Polinom
Matematika |
---|
A matematika alapjai |
Algebra |
Analízis |
Geometria |
Számelmélet |
Diszkrét matematika |
Alkalmazott matematika |
Általános |
A matematikában a polinom (avagy többtagú algebrai egész kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai, illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:
- p(x,y,z,u) = 5x4y6 - 3xz³+11y15u7
- q(x) = 2x² + 6x + 9
- r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³
A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (avagy egytagú algebrai egész kifejezésnek) nevezzük (például p-nél az 5x4y6, a -3xz³ és a 11y15u7 tagok).
Történet
[szerkesztés]A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a 15. században kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az ókori Kínában például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk.
Az egyenlőségjelet először Robert Recorde használta a 16. században, és ugyanebben az időben terjedt el a „+” jel használata az összeadásra, valamint a „−” jel használata a kivonásra. René Descartes volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az ábécé elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az ábécé végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó kitevőjét.
Az elemi algebrában
[szerkesztés]Az elemi algebrában P(x) egyváltozós polinom, ha:
- .
Itt x a polinom változója, n a polinom foka. Vannak többváltozós polinomok is, ezekben több változó szerepel. Egy többváltozós polinom foka az a legnagyobb szám, amit az egyes tagok tényezőinek kitevőinek összeadásával kapunk. Minden kitevőnek nemnegatív egész számnak kell lennie.
A polinom tagjaiban a számot együtthatónak, az ismeretlenekből álló szorzatot monomnak vagy egytagnak nevezik. A nulladfokú tag együtthatója konstans tag. Az elsőfokúé lineáris, a másodfokúé kvadratikus, a harmadfokúé kubikus tag. Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük.
Például az
egy egyváltozós, harmadfokú polinom. Az x fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36.
A valós együtthatós polinomfüggvények értelmezhetők a teljes valós számegyenesen, a komplex együtthatós polinomok pedig értelmezhetők a teljes komplex számsíkon.
Nullpolinom az a polinom, aminek összes együtthatója nulla. Ennek foka mínusz végtelen. Ha a főegyüttható egy, akkor a polinom normált.
A polinom szimmetrikus, ha bárhogy cseréljük fel (permutáljuk) benne az ismeretleneket, változatlan marad.
Egy másik jellegzetes polinomfajta a homogén fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a binomiális tételben:
Egyneműnek nevezünk két (vagy több) monomot, ha csak együtthatóikban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagúak együtthatóit összeadjuk:
Az n ismeretlenes polinomoknak az egyneműek összevonása után legfeljebb
k fokú monomja lehet.
Az egynemű monomok összevonása után az n-edfokú polinomnak legfeljebb
monomja lehet.
A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például
Emellett a számmal való szorzás művelete is értelmes: minden együtthatót beszorzunk az adott számmal. Például
Ha polinomok, akkor szorzatuk fokszáma becsülhető:
Valós, illetve komplex polinomok esetén:
A polinomok halmaza zárt a helyettesítésre, azaz ha egy ismeretlenbe mindenhová polinomot helyettesítünk, akkor újra polinomot kapunk. Ez csak akkor igaz, ha a változók számát nem korlátozzuk, mert egy helyettesítés új változókat hozhat be. De ha csak a már meglevő változókat használja, akkor a változók száma megmarad.
Gyűrű fölötti polinomok
[szerkesztés]Polinomok tetszőleges gyűrű fölött definiálhatók, ekkor a polinom együtthatói a gyűrű elemei közül kerülnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában egész, racionális vagy valós együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az algebra alaptételében komplex együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a kvaternió együtthatós (tehát lényegében mátrix együtthatójú), vagy a modulo m maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is. Ha polinomgyűrű fölött veszünk polinomgyűrűt, akkor többváltozós polinomgyűrűhöz jutunk.
A változókat néha határozatlanoknak nevezik. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük.
Gyűrű fölötti polinomok esetén az összeg fokának becslésére csak akkor használható a fenti képlet, ha a gyűrű integritási tartomány. Tehát integritási tartomány fölött
általános esetben a becslés. A szorzat fokának becslése ugyanaz, mint valós fölött.
A lineáris algebrában adott n-re a legfeljebb n-edfokú adott test fölötti polinomok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója n + 1.
A mátrixok karakterisztikus polinomját többek között a mátrixok diagonalizálásához használják.
Ha R gyűrű, akkor R[X] is gyűrű, amit polinomgyűrűnek neveznek. Ez megkapható úgy, mint R bővítése algebrailag független elemmel. A polinomokat egyértelműen lehet jellemezni együtthatóik véges sorozatával, ahol az összeadás tagonkénti összeadás, a szorzat konvolúció, és a konstanssal (gyűrűelemmel) való szorzás is tagonként kell végezni.
