Hipergeometrikus eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az X valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlást követ – vagy rövidebben hipergeometrikus eloszlású – pontosan akkor, ha


\bold P
(X=k)
=
\frac
{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}
{\binom{N}{n}}

ahol max{0, nN + M} ≤ k ≤ min{n, M}. A hipergeometrikus eloszlás a visszatevés nélküli mintavételt írja le.

Szemléletes jelentése: Van N termékünk, ebből M selejtes. Mi annak a valószínűségét akarjuk kiszámolni, hogy n-et (visszatevés nélkül) kihúzva pontosan k selejtes lesz a kezünkben.

Az ötöslottó találati valószínűségeit pontosan így számolhatjuk ki: 90 "termékből" 5 kitüntetett (azaz kihúzták a sorsoláson), mi 5-öt választunk (azaz töltünk ki a szelvényünkön), és mennyi a valószínűsége, hogy a sorsoltakból k a mi szelvényünkön szerepel.

A hipergeometrikus eloszlást jellemző függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Karakterisztikus függvénye

Generátorfüggvénye

A hipergeometrikus eloszlást jellemző számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke


\bold E (X)
=
\frac{nM}{N}
.

Szórása

\bold D (X)
=
\sqrt
 {
  n
  \frac{N-n}{N-1}
  \cdot
  \frac{M}{N}
  \left(
     1-\frac{M}{N}
  \right)
}

Momentumai

Ferdesége


\beta_1(X)
=
\frac
 {
   (1-\frac{M}{N})
   -
   \frac{M}{N}
 }
 {
   \left[
   n \frac{N-n}{N-1}
   \cdot
   \frac{M}{N}
   (
     1-\frac{M}{N}
   )
   \right]^{\frac{1}{2}}
 }
\cdot
\frac{N-2n}{N-2}
=
\frac
 {
   (1-\frac{M}{N})
   -
   \frac{M}{N}
 }
 {
   \bold D (X)
 }
\cdot
\frac{N-2n}{N-2}

Lapultsága

Hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha N és M a végtelenbe tart úgy, hogy M / N egy 0 és 1 közötti p konstanshoz tart, akkor a hipergeometrikus eloszlások sorozata a binomiális eloszláshoz tart. (Az összefüggés lényegében azt mondja ki, hogy a visszatevés nélküli mintavétel egyre nagyobb mintákon egyre jobban hasonlít a visszatevéses mintavételhez.)

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.