Lie-csoport

A matematikában a Lie-csoport egy olyan csoport, amely egyszerre egy sima sokaság, és a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható.

Egy sokaság (mint például a kör vagy a tórusz) egy olyan topologikus tér, amely lokálisan egy euklidészi térre hasonlít, a csoport pedig egy olyan struktúra, mely magában foglal egy halmazt és egy, a halmazon definiált kétváltozós műveletet, amely asszociatív (átzárójelezhető) és invertálható, azaz minden csoportelemnek van egy inverz eleme.

A Lie-csoportok alkalmasak a folytonos szimmetriák modellezésére, így a modern matematikában és fizikában rendkívüli fontossággal bírnak.

A Lie-csoportokat a norvég Sophus Lie után nevezték el, aki a folytonos transzformációcsoportok elméletének alapjait fektette le. Először ilyen struktúrákat olyan mátrixcsoportok tanulmányozásával találtak, amelyek az $n\times n$ invertálható mátrixok csoportjának ($\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ vagy $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$) részcsoportjai. Ezeket a csoportokat azóta klasszikus csoportoknak hívják, a Lie-csoportok elmélete pedig a matematika számos más területére is kiterjedt.

Minden Lie-csoport automatikusan egy topologikus csoport, mivel a csoportműveletek (az inverziót beleértve) folytonosak. Következtetésképp, mivel minden (nem feltétlenül Hausdorff) differenciálható sokaság teljesíti az első szétválaszhatósági axiómát (T₁), minden Lie-csoport automatikusan Hausdorff.

Definíció

Lie-csoportnak nevezünk egy olyan $G$ csoportot, amely egyidejűleg egy sima sokaság, és a kétváltozós asszociatív csoportművelet (szorzás)

$\mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=xy$

tetszőlegesen sokszor differenciálható. Az inverzfüggvény-tétel következményeképp minden Lie-csoport inverzió művelete:

$\nu :G\to G,\quad \nu (x)=x^{-1}$

is tetszőlegesen sokszor differenciálható.

Példák

A körcsoport a Lie-csoportok egyik legegyszerűbb példája. Az ábrán látható, hogy $z,w\in \mathbb {S} ^{1}$ esetén $z\cdot w\in \mathbb {S} ^{1}$.

Általános példák

• A valós vagy komplex számok halmaza összeadással ($(\mathbb {R} ,+)$ vagy $(\mathbb {C} ,+)$) egy Lie-csoport.
• A komplex fázisok, azaz olyan komplex számok, melyek abszolút értéke egy, a szorzással együtt összefüggő Lie-csoportot ($\mathbb {S} ^{1}$) alkotnak, más néven körcsoportnak hívjuk.
• A 2x2-es valós invertálható mátrixok halmaza:

$\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}$

a mátrixszorzással együtt egy olyan négydimenziós Lie-csoportot alkot, amely nem kompakt és nem összefüggő.

• A forgatást reprezentáló mátrixok csoportját a következőképp lehet egy $\varphi$ forgásszöggel parametrizálni:

$\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}.$

Ez a csoport a $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )$ részcsoportja, továbbá egy kompakt, összefüggő egydimenziós Lie-csoport, amely diffeomorf a körhöz.

• A speciális relativitáselméletben hasznos Minkowski- és Poincaré-csoport is Lie-csoport.

Konstrukciók

Már ismert Lie-csoportok segítségével további Lie-csoportok találhatóak:

• Két Lie-csoport Descartes-szorzata egy Lie-csoport
• Egy adott Lie-csoport bármely részcsoportja, amely topológiai értelemben egy zárt halmaz, Cartan tétele szerint egy Lie-csoport.
• Egy adott Lie-csoport egy zárt normálosztójával vett faktorhalmaza automatikusan egy Lie-csoport.
• Egy összefüggő Lie-csoport univerzális fedése egy Lie-csoport. Fontos megjegyezni, hogy egy adott differenciálható sokaság minden fedése egyaránt egy differenciálható sokaság, viszont azzal, hogy az univerzális fedést választjuk, így a csoportaxiómák teljesülésének is eleget teszünk.

Lie-csoportok Lie-algebrája

Lie-algebrának nevezünk egy ${\mathfrak {g}}$ vektorteret egy olyan kétváltozós művelettel $[.,.]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$, amely bilineáris, antikommutatív és a Jakobi-azonosságnak eleget tesz.

