0,999…

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A 0,999... ábrázolása

A matematikában a 0,999… egy végtelen szakaszos tizedestört, amelyet még

0,\bar{9},   0,\dot{9} vagy \ 0,(9)

alakban is írnak. Érdekessége, hogy eggyel egyenlő, minthogy az 1 számnak két tizedestört előállítása is van, az

1,000… és a
0,999…

Más szavakkal a '0,999…' szimbólum ugyanazt a számot jelöli, mint az '1' szimbólum. Magának az 1 = 0,999… egyenlőségnek (illetve az ilyen típusú egyenlőségeknek) sokféle bizonyítása ismert, ezek a szigorúság különböző fokán állnak, attól függően, hogy középiskolások vagy felsőbb tanulmányokat folytatók számára készültek.

Az utóbbi évtizedekben a matematikapedagógusok vizsgálatokat végeztek arra vonatkozóan, hogy a tanulók mennyire fogadják el az 1 = 0,999… típusú egyenlőségeket. A felmérések szerint a tanulók közül sokan alapvetően megkérdőjelezik vagy elutasítják az egyenlőség fennállását, sokakat pedig a tankönyvek, a tanárok és aritmetikai érvelések meggyőznek arról, hogy igaz a szóban forgó egyenlőség. Mindazonáltal gyakorta ragaszkodnak ahhoz, hogy az állítás igazsága további igazolásra szorul. A diákok érvelése (akár az állítás cáfolásakor, akár igazolásakor) általában a valós számokkal kapcsolatos néhány intuitív elképzelés körül csoportosul. Például, hogy minden egyes számnak egyetlen tizedestört alakja van. Egy másik elképzelés, hogy az 1 a 0,999…-től végtelen kicsiben különbözik, ahol a különbség az infinitezimális egység.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 0,999… az a szám, amely a 0; 0,9; 0,99; 0,999, … sorozat határértéke. E sorozat n-edik elemében n–1 kilences van a tizedesvessző után. Így az az állítás, hogy 0,999… = 1, egyenértékű azzal, hogy ez a sorozat az egyhez tart.

A határérték létezik, hiszen a sorozat monoton növekvő (az n+1-edik tag 9×10-n-nel nagyobb az n-ediknél) és felülről korlátos (az 1 jó felső korlát).

A 0,999… = 1 állítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 0,999… végtelen tizedestört, és az állítás néhány nagyon egyszerű bizonyítása kihasználja a tízes számrendszer aritmetikai tulajdonságait. Az összehasonlítás alaptulajdonsága: két véges tizedestört, aminek különbözőek a jegyeik, különböző számot jelent, eltekintve az utánuk írt nulláktól. Az 1 nem kitüntetett szám abban az értelemben, hogy csak ő rendelkezne két tizedestört alakkal. Minden véges tizedestört alakban írható szám kétféleképpen is megadható. Például:

\frac{6}{5}=1,2000...=1,1999...\,

Továbbá a valós számok végtelen sor alakjában való felírása, mint amely maga a 0,999… kifejezés is, a tízestől különböző számrendszerben sem feltétlenül egyértelmű. Minden számrendszerben vannak olyan valós számok, melyek többféleképpen írhatók fel az adott számrendszerben, mi több, ez még a tört és irracionális alapú számrendszerekben is így van. A jelenség alkalmazásaként megemlíthetjük a Cantor-halmazra vonatkozó vizsgálatokat. Speciálisan, bármely 0,99…9 alakú szám egynél kisebb, ha véges sok kilences van benne.

Kételkedők és érveik[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Még a matematika szakos hallgatók is gyakran kételkednek 0,999… és 1 egyenlőségében. Az okok között szerepel a határérték szabatos fogalmától való makacs idegenkedésük és az infinitezimális mennyiségek természetéről való – a bevett nézethez képest – másként gondolkodásuk. A zavart több közös tényező fokozza:

