Speciális lineáris csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Speciális lineáris csoportnak nevezzük és -val (néha -val) jelöljük a test feletti -es, 1 determinánsú mátrixok multiplikatív csoportját. Értelemszerűen elemei felfoghatóak a fölötti n dimenziós vektortér transzformációiként, és részcsoportja a általános lineáris csoportnak. Amennyiben véges test, helyett gyakran -t írunk, ahol jelöli a test elemszámát (ilyenkor persze prímhatvány).

Példák[szerkesztés]

  • a sík terület- és irányítástartó lineáris transzformációinak a csoportja.
  • a háromelemű test fölötti, 1 determinánsú -es mátrixok csoportja.

Az alábbi ábra az csoport szorzótáblája. A zöld, piros és üres körök a háromelemű test elemeit reprezentálják: az üres kör jelöli nullelemet, a zöld az egységelemet, a piros pedig a 2=-1 elemet. A kis kétszer kettes kockák a háromelemű test feletti 1 detetminánsú -es mátrixok, magának a csoportnak az elemei. Látható, hogy az rendje 24. A háttérszínek jelzik az egyes elemek rendjét:

  • sötétszürke: 1
  • világosszürke: 2
  • sárga: 3
  • kék: 4
  • fehér: 6

SL(2,3); Cayley table.svg

Néhány konkrét véges speciális lineáris csoport[szerkesztés]

Alaptest rendje Mátrixok rendje Csoport szokásos elnevezése Csoport rendje
1 triviális csoport
2 2 , harmadfokú szimmetrikus csoport
3 2 speciális lineáris csoport
4 2 alternáló csoport
5 2 speciális lineáris csoport
2 3 általános lineáris csoport

A véges speciális lineáris csoportok rendje[szerkesztés]

elemszámának meghatározásához azt kell meggondolni, hogy az a leképezés, amely elemeihez a determinánsukat rendeli, homomorfizmus az általános lineáris csoportból a q elemű test nemnulla elemeinek szorzáscsoportjába, amely q-1 elemű. Ennek a homomorfizmusnak éppen a magja. Épp ezért

Az általános lineáris csoport elemszáma viszont ismert:

és így

.

Forrás[szerkesztés]