Adott $G$ Lie-csoport $e$ neutrális elemében vett tangens tere egy vektortér, általános jelölése pedig ${\mathfrak {g}}:=T_{e}G$. A balról szorzás $L_{g}:G\to G,\,h\mapsto gh$ tangens leképezése a neutrális elemben $T_{e}L_{g}:{\mathfrak {g}}\to T_{g}G$ egy lineáris izomorfizmus, mivel a balról szorzás egy Lie-csoportban egy diffeomorfizmus. Legyen adott $g\in G$, akkor bármely $v\in {\mathfrak {g}}$ vektorra a következőképp definiált leképezés:

$L^{v}:G\to TG,\quad L^{v}(g)=T_{e}L_{g}(v)$

egy sima vektormező. Mivel a vektormezőkön definiált Lie-zárójel (azaz $[.,.]$) automatikusan teljesíti a szükséges tulajdonságokat, ezért a $G$ Lie-csoport Lie-algebrája a ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ vektortér a következő művelettel minden $v,w\in {\mathfrak {g}}$ vektorra:

$[v,w]:=[L^{v},L^{w}](e)$.

Egy Lie-csoport Lie-algebrája a neutrális elem környezetében teljes mértékben meghatározza a csoport struktúráját. Régebbi elnevezések "infinidezimális csoport"ként utalnak rá, ugyanis elemei a Lie-csoport olyan elemeinek felelnek meg, amelyek "infinidezimálisan közel" vannak a neutrális elemhez.

Exponenciális leképezés

A $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ Lie-csoport Lie-algebrája a mátrixalgebra $\operatorname {M} (n,\mathbb {C} )$, ahol az exponenciális leképezés a következőképp van definiálva adott $X$ mátrixra:

$\exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots$.

Amennyiben egy $G$ csoport a $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ zárt részcsoportja, akkor $G$ automatikusan egy Lie-csoport, melynek Lie-algebrája a következő:

${\mathfrak {g}}=\left\{X\in M(n;\mathbb {C} )\mid e^{tX}\in G\,\,\forall t\in \mathbb {R} \right\}.$

Az exponenciális leképezés ezen definíciója viszont nem alkalmazható olyan Lie-csoportokra, melyek nem mátrixcsoportok, így egy általánosabb konstrukcióra van szükség.

Egy adott $G$ Lie-csoport ${\mathfrak {g}}$ Lie-algebráján bármely $v$ vektorra bizonyítható egy egyedi egyparaméteres részcsoport $c:\mathbb {R} \to G$ létezése, amelyre $c'(0)=v$. Egyparaméteres részcsoport alatt egy olyan sima leképezést értünk, melyre igaz a következő:

$c(s+t)=c(s)c(t)$

minden valós $s$-re és $t$-re, ahol az egyenlet jobb oldalán található szorzás a Lie-csoport csoportművelete. Az általánosított exponenciális leképezést pedig a következőképpen definiáljuk:

$\exp :{\mathfrak {g}}\to G,\quad \exp(v)=c(1)$.

Az exponenciális leképezés ezáltal tetszőlegesen sokszor differenciálható és egy diffeomorfizmus a Lie-algebrában a $0\in {\mathfrak {g}}$ egy környezete és a $e\in G$ egy környezete között. Ez a leképezés a valós számok halmazán is használt exponenciális függvény általánosítása.

Egy Lie-csoportban létezik az egységelemnek egy olyan környezete, melyen a csoportművelet (szorzás) teljes mértékben meghatározható a csoporthoz tartozó Lie-algebra Lie-zárójelével. Ezt az exponenciális leképezés segítségével a Baker-Campbell-Hausdorff formula adja meg: létezik a Lie-algebra neutrális elemének egy olyan környezete, melyben bármely $X$-re és $Y$-ra igaz:

$\exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right).$

Amennyiben a $X$ és $Y$ kommutál, a képlet egyszerűbb alakot ölt: $\exp(X)\,\exp(Y)=\exp(X+Y)$.

A Baker-Campbell-Hausdorff formula segítségével bizonyítható, hogy bármely kétszer differenciálható Lie-csoport automatikusan valós analitikus, tehát létrehozható egy olyan sima struktúra, melyen bármely $x$ és $y$ térképre a $y\circ x^{-1}$ leképezés valós analitikus.