  • Úgy látják, hogy minden valós számnak egyféle tizedestört alakja van. Számukra az a jelenség, hogy egy számnak két lényegesen eltérő tizedestört alakja van, paradoxnak tűnik, zavarukat csak fokozza, hogy pont az 1-ről van szó, amiről azt gondolják, hogy ennek természetét már jól ismerik.[1]
  • Néhányan úgy értelmezik a "0,999…" alakot, mint ami sok, de véges sok 9-esből áll, melyek darabszáma esetleg változó vagy határozatlanul nagy. Ha pedig mégis elfogadják a végtelen sok 9-est, akkor pedig egy utolsó 9-est képzelnek valahová a végtelenbe.[2]
  • A határérték fogalmának intuitív vagy homályos bevezetése, feltételezése az oktatásban ahhoz vezethet, hogy a hallgatók a határérték megadását inkább valamiféle végtelen eljárásnak fogják fel, mint egy konkrét értékre való rámutatásnak, előtérbe helyezve azt a jelenséget, hogy a sorozatnak nem kell elérnie határértékét. Amikor a sorozat és határértékének különböző volta a hallgatók számára világos, akkor intuitív tárgyalás esetén számukra a "0,999…" szimbólum sokkal inkább sorozat, mint határérték.[3]
  • Egyesek a 0,999…-et rögzített értéknek fogják fel, ami egy infinitezimális mértékű mennyiséggel kisebb 1-nél.
  • Mások meggyőződése, hogy egy konvergens sor összege legjobb esetben is csak közelítés, azaz 0,999… ≈ 1.

Mindezen szemléletek a valós számok hagyományos értelmezésében hibás gondolatmenetek alapjai, ám néhány közülük érvényes lehet más számkörökben, például a nemsztenderd valós számok elméletében. Hasznosak lehetnek továbbá akár általános matematikai értelemben, akár tanulságos ellenpéldaként tekintve, ami a 0,999… jobb megértéséhez vezethet.

Nagy részükkel David Tall is találkozott, amikor a tanulást és a gondolkodást tanulmányozta hallgatói körében. Úgy találta, hogy a hallgatók azért utasították el először ennek az egyenlőségnek a gondolatát, mert a 0,999… számot egy olyan sorozatnak látták, amely egyre inkább megközelíti az 1-et, és nem egy rögzített értékként.

A következő vélemények is felmerültek:

  • A 0,999… szám a legnagyobb végtelen tizedestört, ami kisebb 1-nél.
  • Nem határozhatod meg, hogy hány tizedesjegye van.[4]

Legtöbbjük meggyőzhető az elemi bizonyítások segítségével, de vannak, akik továbbra is kételkednek és frusztrálódnak.[5] A hallgatók, akik képesek precíz definíciókat alkalmazni, egy meglepő eredmény láttán automatikusan újra az intuitív képek hatása alá kerülnek, így a kevésbé elemi bizonyításokat sem mindig értik meg.

Egy valós analízist tanuló hallgató például képes volt belátni, hogy 13 = 0,333… a szuprémum segítségével, de még mindig ellenállt a 0,999… = 1 egyenlőségnek, a hosszú osztásra vonatkozó tapasztalataira hagyatkozva.[6] Mások, akik szintén be tudják bizonyítani, hogy 13 = 0,333…, még mindig nem érzik megfelelőnek a törteket használó bizonyítást, mondván, hogy a logika fontosabb a matematikában, mint a számítások.

Joseph Mazur mesélte, hogy volt egy egyébként kitűnő hallgatója, aki majdnem mindenben kételkedett, amit az oktatója mondott, de mindig hitt a számológépének. Azt hitte, hogy 9 tizedesjegy elég a matematikához, még ahhoz is, hogy kiszámolja 23 négyzetgyökét. Képtelen volt megérteni a 9,99… = 10 határértékes bizonyítását, és „vadul elképzelt végtelen növekvő sorozatnak” nevezte.[7]

Ed Dubinsky és Tsai elmélete szerint akik a 0,999… számot véges, de meghatározatlanul hosszúnak fogják fel, amely egy végtelenül kis mennyiséggel kisebb 1-nél, azok nem értették meg a végtelen tizedestörteket eredményező végtelen sorokat. Megint mások a sor és sorösszeg fogalmát nem képesek megkülönböztetni. Számukra a 0,999… egy sort (tehát egy számítási eljárást és nem sorösszeget, vagyis számot) jelöl, míg az 1 az szám, azaz nem ugyanolyan minőségű, így nem lehetnek egyenlők.[8]

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyszerű bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha 1/3 = 0,333... és ha 2/3 = 0,666..., akkor 3/3 = 0,999.... Mivel 3/3 = 1, ezért 0,999... = 1

Algebrai bizonyítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bizonyítás törtekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A törtek felírhatók véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban. Így például 13 egyenlő lesz a 0,333… végtelen szakaszos tizedestörttel, amiben a 3-as számjegy végtelen sokszor ismétlődik. Ezt az egyenlőséget hárommal szorozva adódik a 0,999… = 1 egyenlőség.

