Weibull-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Weibull-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Ezt az eloszlást Waloddi Weibullról nevezték el, aki 1951-ben írta le részletesen.

Az eloszlást Maurice Fréchet (1927) fedezte fel, és 1933-ban alkalmazták először granulált részecskék (granulátumok) eloszlására.

Meghatározás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Weibull x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:[1]

f(x;\lambda,k) = \begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0,\\
0 & x<0,\end{cases}

ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A komplementer kumulatív eloszlásfüggvénye a nyújtott exponenciális függvény. A Weibull-eloszlás több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, különösen az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő közötti interpolációjának tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése a következő:

  • k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
  • k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
  • k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.

Az anyagtudományok területén a k alakparaméter Weibull-modulusként ismert.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sűrűségfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valószínűség-sűrűségfüggvény (2 paraméteres)
Kumulatíveloszlás-függvény (2 paraméteres)

A Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye drasztikusan változik a k értéktől függően.

0 < k < 1 tartományban a sűrűségfüggvény ∞ felé tart, ha x tart a zéróhoz.

k = 1 esetében a sűrűségfüggvény az 1/λ felé tart, amikor x közelít a zéróhoz.

k > 1 esetén a sűrűségfüggvény zéróhoz tart, ha x zéróhoz tart, és monoton nő a maximumig, majd csökkenni kezd. Érdemes megjegyezni, hogy a sűrűségfüggvény negatív meredekségű x=0-nál, ha 0 < k < 1; monoton pozitív meredekségű x= 0-nál, ha 1 < k < 2, és lapos x= 0-nál, ha k > 2.

k= 2 esetén a sűrűség monoton pozitív meredekségű x=0-nál.

Ha k tart a végtelenbe, a Weibull-eloszlás a Dirac delta eloszláshoz konvergál x= λ középértékkel.

Eloszlásfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Weibull-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,

x ≥ 0, és F(x; k; λ) = 0 x < 0 esetén. A meghibásodási gyakoriság h (vagy hazárd ráta):

 h(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.

Momentumok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Weibull-eloszlású valószínűségi változók logaritmusának a momentum-generáló függvénye:[2]

E\left[e^{t\log X}\right] = \lambda^t\Gamma\left(\frac{t}{k}+1\right)

ahol \Gamma a gamma-függvény. Hasonlóan a log X karakterisztikus függvénye:

E\left[e^{it\log X}\right] = \lambda^{it}\Gamma\left(\frac{it}{k}+1\right).

Az X n-edik nyers momentuma:

m_n = \lambda^n \Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).

Egy Weibull valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

\mathrm{E}(X) = \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,

és

\textrm{var}(X) = \lambda^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]\,.

A ferdeség:

\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}

ahol  \mu a középérték és \sigma a szórás. A többletlapultság:

\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2
-4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}

ahol \Gamma_i=\Gamma(1+i/k). A lapultság még kifejezhető így is:

\gamma_{2}=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}-3

Momentum-generáló függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számos kifejezés ismert a X momentum-generáló függvényre: sorozatként:

E\left[e^{tX}\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).

Integrálként:

E\left[e^{tX}\right] = \int_0^\infty e^{tx} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}\,dx.

Ha k racionális szám, k = p/q, ahol p és q egész, akkor ezt az integrál analitikus módon kiértékelhető.[3]. Ha t–t helyettesítjük t-vel, akkor:

 E\left[e^{-tX}\right] = \frac1{ \lambda^k\, t^k} \, \frac{ p^k \, \sqrt{q/p}} {(\sqrt{2 \pi})^{q+p-2}} \, G_{p,q}^{\,q,p} \!\left( \left. \begin{matrix} \frac{1-k}{p}, \frac{2-k}{p}, \dots, \frac{p-k}{p} \\ \frac{0}{q}, \frac{1}{q}, \dots, \frac{q-1}{q} \end{matrix} \; \right| \, \frac {p^p} {\left( q \, \lambda^k \, t^k \right)^q} \right)

ahol G a Meijer G-függvény. A karakterisztikus függvény is kiszámítható Muraleedharan és társai által kidolgozott módon.[4]

Az információ entrópiája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az információ entrópiája (Shannon-entrópiafüggvény):

H=\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1

ahol \gamma az Euler–Mascheroni állandó.

