Weibull-eloszlás

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Weibull-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Ezt az eloszlást Waloddi Weibullról nevezték el, aki 1951-ben írta le részletesen.

Az eloszlást Maurice Fréchet (1927) fedezte fel, és 1933-ban alkalmazták először granulált részecskék (granulátumok) eloszlására.

Meghatározás

A Weibull x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:

$f(x;\lambda,k) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0 ,\\ 0 & x<0 ,\end{cases}$

ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A komplementer kumulatív eloszlásfüggvénye a nyújtott exponenciális függvény. A Weibull-eloszlás több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, különösen az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő közötti interpolációjának tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése a következő:

• k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
• k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
• k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.

Az anyagtudományok területén a k alakparaméter Weibull-modulusként ismert.

Tulajdonságok

Sűrűségfüggvény

Valószínűség-sűrűségfüggvény (2 paraméteres)

Kumulatíveloszlás-függvény (2 paraméteres)

A Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye drasztikusan változik a k értéktől függően.

0 < k < 1 tartományban a sűrűségfüggvény ∞ felé tart, ha x tart a zéróhoz.

k = 1 esetében a sűrűségfüggvény az 1/λ felé tart, amikor x közelít a zéróhoz.

k > 1 esetén a sűrűségfüggvény zéróhoz tart, ha x zéróhoz tart, és monoton nő a maximumig, majd csökkenni kezd. Érdemes megjegyezni, hogy a sűrűségfüggvény negatív meredekségű x=0-nál, ha 0 < k < 1; monoton pozitív meredekségű x= 0-nál, ha 1 < k < 2, és lapos x= 0-nál, ha k > 2.

k= 2 esetén a sűrűség monoton pozitív meredekségű x=0-nál.

Ha k tart a végtelenbe, a Weibull-eloszlás a Dirac delta eloszláshoz konvergál x= λ középértékkel.

Eloszlás függvény

A Weibull-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

$F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,$

x ≥ 0, és F(x; k; λ) = 0 x < 0.esetén. A meghibásodási gyakoriság h (vagy hazárd ráta):

$h(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.$

Momentumok

A Weibull-eloszlású valószínűségi változók logaritmusának a momentum-generáló függvénye:

$E\left[e^{t\log X}\right] = \lambda^t\Gamma\left(\frac{t}{k}+1\right)$

ahol $\Gamma$ a gamma-függvény. Hasonlóan a log X karakterisztikus függvénye:

$E\left[e^{it\log X}\right] = \lambda^{it}\Gamma\left(\frac{it}{k}+1\right).$

Az X n.-ik nyers momentuma:

$m_n = \lambda^n \Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).$

Egy Weibull valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

$\mathrm{E}(X) = \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$

és

$\textrm{var}(X) = \lambda^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]\,.$

A ferdeség:

$\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$

ahol $\mu$ a középérték és $\sigma$ a szórás. A többletlapultság:

$\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2 -4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}$

ahol $\Gamma_i=\Gamma(1+i/k)$. A lapultság még kifejezhető így is:

$\gamma_{2}=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}-3$

Momentum-generáló függvény

Számos kifejezés ismert a X momentum-generáló függvényre: sorozatként:

$E\left[e^{tX}\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).$

Integrálként:

$E\left[e^{tX}\right] = \int_0^\infty e^{tx} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}\,dx.$

Ha k racionális szám, k = p/q, ahol p és q integer, akkor ezt az integrál analitikus módon kiértékelhető..Ha t–t helyettesítjük –t-vel, akkor:

$E\left[e^{-tX}\right] = \frac1{ \lambda^k\, t^k} \, \frac{ p^k \, \sqrt{q/p}} {(\sqrt{2 \pi})^{q+p-2}} \, G_{p,q}^{\,q,p} \!\left( \left. \begin{matrix} \frac{1-k}{p}, \frac{2-k}{p}, \dots, \frac{p-k}{p} \\ \frac{0}{q}, \frac{1}{q}, \dots, \frac{q-1}{q} \end{matrix} \; \right| \, \frac {p^p} {\left( q \, \lambda^k \, t^k \right)^q} \right)$

ahol G a Meijer G-függvény. A karakterisztikus függvény is kiszámítható Muraleedharan és társai által kidolgozott módon.

Az információ entrópiája

Az információ entrópiája (Shannon-entrópiafüggvény):

$H=\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1$

ahol $\gamma$ az Euler–Mascheroni állandó.