Minden 3-as számjegy 3-mal szorzódik, így lesz belőle 9, ezért 3 × 0,333… = 0,999… (nincs átvitel), és 3 × 13 = 1, tehát 0,999\dots = 1.[9]

A bizonyítás egy másik változata az 1/9 = 0,111… egyenletet szorozza 9-cel.


\begin{align}
0,333\dots &= \frac{1}{3} \\
3 \times 0,333\dots &= 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\
0,999\dots &= 1
\end{align}


\begin{align}
0,111\dots &= \frac{1}{9} \\
9 \times 0,111\dots &= 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\
0,999\dots &= 1
\end{align}

Ugyanennek a bizonyításnak egy könnyített változata 9/9 = 1, és 9/9 = 0,999…, mivel 1/9 = 0,111… Az egyenlőség tranzitivitása miatt 1 = 0,999…

Számjegy-manipuláció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bizonyítás egy másik módja azt a tényt használja ki, hogy 10-zel szorozva a jegyek nem változnak, csak a tizedesvessző mozdul el. Ezért 10 × 0,999… = 9,999…, ami 9-cel nagyobb az eredeti számnál.

A 9,999… – 0,999… kivonás jegyről jegyre végezhető el, és 9 – 9 = 0 minden, a tizedesvessző utáni jegyre fennáll. Így a művelet eredménye 9.

Most felírunk egy egyenletrendszert, és megoldjuk 0,999…-re. Nevezzük ezt a számot c-nek. Az egyenlet így néz ki: 10cc = 9. Ez lényegében ugyanaz, mint 9c = 9. Ezt 9-cel osztva c = 1.[9]

Egyenletek sorozatával felírva



\begin{align}
x &= 0,999\ldots \\
10 x &= 9,999\ldots \\
10 x - x &= 9,999\ldots - 0,999\ldots \\
9 x &= 9 \\
x &= 1 \\
0,999\ldots &= 1
\end{align}

Valós analízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 0,999…-re vonatkozó kérdés valójában nem érinti az analízis megalapozási problémáit, valós számok bevezetéséhez nincs szükség tizedestört-előállításra, így az ezzel a kérdéssel való foglalkozás a matematika szokásos felépítésében sokáig halogatható. Előbb-utóbb azonban elkerülhetetlen, hogy az analízis definiálja a valós számok tizedestört alakját. Ezen olyan

b_0,b_1b_2b_3b_4b_5\dots

szimbólumsorozatot értünk, melyben b0 jelöli a szám egészrészét, a törtrészt pedig a

(b_1;b_2;b_3;\dots;b_n;\dots)\,

végtelen, tizedesjegyekből álló sorozat elemei reprezentálják. A tizedesvessző az egész- és a törtrészt választja el. A 0,999… vizsgálatánál eltekinthetünk a negatív egészrész esetétől, sőt akár magától az egészrésztől is. Világos, hogy:

  • a törtrészben végtelen sok jegy is lehet,
  • a jelölés helyiértékes, azaz például az 5 az 500-ban tízszer annyit ér, mint az 50-ben, és 0,05-ben tízszer annyit ér, mint 0,005-ben.
Végtelen sorozatok és sorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A végtelen tizedestörteket többnyire végtelen sorok összegeként vezetik be. Általános esetben a tizedestört alak által kijelölt szám értéke:

b_0 , b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .

Mivel a 0,999…-ben a tizedesjegyek mind azonosak, ezért az előbbi képlet kiszámításához elegendő a mértani sorokról szóló tételhez fordulnunk. Eszerint, ha a tetszőleges valós szám, amely a mértani sor kezdőeleme és |r| < 1 szám, akkor

a+ar+ar^2+ar^3+\cdots = a\cdot\frac{1}{1-r}.

Jelen esetben a sor az előbbi második tagjánál kezdődik:

ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}

A 0,999… esetén a = 9 és r = \scriptstyle{\frac{1}{10}}, ezért a képlet ekkor

0,999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\, [10]

Ez a bizonyítás (pontosabban a 9,999… = 10 bizonyítása) Leonhard Euler 1770-es Az algebra elemei című munkájában is szerepel.[11]

Felhasználtuk azt a tételt, ami szerint, ha (an) konvergens számsorozat, és határértéke a, akkor tetszőleges c \in \mathbb R-re a can sorozat is konvergens, és határértéke ca.

Ennek bizonyításához először tekintsük azt a speciális esetet, amikor a = 0.