és
Ezzel a polinomgyűrű algebrát alkot. Habár ez a konstrukció nem használja a határozatlant, a behelyettesítés is értelmezhető műveletként. Ezzel behelyettesítési homomorfizmushoz jutunk. Ha az alapgyűrű kommutatív, egységelemes, nullosztómentes, akkor a polinomgyűrű is kommutatív, egységelemes, nullosztómentes lesz.[1]
Különböző polinomok definiálhatják ugyanazt a polinomfüggvény, különösen ha vannak nullosztók, vagy ha a test véges. Például legyen a maradékosztálygyűrű, így az
- és a polinomok ugyanazt a függvényt állítják elő. Végtelen integritástartomány esetén ez nem fordulhat elő.
Számelméletük
[szerkesztés]Polinomfüggvények
[szerkesztés]Ha R[X] az R gyűrű feletti polinomgyűrű és p = p(x) polinom, akkor a p által meghatározott polinomfüggvényen a
függvényt értjük.
Példák:
1. a komplex számok feletti q(z) = iz4 + 3iz - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a
- g: C C; z iz4 + 3iz - 5
függvény
2. a modulo 5 maradékosztályok feletti r(x) = x4 polinom által meghatározott polinomfüggvény a
- h: Z5 Z5; x x4
Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál h nem más, mint a
függvény éspedig a kis Fermat-tétel miatt. De ez ugyanaz, mint a h2(x)= x8 polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg x4 x8 (mint polinom), addig h1 = h2, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig R-ből R-be menő függvényből csak nn db, amennyiben R számossága az n véges szám.
Helyettesítési érték, zérushely, gyök
[szerkesztés]Ha p ∈ R[X] polinom és α ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy p helyettesítési értéke α-ban a β ∈ R elem, ha a p által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következőképpen jelöljük:
Ha p osztható az (x - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan q ∈ R[X] polinom, hogy
akkor azt mondjuk, hogy α ∈ R elem gyöke a p polinomnak és hogy (x-α) gyöktényezője p-nek.
Az x0 ∈ R elem zérushelye a p polinomnak, ha x0-ben a p helyettesítési értéke 0.
Bézout tétele – A p ∈ R[X] polinomnak az α ∈ R elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye.
Test fölött nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében, vagy más algebrailag zárt test fölött ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahányadfokú a polinom. Ez az algebra alaptétele.
A (multiplicitással számolva) pontosan n gyökű n-edfokú polinomok felírhatók ún. gyöktényezős alakban:
A jobb oldali alakban a polinom főegyütthatójának, pedig a polinom gyökeinek felelnek meg. Végtelen gyűrű fölött teljesül a kölcsönös meghatározottság.
Gyökök meghatározása, becslése
[szerkesztés]Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározásában segít a Rolle-féle gyöktétel. A jelöltek az x=p/q alakú racionális számok, ahol p és q relatív prímek, és p osztója a konstans tagnak, és q osztója a főegyütthatónak. Alacsony fokú, legfeljebb negyedfokú polinomok gyökei gyökjelekkel meghatározhatók (lásd megoldóképlet). Magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel, ez az Abel-Ruffini-tétel.
A páratlan fokú valós együtthatós polinomoknak van legalább egy valós gyökük.
Az együtthatók és a fok alapján a gyökökre valós és komplex esetben is becslést lehet adni. Valós esetben a gyökkorlát, ha a polinom összes gyöke a intervallumban található, vagyis a gyökök abszolút értéke nem nagyobb B-nél. B felső gyökkorlát, ha a polinom minden gyöke legfeljebb B. Hasonlóan definiálható az alsó gyökkorlát is.
A korlátokat normált, azaz 1 főegyütthatójú polinomokra adják meg; azonban mivel a nullától különböző konstanssal való szorzás (nullosztómentes esetben) nem változtatja meg a gyököket, a gyökök becsléséhez végig lehet osztani a főegyütthatóval. Legyen ekkor a negatív együtthatók halmaza. Ennek méretét a továbbiakban jelöli.
- Cauchy-szabály: egy felső gyökkorlát,
- Newton-szabály: egy felső gyökkorlát,
- Lagrange és Maclaurin szabálya: egy felső gyökkorlát, , ahol a legnagyobb abszolút értékű negatív együttható abszolút értéke, és a legmagasabb kitevős negatív együttható kitevője.
- Minden , amire teljesül, hogy , gyökkorlát, ami a komplex gyökök abszolút értékét is behatárolja. Ennek speciális esetei Gerschgorin tételei:
- és
- .
Komplex gyökkorlátok esetén is a gyökök abszolútértékét határolják be. B komplex gyökkorlát, ha a polinom gyökei a nulla középpontú, B sugarú körben helyezkednek el. Egyes alkalmazásokban néhány, adott számú gyökre is értelmeznek gyökkorlátot.
