„Valószínűségi változó” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2018. május 22., 06:11-kori változata

A valószínűségi változó a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Lényegében olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értéket vesznek fel.^[1] Ilyen lehet például egy kockadobás eredménye, egy folyó vízállása vagy az utcán szembe jövő emberek testmagassága. Formálisan, a valószínűségi változó egy kimenetelt jellemez, nem feltétlenül számszerűen.^[2] Nem számszerű véletlen változó lehet mozgásirány, permutáció vagy gráf is, vagy akármilyen más matematikai objektum. Egy kimenetelhez különféle valószínűségi változó rendelhető, amit realizációnak, sztochasztikus folyamat esetén útnak neveznek.^[3]

Bár a valószínűségi változó szemléletes jelentése viszonylag könnyen megragadható, a precíz matematikai meghatározás a huszadik századig váratott magára, és egészen komoly függvénytani illetve mértékelméleti eszközöket használ fel.

Matematikai definíció

Az $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ valószínűségi mező $\Omega$ eseményterén értelmezett valós értékű $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ függvény pontosan akkor valószínűségi változó, ha

\left\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq x\right\}\in {\mathcal {A}}\qquad \forall x\in \mathbb {R}

A mértékelmélet kifejezéseivel élve ez úgy fogalmazható meg, hogy ha a valószínűségi mezőt mint mértékteret tekintjük, akkor a valószínűségi változók pontosan az A-mérhető függvények.

Tulajdonképp a definíció azt követeli meg, hogy úgy rendeljünk számokat az eseménytér elemeihez – azaz az elemi eseményekhez – hogy az így kapott függvény "jól viselkedjen" a $P$ valószínűségi mérték szerinti integrálás szempontjából. Ez a követelmény ahhoz kell, hogy a valószínűségi változó viselkedésének leírásában, vizsgálatában lehessen kamatoztatni a függvénytan olyan eszközeit, mint az integrál- vagy a differenciálszámítás. A definíció egyenes következménye, hogy a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a megszokott módon definiálható.

Példa: Dobás két kockával

Két kockán dobott számok összege: $(\Omega ,\Sigma ,P){\xrightarrow {S}}(\Omega ',\Sigma ',P^{S})$

Két, egymástól megkülönböztethető kockával való dobás modellezhető a következő $(\Omega ,\Sigma ,P)$ valószínűségi térrel:

$\Omega$ a 36 kimenetel: $\Omega =\{(1,1),(1,2),\dotsc ,(6,5),(6,6)\}$
$\Sigma$ az $\Omega$ hatványhalmaza
Ha feltesszük, hogy a kockák szabályosak, akkor az összes kimenetel valószínűsége ugyanaz. Ekkor a valószínűségi mérték $P\left(\{(n_{1},n_{2})\}\right)={\tfrac {1}{36}}$ ha $n_{1},n_{2}\in \{1,2,3,4,5,6\}$ .

A következőkben az $X_{1}$ az első, $X_{2}$ a második kockával dobott szám, $S$ pedig az összegük. Ezek definíciója a következő:

$X_{1}\colon \Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1},$
$X_{2}\colon \Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{2},$ és
$S\colon \Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1}+n_{2},$

ahol $\Sigma '$ a valós számokon értelmezett Borel-algebra.

Megjegyzések

Általában csak szövegesen adják meg a konkrét adatokat, vagy alapértelmezettnek vesznek néhány dolgot (például: véges esetben szimmetria, az eseményalgebra a hatványhalmaz; folytonos eset: események a Borel-halmazok).

Diszkrét esetben, ha az eseményalgebra a hatványhalmaz, akkor minden függvény mérhető, ezért a mérhetőséggel nem kell foglalkozni. Folytonos esetben azonban már kell a mérhetőséget vizsgálni.

Egyes speciális eseteket mértékelméleti definíció helyett másként is be lehet vezetni.

Példák

Pénzfeldobás

A pénzfeldobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a következő:

az $\Omega$ eseménytér a fej és az írás elemekből áll:

\Omega =\left\{F,I\right\}

,

az események ${\mathcal {A}}$ σ-algebrája az $\Omega$ összes részhalmazából (vagyis az $\Omega$ hatványhalmazából) áll:

{\mathcal {A}}=\left\{\emptyset ,\Omega ,\left\{F\right\},\left\{I\right\}\right\}

a $P$ valószínűségi mérték a következő:

P(\emptyset )=0;\qquad P\left(\left\{F\right\}\right)=1/2;\qquad P\left(\left\{I\right\}\right)=1/2;\qquad P\left(\left\{F,I\right\}\right)=1.

Ekkor valószínűségi változó például a következő $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ függvény:

X(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{ha }}\omega =F,\\2,&{\text{ha }}\omega =I\end{cases}}

Ez a valószínűségi változó az 1 értéket veszi fel, ha fejet dobunk és a 2 értéket, ha írást.

