ρ.

X és Y halmazokat ekvivalensnek nevezünk, ha létezik X-et Y-ra képező kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ez az ekvivalencia egy tranzitív, szimmetrikus, és reflexív reláció.

Halmazok számossága[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges (azaz a halmaz elemeinek a száma véges), ha nem létezik olyan bijektív leképezés, ami a halmazt egy valódi részhalmazába képezi le. Ellenkező esetben végtelen halmazról beszélünk.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely természetes számra létezik bijekció.

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Totik Vilmos: Halmazelméleti feladatok és tételek, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1997)
  • Hajnal András & Hamburger Péter: Halmazelmélet, 3. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp (1994) ISBN 963-18-5998-3
  • Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N. J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
  • Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N. Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4