Pollaczek–Khinchine-formula

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A sorbanállási elméletben a Pollaczek–Khinchine-formula kifejezi az átlagos sorbanállási hosszúságot, ahol a feladatok a Poisson-folyamat szerint érkeznek, és a szolgáltatás ideje általános eloszlást mutat az M/G/1-típusú sorbanállás szerint. A képlettel kiszámítható az átlagos várakozási idő is. A képletet először Felix Pollaczek publikálta 1930-ban [1], és két évvel később Aleksandr Khinchin átdolgozta.[2][3]

Az átlagos sorbanállási hossz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az átlagos sorbanállási hossz [4]

L = \rho + \frac{\rho^2 + \lambda^2 \operatorname{Var}(S)}{2(1-\rho)}

ahol

Ahhoz, hogy az átlagos sorbanállási hossz véges legyen, szükséges, hogy \rho < 1 legyen, máskülönben a feladatok gyorsabban érkeznének, mint ahogy elhagyják a sort. A ‘forgalom intenzitás’ 0 és 1 között van, és ez egy átlagos része annak az időnek, amikor a kiszolgáló foglalt. Ha a beérkezési ráta \lambda_a nagyobb vagy egyenlő a \lambda_s szolgálati rátával, akkor a sorbanállási késleltetés (várakozás) végtelen lesz.

Átlagos várakozási idő[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha vesszük W-t, annak az átlagos időnek, amíg az ügyfél várakozik a sorban, akkor W=W'+\mu^{-1}, ahol W' az átlagos várakozási idő, és \mu a szolgáltatás ideje. Felhasználva a Little-törvényt, mely szerint:

L=\lambda W

ahol

  • L az átlagos sor hossz
  • \lambda A Poisson-folyamat beérkezési rátája
  • W az átlagos idő (várakozás és kiszolgálás),

így:

W = \frac{\rho + \lambda \mu \text{Var}(S)}{2(\mu-\lambda)} + \mu^{-1}.

Végül írható egy kifejezés az átlagos várakozási időre:[5]

W' = \frac{L}{\lambda} - \mu^{-1} = \frac{\rho + \lambda \mu \text{Var}(S)}{2(\mu-\lambda)}.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pollaczek, F: Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie. (hely nélkül): Mathematische Zeitschrift 32:. 1930. 64–100. o.  
  • Khintchine, A. Y: Mathematical theory of a stationary queue. (hely nélkül): Matematicheskii Sbornik 39 (4):. 1932. 73–84. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Pollaczek, F. (1930.). „Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie”. Mathematische Zeitschrift 32, 64–100. o. DOI:10.1007/BF01194620.  
  2. Takács, Lajos (1971.). „Review: J. W. Cohen, The Single Server Queue”. Annals of Mathematical Statistics 42 (6), 2162–2164. o. DOI:10.1214/aoms/1177693087.  
  3. doi:10.1007/s11134-009-9147-4
    This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand
  4. Haigh, John. Probability Models. Springer (2002). ISBN 1-85233-431-2 
  5. Harrison, Peter G.. Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison-Wesley (1992). ISBN 0-201-54419-9