Weibull-plot

A Weibull-eloszlást vizuálisan a Weibull-plot jelenítheti meg. A Weibull-plot a tapasztalati kumulatív eloszlásfüggvény megjelenítése. Egy Q-Q plot-ban speciális tengelyeket használva az $\hat F(x)$ adat ábrázolható. A tengelyek $\ln(-\ln(1-\hat F(x)))$ , és $\ln(x)$. A változók megváltozástatásának az oka a kumulatív eloszlásfüggvény linearizálása:

$\begin{align} F(x) &= 1-e^{-(x/\lambda)^k}\\ -\ln(1-F(x)) &= (x/\lambda)^k\\ \underbrace{\ln(-\ln(1-F(x)))}_{\textrm{'y'}} &= \underbrace{k\ln x}_{\textrm{'mx'}} - \underbrace{k\ln \lambda}_{\textrm{'c'}} \end{align}$

Ha az adat a Weibull-eloszlásból származik, akkor a Weibull-plotban egy közel egyenes vonal várható. Számos megközelítés létezik arra, amikor a tapasztalati eloszlásfüggvény generálása történik. Az egyik módszer, amikor minden egyes pont függőleges koordinátája a következő összefüggésből származik: $\hat F = \frac{i-0.3}{n+0.4}$ ahol $i$ az adat rangsora és $n$ az adatpontok száma. . A Weibull-eloszlás paramétereinek kiértékeléséhez a lineáris regresszió módszere is alkalmazható. A gradiens a $k$ alak paraméterről ad információt közvetlenül, és a $\lambda$ paraméterre is lehet következtetni.

Alkalmazás

A Weibull-eloszlást a következő területeken alkalmazzák:

• Túlélés-analízis
• Hibananalizis
• Megbízhatósági számítások
• Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
• Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)
• Extrémérték-elmélet
• Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
• Általános (nem élet-) biztosításoknál
• Technológiaváltozásoknál
• Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
• Granulált részecskék méretének becslésénél

Kapcsolódó eloszlások

A kiegészített Weibull-eloszlás egy járulékos paramétert tartalmaz.

Ennek a valószínűség-sűrűségfüggvénye:

$f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}\,$

$x \geq \theta$ és f(x; k, λ, θ) = 0 x < θ-re, ahol, $k >0$ is az alakparaméter , $\lambda >0$ a skálaparameter és a $\theta$ a helyparaméter . Ha θ=0, akkor ez 2 paraméteres eloszlásra redukálja az eloszlást.

A Weibull-eloszlás úgy is jellemezhető, mint egy X valószínűségi változó eloszlása:

$Y = \left(\frac{X}{\lambda}\right)^k$

mely az exponenciális eloszlás 1 intenzitással, .

A Weibull-eloszlás egy interpoláció az exponenciális eloszlás (1/λ intenzitással, ha k = 1) és a Rayleigh-eloszlás között, amikor a Rayleigh eloszlásnál $\sigma = \lambda/\sqrt{2}$ ha k = 2. A Weibull-eloszlás jellemezhető az állandó eloszlással is. Ha X eloszlása állandó (0,1),tartományban, akkor a valószínűségi változó $\lambda(-\ln(X))^{1/k}\,$ Weibull-eloszlású k és λ paraméterekkel. Ez egy egyszerüen implementálható numerikus sémát ad a Weibull-eloszlás szimulációjára.

A Weibull-eloszlás a három paraméteres hatványozott Weibull-eloszlás egy speciális esete, ahol a járulékos kitevő =1. A hatványozott Weibull-eloszláshoz tartozik az „unimodális fürdőkádgörbe” és a monoton hiba ráta.

A Weibull-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ebben a kapcsolatban azonosította először Maurice Fréchet 1927-ben a Weibull-eloszlást. Az ezzel szoros kapcsolatban lévő Fréchet-eloszlás (Fréchet-ről elnevezve), a következő valószínűség sűrűség eloszlással rendelkezik:

$f_{\rm{Frechet}}(x;k,\lambda)=\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{-1-k} e^{-(x/\lambda)^{-k}} = *f_{\rm{Weibull}}(x;-k,\lambda).$

A Weibull-eloszlást a 3 paraméteres hatványozott Weibull-eloszlásra is lehet általánosítani. Ez az az eset, amikor a meghibásodási ráta több tényezőtől függ, és időnként nő, máskor meg csökken (lásd: fürdőkádgörbe). Azt az eloszlást, melyet minimálisan több valószínűségi változó határoz meg, és mindegyiknek különböző Weibull-eloszlása van, azt poli-Weibull-eloszlásnak hívják.

Irodalom

• Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Scolar Kft. 2009. 334. o. ISBN 9789632440675
• Fréchet, Maurice: Sur la loi de probabilité de l'écart maximum. Annales de la Société Polonaise de Mathematique,. 1927. 93–116. o.
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. 1994. ISBN ISBN 978-0-471-58495-7
• Weibull, Waloddi: A statistical distribution function of wide applicability. J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (3),. 1951. 293–297. o.

Kapcsolódó szócikkek

• Fisher–Tippett–Gnedenko elmélet
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Rayleigh-fading
• Matematikai statisztika
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Gamma-eloszlás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Shannon-entrópiafüggvény
• Entrópia
• Karakterisztikus függvény:
• Lapultság
• Fürdőkádgörbe
• poli-Weibull-eloszlás
• Fréchet-eloszlás
• Általánosított extrémérték-eloszlás
• Hatványozott Weibull-eloszlás
• Extrémérték-elmélet
• Nyújtott exponenciális függvény

Források

• Adatok
• A Weibull-eloszlás
• Egy PDF-fájl