Szimmetrikus polinom

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a P(X1, X2, …, Xn) polinomot szimmetrikus polinomoknak nevezzük, ha annak változóit tetszőleges módon felcserélve ugyanazt a polinomot kapjuk. Jelölésekkel megfogalmazva, legyen P egy szimmetrikus polinom, σ pedig az 1, 2, ..., n indexek egy permutációja, akkor fennáll a P(Xσ(1), Xσ(2), …, Xσ(n)) = P(X1, X2, …, Xn).

(ellen)példák:

  • 2x5+2y5 egy kétváltozós szimmetrikus polinom
  • x5-y5 egy kétváltozós nem-szimmetrikus polinom

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azonos változójú szimmetrikus polinomok összege, szorzata, skalárszorosa, így bármely polinomja újra szimmetrikus polinom.

A szimmetrikus polinomok alaptétele szerint minden szimmetrikus polinom elő is áll, mint az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.

Speciális szimmetrikus polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elemi szimmetrikus polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n változós elemi szimmetrikus polinomok az

s1(x1, x2, …, xn)= x1+x2+ … + xn

s2(x1, x2, … , xn)= x1x2+ x2x3 + … + xixj + xn-1xn

sn(x1, x2, …, xn)= x1x2xn

szimmetrikus polinomok. Szavakkal, az i-edik n változós elemi szimmetrikus polinom az n változóból képzett összes i tényezős szorzat összege.

Monomikus szimmetrikus polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A monomok, vagy egytagok a változók összeszorzásával keletkező polinomok. Nevüket onnan kapták, hogy egy tagú összegnek tekinthetők. Az x1, …, xn változók monomjai felírhatók x1α1xnαn alakban, amit így szokás rövidíteni: xα, ahol α rendre az x1, …, xn változók kitevőit tartalmazó vektor.

A monomikus szimmetrikus polinom azoknak a monomoknak az összege, amiknek kitevővektorai végigjárják egy α kitevővektor összes permutációját.

Példák:

m_{(3,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=x_1^3x_2x_3+x_1x_2^3x_3+x_1x_2x_3^3,
m_{(3,2,1)}(x_1,x_2,x_3)=x_1^3x_2^2x_3+x_1^3x_2x_3^2+x_1^2x_
2^3x_3+x_1^2x_2x_3^3+x_1x_2^3x_3^2+x_1x_2^2x_3^3
az elemi szimmetrikus polinomok.

Ezek a monomikus szimmetrikus polinomok a szimmetrikus polinomok vektorterének egy generátorrendszerét alkotják, azaz minden szimmetrikus polinom felírható monomikus polinomok lineáris kombinációjaként.

Teljes homogén szimmetrikus polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy polinom homogén, ha minden monomja azonos fokú. Például, a h_3(x_1,x_2,x_3)=x_1^3+x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1
x_2^2+x_1x_2x_3+x_1x_3^2+x_2^3+x_2^2x_3+x_2x_3^2+x_3^3 szimmetrikus polinom homogén harmadfokú polinom. Egy szimmetrikus homogén polinom teljes, ha monomjai végigfutják az összes adott fokú monomot.

A teljes homogén szimmetrikus polinomokkal az elemi szimmetrikus polinomokhoz hasonlóan az összes szimmetrikus polinom kifejezhető. Pontosabban, minden k fokú szimmetrikus polinom előáll a legfeljebb k-adfokú teljes homogén szimmetrikus polinomok polinomjaként.

Alkalmazásuk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alkalmazásuk a Galois-elméletben azon múlik, hogy az egy változós polinomok együtthatói (az előjeltől eltekintve) a gyökök elemi szimmetrikus polinomjai, így ha meg tudjuk oldani az így keletkezett egyenletrendszert, akkor meg tudjuk adni a polinom gyökeit. Ennek a megoldásához ismerni kell a gyökök permutációit, amik segítenek megbontani a szimmetriát, így megoldani az egyenletrendszert. Ez a módszer elvezetett a Lagrange-rezolvensekhez, majd a Galois-elmélethez.

Emellett felbukkannak a lineáris algebrában, a reprezentációelméletben és a kombinatorikában. Többek között a szimmetrikus függvények gyűrűjével együtt is tanulmányozzák őket.

Alternáló polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szimmetrikus polinomokhoz hasonlóak az alternáló polinomok, amik a permutációk hatására előjelet váltanak, vagy nem változnak semmit sem. Ezek felírhatók egy szimmetrikus polinom és egy Vandermonde-polinom szorzataként, és a szimmetrikus polinomok gyűrűjének másodfokú bővítésének tekinthetők.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Symmetric polynomial című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.