Kockadobás

Hasonlóan a kockadobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a következő:

az $\Omega$ eseménytér 6 elemből áll, az egyes dobásból, a kettes dobásból, … a hatos dobásból
az események ${\mathcal {A}}$ σ-algebrája most is az $\Omega$ összes részhalmazából áll,
a $P$ valószínűségi mérték most a következő: bármely $H\subseteq \Omega$ esetén

P(H)={\frac {\left|H\right|}{6}}

vagyis a

P

minden elemi eseményhez 1/6 valószínűséget rendel, és az olyan

H

eseményekhez, melyek

n

elemi eseményt tartalmaznak,

n/6

-ot.

A kockadobást leíró valószínűségi változót kapunk a következő függvénnyel: $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ olyan, hogy az "egyes dobás" elemi eseményéhez az 1-es számot, a "kettes dobás" elemi eseményéhez a 2-es számot stb. a "hatos dobás" elemi eseményéhez a 6-os számot rendeli.

Ez a valószínűségi változó mindig azt az egész számot veszi fel, amit dobtunk. Azt is lehet látni, hogy ha nem pont az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz lenne az értékkészlete X-nek, hanem például a {2, 4, 6, 8, 10, 12} akkor is a kockadobás véletlen kimeneteit modellezné csak más értékekkel.

A valószínűségi változót jellemző függvények

A valószínűségi változót jellemző értékek

A valószínűségi változók két nagy osztálya

A valószínűségi változók két leggyakrabban emlegetett fajtája a diszkrét és a folytonos valószínűségi változó. Szemléletesen a diszkrét valószínűségi változó olyan, ami elkülönült értékeket tud csak felvenni, a folytonos pedig olyan, ami – legalább egy intervallumon – bármilyen értéket felvehet. Diszkrét valószínűségi változó például az, ami egy kockadobás eredményét írja le, vagy azt, hogy egy üzletbe következőnek betoppanó 8 vendég közül hány férfi. Ezzel szemben folytonosnak tekinthető az a valószínűségi változó, ami azt írja le, hogy az ugyanebbe az üzletbe betoppanó következő vevő milyen magas, vagy hogy egy fáról leszüretelt őszibarack mekkora súlyú, hisz ezek a változók – legalább is egy intervallumon – akármilyen értéket felvehetnek. (Ez a bekezdés csak szemlélteti a folytonos valószínűségi változók fogalmát, és nem teljesen pontos. A precíz matematikai meghatározás a bekezdés alján megadott szócikkben található.)

Fontos megjegyezni, hogy nem csak diszkrét és folytonos valószínűségi változók vannak, tehát ez a két osztály nem adja a valószínűségi változók osztályának partícióját. Se nem folytonos, se nem diszkrét például az a valószínűségi változó, ami a következő kísérletet írja le: feldobunk egy pénzérmét, ha az eredmény fej, akkor a valószínűségi változó értéke legyen 2 ha írás, akkor a valószínűségi változó vegyen fel egy számot véletlenszerűen a [0,1] intervallumon (egyenletes eloszlás szerint).

A folytonos és a diszkrét valószínűségi változókat azért érdemes elkülöníteni a valószínűségi változók nagy osztályából, mert ez a két osztály sok szempontból nagyon jól – és egymástól nagyon eltérően – viselkedik. A várható érték kiszámítására például a diszkrét valószínűségi változók esetében speciális és könnyen számolható képlet adódik, sűrűségfüggvénye pedig csak folytonos valószínűségi változónak lehet.

A pontos matematikai definíciókat az alábbi szócikkek tartalmazzák.

Fontosabb valószínűségi eloszlások

Bernoulli-eloszlás
Béta-eloszlás
Binomiális eloszlás
Borel-eloszlás (Borel-Tanner-eloszlás)
Breit–Wigner-eloszlás
Cauchy-eloszlás
Dirichlet-eloszlás
Egyenletes eloszlás
elfajult eloszlás
Erlang-eloszlás
Exponenciális eloszlás
F-eloszlás
Gamma-eloszlás (Γ-eloszlás)
Gauss-eloszlás
Geometriai eloszlás
Hiperexponenciális eloszlás
Hipergeometrikus eloszlás
Indikátor eloszlás
Karakterisztikus eloszlás
Khí-négyzet eloszlás (χ²-eloszlás)
Logisztikus eloszlás
Lognormális eloszlás (logaritmikusan normális eloszlás, logaritmiko-normális eloszlás)
Markov-Pólya-Eggenberger-eloszlás
Negatív binomiális eloszlás
Normális eloszlás (normál eloszlás)
Pareto-eloszlás
Pascal-eloszlás
Pearson-féle eloszlások
Poisson-eloszlás
Polihipergeometrikus eloszlás
Polinomiális eloszlás
Student-eloszlás
t-eloszlás
valódi eloszlás
Weibull-eloszlás (Weibull-Gnedenko-eloszlás)