Homomorfizmusok, izomorfizmusok és Lie fundamentális tételei

Amennyiben $G$ és $H$ Lie-csoportok, minden sima $\varphi :G\to H$ csoporthomomorfizmust Lie-csoport homomorfizmusnak nevezünk. Csoporthomomorfizmus alatt azt értjük, hogy a leképezés megtartja a csoportművelet szerkezetét, azaz minden $g,h\in G$ csoportelemre igaz $\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)$. Az exponenciális leképezés tulajdonságaiból kiindulva bizonyítható, hogy bármely két Lie-csoport közötti folytonos csoporthomomorfizmus automatikusan sima.

Bármely Lie-csoport homomorfizmus neutrális elemben vett tangense egy Lie-algebra homomorfizmus, tehát egy olyan lineáris leképezés, amely megtartja a Lie-zárójelet.

Két Lie-csoportot izomorfnak nevezünk, amennyiben létezik közöttük egy bijektív homomorfizmus, melynek inverze is egy Lie-csoport homomorfizmus, tehát egy olyan diffeomorfizmus, mely egyszerre egy csoporthomomorfizmus. Az eddig említettek következménye, hogy egy folytonos bijektív csoporthomomorfizmus két Lie-csoport között akkor diffeomorfizmus (tehát Lie-csoport izomorfizmus), ha az értelmezési tartomány szeparálható.

Lokális Lie-csoport homomorfizmusnak nevezünk egy olyan sima leképezést, mely két Lie-csoport neutrális elemének környezete között definiált és ezekben a környezetekben ugyanúgy megtartja a csoportműveletet. Két Lie-csoport lokálisan izomorfnak nevezünk, ha létezik közöttük egy olyan lokális Lie-csoport homomorfizmus, ami ezen felül egy diffeomorfizmus és az inverze is egy Lie-csoport homomorfizmus.

Lie első tétele azt mondja ki, hogy két lokálisan izomorf Lie-csoport Lie-algebrái izomorfak, míg Lie második tétele szerint két izomorf Lie-algebrához tartozó Lie-csoport lokálisan izomorf. Ezen tételek szerint egy Lie-csoport globális struktúráját általánosságban nem határozza meg a Lie-algebra. A fizikában ismert egy fontos példa Lie fundamentális tételei kapcsán, ugyanis az SU(2) és SO(3) Lie-csoportok Lie-algebrái izomorfak, viszont a Lie-csoportok maguk nem izomorfak, ugyanis SU(2) egyszerűen összefüggő (azaz minden hurok folytonosan összehúzható egy pontba), míg SO(3) nem.

Ado tétele kimondja, hogy bármely véges dimenziós valós Lie-algebra izomorf egy Lie-mátrixalgebrához. Ennek következménye Lie harmadik fundamentális tétele, miszerint minden véges dimenziós valós Lie-algebra egy lineáris Lie-csoport Lie-algebrája.

Ábrázolásai

Fontos kutatási terület Lie-csoportoknak úgy nevezett ábrázolásait (más néven reprezentációit) vizsgálni, melyek azt fejezik ki, hogy egy adott Lie-csoport hogyan hat egy vektortérre. Egy $n$-dimenziós $V$ vektortér esetén a $G$ Lie-csoport komplex ábrázolása egy Lie-csoport homomorfizmus $\Pi :G\to \operatorname {GL} (V)$, ahol $\operatorname {GL} (V)$ identifikálható $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$-vel. Sok esetben az egyszerűség kedvéért $V$-t nevezik ábrázolásnak.

Az ábrázoláselméletnek a fizikában is nagy jelentősége van: a hidrogénatom (vagy bármely olyan atom vagy ion, melynek egy vegyértékelektronja van) esetében az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet megoldása egy háromdimenziós problémából egydimenziós problémává egyszerűsíthető, amennyiben felismerjük, hogy a rendszer Hamilton-operátora forgásszimmetrikus (tehát $\operatorname {SO} (3)$-szimmetrikus). Ez önmagában nem jelenti azt, hogy az operátor sajátállapotai forgásszimmetrikusak lennének, csupán azt, hogy a Schrödinger-egyenlet fix energiájú megoldásainak tere forgásszimmetrikus, melyre ezáltal az $\operatorname {SO} (3)$ Lie-csoport ábrázolásaként lehet tekinteni.

Források

• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2. kiadás, Graduate Texts in Mathematics, Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-13467-3 (2015). ISBN 978-3319134666 
• Michael Kunzinger: Lie Groups. University of Vienna, 2023

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lie group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.