Legyen ε tetszőleges pozitív szám, és K > |c| pozitív szám. (an) tart a nullához, ezért ε /K -hoz van egy elég nagy N szám, hogy ha n>N, akkor |an| < ε /K. Eszerint minden n>N-re |(ca)n| = |can| < Kε /K=ε, és ezzel can szintén a nullához tart.

Ha a nem nulla, akkor a sorozat minden tagjából levonunk a-t, így olyan (ana) sorozatot kapunk, amelynek határértéke nulla. A speciális eset szerint, ha c-vel szorozzuk, akkor is tart a nullához, ezért c(ana) = (canca) határértéke nulla, tehát a can sorozat ca-hoz tart.[12]

Hasonlók tudhatók két sorozat összeadásáról és kivonásáról is. Itt mindkét sorozatban elmegyünk addig, amíg ε / 2 -nél közelebb kerülünk a határértékhez. Megnézzük, melyikben nagyobb a küszöbszám. Ez a küszöb jó lesz az összegsorozathoz és az ε számhoz.

Ezzel a tétellel bizonyítható a számjegy-manipuláció és a törtekkel való bizonyítás helyessége is.

Példa sorozathatárértékre. A [0;1] intervallum a négyesalapú (0,3; 0,33; 0,333; …) 1-hez konvergáló negyedestört sorozattal. Ebben a számrendszerben 1 = 0,333… .

A mértani sor összegére vonatkozó eredmény Eulernél sokkal korábbi. Már Apollóniosz is használta a parabolaszelet területének meghatározására. A 18. században a deriválásokat tipikus módon a sorokkal végzett tagonkénti műveletekkel végezték úgy, ahogy ennek a szócikknek az algebrai megoldásokat részletező szakaszában bemutattuk. Bonnycastle 1811-es An Introduction to Algebra című tankönyvéban már felvonultatja a 0,999…-ra vonatkozó állítás mértani sorral történő bizonyítását.[13] A 19. században pontosították a sorösszeg fogalmát, olymódon, ahogy az ma szokásos: a sor összege nem más, mint egy sorozat részletösszegei sorozatának határértéke. A határérték szigorú fogalmára hivatkozó bizonyítás szerepel például Rudin könyében.

Bővebben. A (x1, x2, x3, …) sorozat határértéke az x szám, ha az |xnx| távolság tetszőlegesen kicsivé válik, amint az n elegendően nagy. A 0,999… = 1 kijelentés megfogalmazható a határérték felhasználásával és igazolható is:

0,999\ldots = \lim_{n\to\infty}0,\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,[14]

Az utolsó lépésnél – hogy lim 1/10n = 0 – gyakran hivatkoznak a valós számok arkhimédészi tulajdonságára, azaz arra, hogy minden valós számnál van nagyobb természetes szám (amiből következik, hogy 1/n minden pozitív valós számnál kisebbé válik, ahogy az 1/10n is).

Egymásba skatulyázott intervallumok és legkisebb felső korlátok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egymásba skatulyázott intervallumok: 3-as számrendszerben 1 = 1,000… = 0,222…

A sorösszeggel történő definíció lehetőséget nyújt arra, hogy definiáljuk azt a valós számot, melyet a tizedestört-előállítás meghatároz. Ezzel ellenkező szemlélet, hogy egy adott valós számhoz definiálunk egy olyan tizedestört alakot, amely megnevezi.

Tegyük fel, hogy az x valós számról azt tudjuk, hogy a [0; 10] intervallumba esik. Felírjuk egy tizedes előállítását.

  • A [0; 10] intervallumot feloszthatjuk 10 részre úgy, hogy a végpontok fedjék egymást. Az x szám tehát az
    [0; 1], \quad [1; 2], \quad [2; 3], ..., \quad [9; 10]

zárt intervallumok egyikébe biztosan beleesik. Tegyük fel, tudjuk, hogy a [2; 3]-ban van. Ekkor rögzítsük a b0 = 2 számot, mint tizedestört alakban az egész számot.