Weibull-plot[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Weibull-eloszlást vizuálisan a Weibull-plot jelenítheti meg.[5] A Weibull-plot a tapasztalati kumulatív eloszlásfüggvény megjelenítése. Egy Q-Q plot-ban speciális tengelyeket használva az \hat F(x) adat ábrázolható. A tengelyek \ln(-\ln(1-\hat F(x))) és \ln(x). A változók megváltozástatásának az oka a kumulatív eloszlásfüggvény linearizálása:

\begin{align}
F(x) &= 1-e^{-(x/\lambda)^k}\\
-\ln(1-F(x)) &= (x/\lambda)^k\\
\underbrace{\ln(-\ln(1-F(x)))}_{\textrm{'y'}} &= \underbrace{k\ln x}_{\textrm{'mx'}} - \underbrace{k\ln \lambda}_{\textrm{'c'}}
\end{align}

Ha az adat a Weibull-eloszlásból származik, akkor a Weibull-plotban egy közel egyenes vonal várható. Számos megközelítés létezik arra, amikor a tapasztalati eloszlásfüggvény generálása történik. Az egyik módszer, amikor minden egyes pont függőleges koordinátája a következő összefüggésből származik: \hat F = \frac{i-0.3}{n+0.4} ahol i az adat rangsora és n az adatpontok száma.[6] A Weibull-eloszlás paramétereinek kiértékeléséhez a lineáris regresszió módszere is alkalmazható. A gradiens a k alak paraméterről ad információt közvetlenül, és a \lambda paraméterre is lehet következtetni.

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Weibull-eloszlást a következő területeken alkalmazzák:

  • Túlélés-analízis[7]
  • Hibananalizis
  • Megbízhatósági számítások
  • Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
  • Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás) [8]
  • Extrémérték-elmélet
  • Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
  • Általános (nem élet-) biztosításoknál
  • Technológiaváltozásoknál
  • Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
  • Granulált részecskék méretének becslésénél

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kiegészített Weibull-eloszlás egy járulékos paramétert tartalmaz.[2]

Ennek a valószínűség-sűrűségfüggvénye:

f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}\,

x \geq \theta és f(x; k, λ, θ) = 0 x < θ-re, ahol k >0 is az alakparaméter, \lambda >0 a skálaparameter és a \theta a helyparaméter. Ha θ=0, akkor ez 2 paraméteres eloszlásra redukálja az eloszlást.

A Weibull-eloszlás úgy is jellemezhető, mint egy X valószínűségi változó eloszlása:

Y = \left(\frac{X}{\lambda}\right)^k

mely az exponenciális eloszlás 1 intenzitással.[2]

A Weibull-eloszlás egy interpoláció az exponenciális eloszlás (1/λ intenzitással, ha k = 1) és a Rayleigh-eloszlás között, amikor a Rayleigh eloszlásnál \sigma = \lambda/\sqrt{2} ha k = 2. A Weibull-eloszlás jellemezhető az állandó eloszlással is. Ha X eloszlása állandó (0,1),tartományban, akkor a valószínűségi változó \lambda(-\ln(X))^{1/k}\, Weibull-eloszlású k és λ paraméterekkel. Ez egy egyszerüen implementálható numerikus sémát ad a Weibull-eloszlás szimulációjára.

A Weibull-eloszlás a három paraméteres hatványozott Weibull-eloszlás egy speciális esete, ahol a járulékos kitevő =1. A hatványozott Weibull-eloszláshoz tartozik az „unimodális fürdőkádgörbe” és a monoton hiba ráta.[9]

A Weibull-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ebben a kapcsolatban azonosította először Maurice Fréchet 1927-ben a Weibull-eloszlást. Az ezzel szoros kapcsolatban lévő Fréchet-eloszlás (Fréchet-ről elnevezve), a következő valószínűség sűrűség eloszlással rendelkezik:

f_{\rm{Frechet}}(x;k,\lambda)=\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{-1-k} e^{-(x/\lambda)^{-k}} = *f_{\rm{Weibull}}(x;-k,\lambda).

A Weibull-eloszlást a 3 paraméteres hatványozott Weibull-eloszlásra is lehet általánosítani. Ez az az eset, amikor a meghibásodási ráta több tényezőtől függ, és időnként nő, máskor meg csökken (lásd: fürdőkádgörbe). Azt az eloszlást, melyet minimálisan több valószínűségi változó határoz meg, és mindegyiknek különböző Weibull-eloszlása van, azt poli-Weibull-eloszlásnak hívják.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. (hely nélkül): Scolar Kft. 2009. 334. o. ISBN 9789632440675  
  • Fréchet, Maurice: Sur la loi de probabilité de l'écart maximum. (hely nélkül): Annales de la Société Polonaise de Mathematique. 1927. 93–116. o.  
  • Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.). (hely nélkül): New York: John Wiley & Sons. 1994. ISBN 9780471584957  
  • Weibull, Waloddi: A statistical distribution function of wide applicability. (hely nélkül): J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (3). 1951. 293–297. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
  2. ^ a b c Johnson, Kotz & Balakrishnan 1994
  3. See (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) for the case when k is an integer, and (Sagias & Karagiannidis 2005) for the rational case.
  4. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378383907000452
  5. The Weibull plot
  6. Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0471644625
  7. Survival/Failure Time Analysis
  8. http://www.reuk.co.uk/Wind-Speed-Distribution-Weibull.htm Wind Speed Distribution Weibull
  9. System evolution and reliability of systems. Sysev (Belgium), 2010. január 1