Komplex gyökkorlát minden , amire teljesül. Ekkor a nulla körüli, B sugarú kör pontosan k gyököt tartalmaz. Az egyenlet mindig megoldható esetén, de a közbenső számokra nem biztos. Ez Rouché tételének következménye. esetén a fent már említett egyenlet adódik. A eset egy gyököktől mentes körlapot ad. Ekkor a reciprok polinom gyökkorlátja. Ha f polinom, akkor reciprok polinomja .
Helyettesítési érték kiszámítása: a Horner-módszer
[szerkesztés]A gyökök meghatározása magasabb fok és irracionális gyökök esetén nem egyszerű; a Newton-módszerrel becsülhetők. Azt meghatározni azonban, hogy egy komplex szám gyöke-e egy adott polinomnak, létezik egy módszer, amit William George Horner angol matematikus dolgozott ki. A Horner-elrendezés arra is alkalmas, hogy segítsen a Newton-módszernek a polinom összes gyökének becslésében.
A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:
Tehát egy komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:
A módszer lényeges eleme az ún. Horner-séma lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:
A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk -val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül alatt helyettesítési értéke áll.
Megjegyzések:
- A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az –val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
- Ha helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.
Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:
A feladathoz tartozó Horner-séma:
1 | -5 | 11 | -15 | |
3 | 1 | 31-5=-2 | 3(-2)+11=5 | 35-15=0 |
Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az lesz.
Gyökök és együtthatók közötti összefüggések
[szerkesztés]Legyenek a polinom együtthatói:, a gyökei pedig: . Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:
Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal.
Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:
Ezekből adódik tehát hogy:
és
Analízis
[szerkesztés]A polinomok egyszerűen deriválhatók és integrálhatók:
- deriváltja
- egy primtív függvénye
Ezek a műveletek sem vezetnek ki a polinomok közül.
Más függvények közelíthetők polinomokkal, például Taylor-sorral, interpolációval, Bernstein-polinomokkal.
A valós és a komplex polinomok hatványok lineáris kombinációi, ezért lassabban nőnek, mint bármely exponenciális függvény, aminek kitevője egynél nagyobb.
A páratlan fokú valós polinomok értékkészlete , azaz szürjektívek. Ha a főegyüttható pozitív, akkor -ből jönnek, majd ingadoznak egy szakaszon, utána -be mennek. Ha a főegyüttható negatív, akkor -ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd -be mennek.
A páros fokú polinomok értékkészlete pozitív főegyütthatóval , és negatív főegyütthatóval . Menetük: pozitív főegyütthatóval -ből érkeznek, ingadoznak egy szakaszon, majd -be mennek. Negatív főegyütthatóval --ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd -be mennek.
A polinomok végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket Taylor-sorba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk Taylor-polinomokról.
Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy racionális törtfüggvénynek hívjuk. Ezeknek az integrálása az integrálszámítás egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.
Interpoláció
[szerkesztés]Az interpoláció módszerének segítségével különböző komplex számpárra, vagyis pontra a komplex számsíkon egyértelműen illeszthető (n–1)-edfokú polinom, amely áthalad a megadott pontokon.
Bizonyítás
[szerkesztés]Legyenek az adott pontpárok a következők: . Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha és két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor egy olyan legfeljebb ()-ed fokú polinom, amelynek gyöke. Az algebra alaptétele szerint ez csak akkor lehetséges, ha , vagyis .
Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot Lagrange módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:
Ezekre és , ha .
Tehát a polinom teljesíti a feltételeket.
Példa
[szerkesztés]Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2), (1;4); ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok:
Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz:
Általánosítások
[szerkesztés]A hatványsorok alakja:
Ha nem foglalkozunk a konvergenciával, akkor a hatványsor formális, ami nem mindig állít elő függvényt. Ha egy bizonyos tartományon (nemcsak egy pontban) konvergens, és előállítja a függvényt, akkor egy analitikus függvényhez jutunk, amit újra vizsgálni lehet.
A Laurent-sorok alakja:
A Laurent-sorok a hatványsorokhoz hasonlóan vizsgálhatók.
Ha az összeg véges, de a monomokban tetszőleges valós hatványkitevőket megengedünk, akkor poszinomiális függvényekhez jutunk.
További információk
[szerkesztés]Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ compalg.inf.elte.hu/~zslang/Polinom1sima.ppt
Források
[szerkesztés]- Horváth Erzsébet: Lineáris algebra (Műegyetemi Kiadó, 2002)
- Konsztantyin Alekszejevics Ribnyikov: A matematika története (Tankönyvkiadó, Budapest, 1968)
- Nagy Attila (BME-TTK) Lineáris algebra c. előadásai
- Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage.
- Holz, Wille: Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2.
- Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra.
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Polynom című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.