  • A [2; 3] intervallumot osszuk tovább: [2; 2,1], [2.,1; 2,2], …, [2,8; 2,9], [2,9; 3]. Ekkor x ezek valamelyikébe esik, mondjuk a [2,8; 2,9]-be. Rögzítsük a b1 = 8-as számjegyet, mint az első számjegyet.
  • Az eljárást folytatva egymásba skatulyázott intervallumok végtelen sorozatát kapjuk, amelyeket a jegyek végtelen sorozata címkéz: b0, b1, b2, b3, …, ami így írható:
x = b0,b1b2b3

Ezt az eljárást szem előtt tartva, az, hogy 1 egyaránt lehet 1,000… és 0,999…, annak a következménye, hogy az 1 szám eleme mind a [0;1], mind az [1;2] intervallumnak, így az eljárás első lépésében akármelyiket választhatjuk az 1 tizedestört előállítására. Az eljárás helyességéhez azt kell megmutatnunk, hogy a tizedestört-előállítás egyetlen valós számra mutat. Ezt meg lehet oldani határértékkel, de más konstrukciók a rendezést használják.[15]

Nyílegyenes választás a beágyazott intervallumok tétele, amely kimondja, hogy egymásba ágyazott zárt intervallumok végtelen sorozatának egy közös pontja van. Így b0,b1b2b3… az a szám, amely benne van a {b0, b0.b1, b0.b1b2, …} intervallumok mindegyikében.

Ez a tétel a valós számok egy még alapvetőbb tulajdonságán nyugszik: a legkisebb felső korlátok, azaz a szuprémumok létén. Ehhez definiálni kell b0-t a b1b2b3approximáló sorozat legkisebb felső korlátjaként. Látható, hogy ez az eljárás konzisztens a felosztási folyamattal, amiből ismét következik, hogy 0,999… = 1.

Az, hogy egy valós számnak két különböző tizedestört alakja lehet, csupán annak a következménye, hogy van két, valós számokból álló halmaz, amelynek ugyanaz a legkisebb felső korlátja.[16]

Valós számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Más megközelítések a valós számokat a racionális számok fölötti struktúraként tekintik. Az axiomatikus halmazelmélet szerint a 0-val kezdődő természetes számok mindegyikének van rákövetkezője. Az így definiált természetes számok ellentettjeikkel együtt kiadják az egész számokat, és ezek hányadosai pedig a racionális számokat. Ezeken a számkörökön belül aritmetikai műveletek is végezhetők: ezek a számok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók, oszthatók egymással. Sőt, rendezett struktúrákat adnak, így az egyik szám összehasonlítható egy másikkal, és nemcsak azt lehet megkérdezni, hogy egyenlőek-e, hanem lehet az egyik kisebb vagy nagyobb a másiknál.

Az előzőknél jóval nagyobb kiterjesztés a racionális számokról a valósakra áttérni. Többféle lehetőség is kínálkozik erre, ezek közül kettőt 1872-ben publikáltak: a Dedekind-szeleteket és a Cauchy-sorozatokat. A valós analízisről szóló jegyzetek nem tartalmazzák a 0,999… = 1 direkt bizonyítását, inkább az analízis axiómáival foglalkoznak. A legtöbb konstrukciónak az a célja, hogy bemutassa vagy igazolja a valós számok axiómáit, amelyek a fenti bizonyításokat támogatják. Néhány szerzőnek viszont az az ötlete, hogy elsőre a konstrukciókat mutassák be, mert úgy logikusabb a felépítés, és a végeredmények függetlenebbek.[17]

Dedekind-szeletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Dedekind-szeleteket használó megközelítés szerint minden valós szám a nála kisebb racionális számok halmaza.[18] Speciálisan, az 1 azoknak a racionális számoknak a halmaza, amelyek kisebbek 1-nél.[19] Minden pozitív tizedestört meghatároz egy Dedekind-szeletet: azoknak a véges tizedestörteknek a halmazát, amelyek levágással kaphatók belőle. Így a 0,999… valós szám tekinthető az olyan r valós számok halmazának, amelyekre r < 0 vagy r < 0,9 vagy r < 0,99 vagy r kisebb, mint egy \begin{align}1-(\tfrac{1}{10})^n\end{align} alakú szám. 0,999… összes eleme kisebb, mint 1,[20] így eleme az 1 valós számnak. Visszafelé, az 1 elemeire \begin{align}\tfrac{a}{b}<1\end{align}, amiből \begin{align}\tfrac{a}{b}<1-(\tfrac{1}{10})^b\end{align}. Mivel 0,999… és 1 ugyanazokat az elemeket tartalmazza, ezért a két halmaz, így a két szám egyenlő.

Cauchy-sorozatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós számok konstrukciójának egy másik módja a Cauchy-sorozatokat használja.

Először is x és y távolságát az |x ‒ y| értékkel definiálja, ahol |z| a szokott értelemben vett abszolútérték-függvény. A továbbiakban a megközelítés ezt a távolságmértéket használja.[21]

A sorozatokat leképezésként értelmezi a pozitív egészek halmazáról a valós számok halmazába, ahol is n-nek a sorozat n-edik eleme felel meg. A valós számokat Cauchy-sorozatokként definiálja, ahol is két sorozatot egyenlőnek tekint, ha az (xn ‒ yn) sorozat határértéke 0.