Források

Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Jánossy L. (1965): A valószínűségelmélet alapjai és néhány alkalmazása. Tankönyvkiadó, Budapest.
Kleinrock L. (1979): Sorbanállás, kiszolgálás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
Michaletzky Gy. – Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.
Vetier A. (1991): Szemléletes mérték- és valószínűségelmélet. Tankönyvkiadó, Budapest.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12.
↑ Forráshivatkozás-hiba: Érvénytelen <ref> címke; nincs megadva szöveg a(z) Bewersdorff2012 nevű lábjegyzeteknek
↑ David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6

[1] Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12.

[Bewersdorff2012-2] Forráshivatkozás-hiba: Érvénytelen <ref> címke; nincs megadva szöveg a(z) Bewersdorff2012 nevű lábjegyzeteknek

[3] David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6

[1]

[2]

[3]

A lap 2018. május 21., 20:45-kori változata szerkesztés Szalakóta (vitalap \| szerkesztései) megerősített szerkesztők 44 138 szerkesztés →‎Példa: Dobás két kockával: Megjegyzések ← Régebbi szerkesztés		A lap 2018. május 22., 06:11-kori változata szerkesztés visszavonás Magic links bot (vitalap \| szerkesztései) botok 41 177 szerkesztés a ISBN/PMID/RFC link(ek) sablonba burkolása MediaWiki RfC alapján Újabb szerkesztés →
1. sor:		1. sor:
	A '''valószínűségi változó''' a [[valószínűségszámítás]] egyik legfontosabb fogalma. Lényegében olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értéket vesznek fel.<ref>[[Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, {{DOI\|10.1007/978-3-8348-9351-2}}, S. 12.</ref> Ilyen lehet például egy kockadobás eredménye, egy folyó vízállása vagy az utcán szembe jövő emberek testmagassága. Formálisan, a valószínűségi változó egy kimenetelt jellemez, nem feltétlenül számszerűen.<ref name="Bewersdorff2012" /> Nem számszerű véletlen változó lehet mozgásirány, permutáció vagy gráf is, vagy akármilyen más matematikai objektum. Egy kimenetelhez különféle valószínűségi változó rendelhető, amit realizációnak, sztochasztikus folyamat esetén útnak neveznek.<ref> {{cite book\|author=David Meintrup, Stefan Schäffler\|title=Stochastik. Theorie und Anwendungen\|publisher=Springer-Verlag\|location=Berlin Heidelberg New York\|year=2005\|isbn=978-3-540-21676-6\|Seiten=456-457\|DOI=10.1007/b137972}} </ref>		A '''valószínűségi változó''' a [[valószínűségszámítás]] egyik legfontosabb fogalma. Lényegében olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értéket vesznek fel.<ref>[[Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' Vieweg+Teubner Verlag, 2010, {{ISBN\|978-3-8348-0815-8}}, {{DOI\|10.1007/978-3-8348-9351-2}}, S. 12.</ref> Ilyen lehet például egy kockadobás eredménye, egy folyó vízállása vagy az utcán szembe jövő emberek testmagassága. Formálisan, a valószínűségi változó egy kimenetelt jellemez, nem feltétlenül számszerűen.<ref name="Bewersdorff2012" /> Nem számszerű véletlen változó lehet mozgásirány, permutáció vagy gráf is, vagy akármilyen más matematikai objektum. Egy kimenetelhez különféle valószínűségi változó rendelhető, amit realizációnak, sztochasztikus folyamat esetén útnak neveznek.<ref> {{cite book\|author=David Meintrup, Stefan Schäffler\|title=Stochastik. Theorie und Anwendungen\|publisher=Springer-Verlag\|location=Berlin Heidelberg New York\|year=2005\|isbn=978-3-540-21676-6\|Seiten=456-457\|DOI=10.1007/b137972}} </ref>

	Bár a valószínűségi változó szemléletes jelentése viszonylag könnyen megragadható, a precíz matematikai meghatározás a [[huszadik század]]ig váratott magára, és egészen komoly [[függvénytan]]i illetve [[mértékelmélet (matematika)\|mértékelméleti]] eszközöket használ fel.		Bár a valószínűségi változó szemléletes jelentése viszonylag könnyen megragadható, a precíz matematikai meghatározás a [[huszadik század]]ig váratott magára, és egészen komoly [[függvénytan]]i illetve [[mértékelmélet (matematika)\|mértékelméleti]] eszközöket használ fel.