Speciális lineáris csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Speciális lineáris csoportnak nevezzük és SL(n,K)-val (néha SL_n(K)-val) jelöljük a K test feletti n \times n-es, 1 determinánsú mátrixok multiplikatív csoportját. Értelemszerűen SL(n,K) elemei felfoghatóak a K fölötti n-dimenziós vektortér transzformációiként, és SL(n,K) részcsoportja a GL(n,K) általános lineáris csoportnak. Amennyiben K véges test, SL(n,K) helyett gyakran SL(n,q)-t írunk, ahol q jelöli a K test elemszámát (ilyenkor persze q prímhatvány).

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • SL(2,\mathbb R) a sík terület- és irányítástartó lineáris transzformációinak a csoportja.
  • SL(2,3) a háromelemű test fölötti, 1 determinánsú 2 \times 2-es mátrixok csoportja.

Az alábbi ábra az SL(2,3) csoport szorzótáblája. A zöld, piros és üres körök a háromelemű test elemeit reprezentálják: az üres kör jelöli nullelemet, a zöld az egységelemet, a piros pedig a 2=-1 elemet. A kis kétszer kettes kockák a háromelemű test feletti 1 detetminánsú 2 \times 2-es mátrixok, magának a csoportnak az elemei. Látható, hogy az SL(2,3) rendje 24. A háttérszínek jelzik az egyes elemek rendjét:

  • sötétszürke: 1
  • világosszürke: 2
  • sárga: 3
  • kék: 4
  • fehér: 6

SL(2,3); Cayley table.svg

Néhány konkrét véges speciális lineáris csoport[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alaptest rendje Mátrixok rendje Csoport szokásos elnevezése Csoport rendje
q 1 triviális csoport 1
2 2 S_3, harmadfokú szimmetrikus csoport 6 = 2 \cdot 3
3 2 SL(2,3) speciális lineáris csoport 24 = 2^3 \cdot 3
4 2 A_5 alternáló csoport 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
5 2 SL(2,5) speciális lineáris csoport 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5
2 3 GL(3,2) általános lineáris csoport 168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7

A véges speciális lineáris csoportok rendje[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

SL(n,q) elemszámának meghatározásához azt kell meggondolni, hogy az a leképezés, amely GL(n,q) elemeihez a determinánsukat rendeli, homomorfizmus az általános lineáris csoportból a q elemű test nemnulla elemeinek szorzáscsoportjába, amely q-1 elemű. Ennek a homomorfizmusnak éppen SL(n,q) a magja. Épp ezért

|SL(n,q)| = {|GL(n,q)| \over {q-1}}

Az általános lineáris csoport elemszáma viszont ismert:

\displaystyle |GL(n,q)| = \prod_{j=1}^{n} \left({ q^n -q^{j-1} }\right)

és így

\displaystyle |SL(n,q)| = {{\prod_{j=1}^{n} \left({ q^n -q^{j-1} }\right)} \over {q-1}}.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]