Ebben a megközelítésben azt kell bizonyítani, hogy az

1 – 0, 1 – (9 / 10), 1 – (99 / 100), … = 1, (1 / 10), (1 /100), …

sorozat határértéke 0. A sorozat n-edik tagját tekintve elég megmutatni, hogy:\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{10^n} = 0. Ez pedig nyilvánvaló, hiszen a 0,1 < 1 hányadosú mértani sor határértéke véges.

A Cauchy-sorozatokat használó definíciót elsőként Eduard Heine és Georg Cantor publikálta, mindketten 1872-ben.[22]

Általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 0,999… = 1 állítás és bizonyításai többféleképpen is általánosíthatók.

  1. A nem nulla véges tizedestörtként felírható számoknak van egy másik alakjuk is, amely végtelen sok 9-cel végződik. Például 0,24999… = 0,25 a speciális esethez hasonlóan. Az ilyen számok halmaza sűrű.[23]
  2. Másrészt a tízes számrendszerbeli esethez hasonlóan minden számrendszerben felvetődik ugyanez a kérdés. Kettes számrendszerben 0,111… = 1, és hármas számrendszerben 0,222… = 1. A valós analízisről szóló könyvek rögtön ezzel az általánosítással foglalkoznak, és a kettes és a hármas számrendszerből hoznak példákat.[24]

Az 1 alternatív reprezentációja a nem egész alapú számrendszerekben is megjelenik. Például abban a számrendszerben, amelynek \phi, az aranymetszési arány az alapja, az 1 két lehetséges reprezentációja 1,000… és 0,101010…; de végtelen sok olyan reprezentáció is van, amelyben szomszédos 1-esek is vannak. Sőt, majdnem minden 1 és 2 közötti számra 1-nek megszámlálhatatlanul sok kifejtése van. Másrészt megszámlálhatatlanul sok olyan alap van, amire az 1-nek csak egy másik kifejtése van az adott alapra nézve. Ezt az eredményt elsőként magyar matematikusok látták be, mégpedig Erdős Pál, Horváth Miklós és Joó István 1990 körül. 1998-ban Komornik Miklós és Paola Loreti meghatározta a legkisebb ilyen bázist, 1,787231650…-t; ahol is fennáll 1 = 0,11010011001011010010110011010011…; a jegyeket a Thue–Morse-sorozat adja, ez a felírás pedig nem periodikus.[25]

Egy még messzebb menő általánosítás a még általánosabb helyi értékes számrendszerekről szól. Ezekben is többféle reprezentáció létezik, és a nehézségek is ezzel együtt nőnek.

A kiegyensúlyozott hármas számrendszerben (ahol a jegyek 0, +1, -1), 1/2 = 0,111… = 1,111….

A faktoriális számrendszerben 1 = 1,000… = 0,1234….

Marko Petkovšek belátta, hogy a helyi értékes rendszerek használatának szükséges következménye a többféle számábrázolás. Minden, az összes valós számot ábrázoló számrendszerben sűrű azoknak a valós számoknak a halmaza, amelyek többféleképpen is reprezentálhatók.[26]

Alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyik alkalmazás az elemi számelmélethez tartozik. 1802-ben H. Goodwin publikálta megfigyelését a végtelen szakaszos tizedestörtekről. Ha a tört nevezője a prímszámok egy bizonyos részéhez tartozik, akkor efféle dolgok történnek:

  • 1/7 = 0,142857142857… és 142 + 857 = 999.
  • 1/73 = 0,0136986301369863… és 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy egy ennél általánosabb tételt, Midy tételét bizonyította be 1836-ban. A publikáció homályos volt, és tisztázatlan, hogy használta-e a 0,999…-ről szóló eredményt, de W. G. Leavitt egy modern bizonyítása igen. Ha bizonyítható, hogy a 0,b1b2b3… végtelen tizedestört egész szám, akkor ennek az 0,999…-nek kell lennie, ami a tételben szereplő 9-esek forrása.[27]

Az 1/4, ²/3, és az 1 helye a Cantor-halmazban

Az ez irányú próbálkozások motiválhatják a legnagyobb közös osztó, a moduláris aritmetika, a Fermat-prímek, a rendezés, a csoport és a kvadratikus reciprocitás fogalmának megértését.[28]

Visszatérve a valós analízisre, a 3-as számrendszerbeli analóg 0,222… = 1 kulcsszerepet játszik a legegyszerűbb fraktálok egyikében, a Cantor-halmazban:

  • Az egységintervallumba eső szám akkor és csak akkor eleme a Cantor-halmaznak, ha felírható a hármas rendszerben csak a 0 és a 2 jegyek használatával.

