Erlang-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Erlang-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás. Az eloszlást Agner Krarup Erlang (1978–1929) dán matematikus fejlesztette ki, amikor azonos időben keletkező telefonhívásokat vizsgált a koppenhágai telefonközpontban. Ez a munka később kiterjedt a várakozási idők vizsgálatára, és ezzel elindult a sorbanállási elmélet kialakulása. Ezt az eloszlást sztochasztikus folyamatok, és biomatematikai problémák elemzésére is használják.

Áttekintés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az eloszlás folytonos, értéke pozitív minden nullánál nagyobb valós számra, és két paraméterrel szokták jellemezni: az alakparaméterrel (k), mely pozitív egész, és a gyakorisággal (\lambda), mely szintén pozitív valós szám. Az eloszlást néha az inverz gyakoriság paraméterrel is jellemzik (\mu). Az eloszlás k független exponenciális változó összege \mu középértékkel. Ha az alakparaméter k =1, akkor az eloszlás exponenciális eloszlásra egyszerűsödik. Az Erlang-eloszlás a gamma-eloszlás olyan speciális esete, amelynél a k egész szám. A gamma eloszlásnál ez a paraméter nem csak egész lehet.

Jellemzők[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sűrűségfüggvény
Kumulatív eloszlásfüggvény

Sűrűségfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

f(x; k,\lambda)={\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad\mbox{ahol }x, \lambda \geq 0

k, az alakparaméter, \lambda, a gyakoriság paraméter. Egy alternatív, de ekvivalens parametrizálás (gamma-eloszlás) a \mu skálaparamétert használja, mely a gyakoriság paraméter reciproka (\mu = 1/\lambda):

f(x; k,\mu)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\mu}} }{\mu^k(k-1)!}\quad\mbox{ahol}x, \mu \geq 0

Amikor \mu=2, akkor az eloszlás khi-négyzet eloszlássá egyszerűsödik 2k szabadságfokkal. Páros számú szabadságfok esetén ez az általános khi-négyzet eloszlás. A nevező faktoriális függvénye miatt az Erlang-eloszlás csak k, pozitív egész értékeire értelmezhető. A gamma-eloszlás kiterjeszti az Erlang-eloszlást k bármely valós értékére, a gamma-függvényt használva a faktoriális helyett.

Kumulatív eloszlásfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

F(x; k,\lambda) = 1-\frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}

ahol \gamma() az alsó inkomplett gamma-függvény. A kumulatív eloszlásfüggvény másik kifejezése:

F(x; k,\lambda) = 1 - \sum_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}

Várakozási idők[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Átlagos gyakorisággal, függetlenül bekövetkező események a Poisson-folyamattal modellezhetők. k előfordulási gyakoriságú események közötti várakozási idők Erlang-eloszlásúak (egy adott időben előforduló események számát a Poisson-eloszlás írja le). Az Erlang-eloszlás, mely a bejövő hívások közötti időt méri, felhasználható a bejövő hívások várható időtartamának jellemzésére, így információ kapható a forgalmi terhelésről Erlang-egységben mérve. Ez felhasználható a csomagveszteség és késleltetések valószínűségének meghatározására is (Erlang B formula, Erlang C formula). Az Erlang B, és Erlang C formula ma is használatos call centerek forgalmi modellezésénél. Az Erlang B eloszlás felhasználható call centereknél a trönkök tervezésekor. Az Erlang C eloszlás arra használható, hogy a hívásoknak mennyit kell várni, míg kezelővel kerülhetnek kapcsolatba.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Sundarapandian, V: Queueing Theory. Probability, Statistics and Queueing Theory. (hely nélkül): . PHI Learning. 2009. ISBN 8120338448  

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]