A felírás n-edik jegye a pont helyére utal a konstrukció n-edik lépésében. Például a ²⁄3 a megszokott 0,2 vagy 0,2000… alakjában van adva, mert az első törléstől jobbra és az összes törléstől balra fekszik. Az 13 nem 0,1-ként, hanem 0,0222… -ként van reprezentálva, mert az első törléstől balra és az összes törléstől jobbra fekszik.[29]

A kilencesek Cantor más munkáiban is visszatérnek. Az egységintervallum pontjainak megszámlálhatatlanságát a Cantor-féle átlós eljárással is bizonyítani lehet. A bizonyításnak el kell kerülnie az olyan párokat, mint amilyen 0,2 és 0,1999… . Egy egyszerű módszer minden számot végtelen tizedestört alakba ír, tehát a véges tizedestörtekkét felírható számokat is így adja meg. Egy másik módszer kikerüli a végtelen szakaszos kilenceseket.[30] Cantor eredeti érvelése a kettes számrendszert használja, és a hármas számrendszerbeli felírásokat 2-es számrendszerbe transzformálva a Cantor-halmaz megszámlálhatatlan volta bizonyítható.[31]

Az állítás más számkörökben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ámbár a valós számok egy nagyon hasznos számkör, a 0,999… valós számnak tekintése konvenció. Timothy Gowers érvelése szerint a 0,999… = 1 egyenlőség konvenció:

Ez azonban nem egy önkényes megállapodás, hiszen elvetése vagy a megszokott aritmetikai szabályok elvetését, vagy furcsa új objektumok bevezetését kívánja meg.[32]

Definiálhatók új számkörök, melyek más szabályokat használnak, vagy új objektumokat vezetnek be. Ezekben a számkörökben nem mindig működnek a valós számoknál alkalmazott bizonyítások, így újra kell vizsgálni a 0,999… = 1 kérdését, és egyes ilyen számrendszerekben ez az egyenlőség nem teljesül. Mások viszont inkább a valós számok kiterjesztései, mint független alternatívák, és így az 0,999… = 1 egyenlőség továbbra is fennáll.

Infinitezimálisok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 0,999… = 1 egyes bizonyításai kihasználják, hogy a standard valós számok arkhimédészien rendezettek: nincsenek nemnulla infinitezimálisok. De vannak nem arkhimédészi rendezett algebrai struktúrák, a valós számok egyes alternatíváit is beleértve. A 0,999… jelentése attól függ, hogy melyik struktúrában tekintjük.

Például a duális számok magukban foglalnak egy infinitezimális elemet, amit ε jelöl. Ez megfelel a komplex testbővítés képzetes egységének, kivéve, hogy ε² = 0. A duális számokon megadható egy lexikografikus rendezés, amiben ε többszörösei nem arkhimédészi elemek lesznek.[33] Jegyezzük meg, hogy a duális számok körében továbbra is teljesül 0,999… = 1, mivel a duális számok a valós számok kiterjesztései. A duális számok között nincs legkisebb pozitív szám, mert ha van ε, akkor van ε/2 is.

A standard valós számoknak léteznek más alternatíváik is. Ezek konstruálhatók a toposzelmélet segítségével és a többértékű logikával, vagy speciális esetben a klasszikus logikával. Például vannak olyan konstrukciók, amelyekben az infinitezimális elemeknek nincs reciprokuk.[34]

A nem standard analízis arról ismert, hogy egy olyan számkörrel működik, ami infinitezimálisok teljes tömbjeit tartalmazza. Ez lehetőséget ad az analízis egy másfajta megközelítésére, ami talán intuitívabb, mint a standard változat.[35]

A. H. Lightstone 1972-ben foglalkozott a nem standard decimális kifejtésekkel, ahol a (0, 1) kiterjesztett valós számoknak egyértelmű a kiterjesztett decimális kifejtése. A 0,ddd…;…ddd… alakú jegysorozatokat kiterjesztett egész számokkal indexelte. Ebben a formalizmusban a 0,333… -nak két természetes kiterjesztése van:

0,333…;…000… nem létezik
0,333…;…333… = 1/3, mégpedig egész pontosan.[36]

A kombinatorikus számelmélet alternatív valós számokat ad meg, a végtelen kék-piros Hackenbush-stringeket részletes releváns példaként. 1974-ben Elwyn Berlekamp megfeleltette egymásnak a Hackenbush-stringeket és a valós számok kettes számrendszerbeli leírását az adattömörítés által motiválva. Például a LRRLRLRL… Hackenbush-string értéke 0,010101… = 1/3.

Az LRLLL… string, amely 0,111…-t jelent, infinitezimálisan kisebb egynél, a különbségük a szürreális 1/ω szám, ahol ω a legkisebb végtelen rendszám. A releváns játszma LRRRR… vagy másként 0,000….[37]

A kivonás eltörlése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bizonyítás egy másik megkérdőjelezhető pontja az 1 ‒ 0,999… kivonás. Ha ez a kivonás nem végezhető el, akkor 0,999… < 1. Léteznek olyan struktúrák is, amelyekben működik az összeadás, de a kivonás nincs értelmezve: ilyenek például a kommutatív félcsoportok, a kommutatív monoidok és a félgyűrűk. Richman két ilyen rendszert tekintett, és belátta, hogy 0,999… < 1.

Először is Richman a nem negatív tizedes számokat végtelen tizedestörtekként definiálta. Megadott egy lexikografikus rendezést és egy összeadási műveletet. Ebben a rendszerben 0,999… < 1, mivel 0 < 1 az első helyen, de minden végtelen x-re, amire 0,999… + x = 1 + x. Így a tizedes számok körében az összeadás nem mindig megfordítható, és nincs köztük az 13 szám sem. A szorzás bevezetésével a tizedes számok pozitív, teljesen rendezett, kommutatív félgyűrűt alkotnak.[38]

A szorzás definiálásához Richman egy másik rendszert is bevezetett, amit D-szeletnek nevezett. Ez a tizedestörtek Dedekind-szeleteinek halmaza. Rendszerint ez a definíció a valós számokhoz vezet, de a d tizedestört két szeletet is megenged: (‒∞, d ) és (‒∞, d ], ez utóbbi a principális szelet. Ennek eredményeként a valós számok nehezen élnek együtt a tizedestörtekkel. Újra 0,999… < 1.

Nincsenek pozitív infinitezimálisok a D-szeletekben, de itt rengeteg negatív infinitezimális jelenik meg, például 0, amelynek nincs végtelen tizedestört alakja. Richman arra a következtetésre jutott, hogy 0,999… = 1 + 0, ahol a „0,999… + x = 1” egyenletnek nincs megoldása a tizedes számok körében.[39]

p-adikus számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amikor szóba kerül a 0,999…, akkor sokan azt hiszik, hogy van egy utolsó kilences a végtelenben. Az 1 ‒ 0,999… kivonás eredménye a 0,000…1 pozitív szám, ahol az 1 a végtelenben van. Az intuíció világos: ha a 0,999… utolsó kilenceséhez hozzáadunk egyet, az végigfut, lenulláz minden kilencest és az első helyen 1-et ad. Az ötlet egyebek között azon bukik meg, hogy nincs utolsó kilences a 0,999… számban.[40]

Máshol kell keresni a kilencesek egy olyan végtelen sorát, amiben van egy utolsó kilences.

A 4-adikus egészek (fekete pontok), a (3, 33, 333, …) ‒1-hez tartó sorozattal. A 10-adikus analóg …999 = ‒1.

A p-adikus számok egy alternatív számrendszer, amellyel a számelmélet foglalkozik. Miként a valós számok, úgy a p-adikus számok is felépíthetők racionális számok Cauchy-sorozataként. Felfoghatók valós számokként, egy másik metrikában, egy másik helyi értékes rendszerrel. A konstrukció egy nem arkhimédészi metrikát használ, amiben 0 közelebb van p-hez, mint az 1, és pn közelebb van a nullához, mint p. A p-adikus számok testet alkotnak, ha p prím, és gyűrűt, ha összetett, mint amilyen a 10 is. Így a p-adikus számok körében műveletek végezhetők, és ehhez nem kellenek infinitezimálisok.

A 10-adikus számok körében a decimális kifejtések analógja balra folyik. A …999 10-adikus kifejtésben van utolsó kilences, de nincs első. Ha hozzáadunk egyet, akkor ez történik: 1 + …999 = …000 = 0, és így …999 = ‒1.[41]

Egy másik bizonyítás mértani sorokat használ. A …999 által implikált végtelen sor nem konvergál a szokásos valós metrikában, de a p-adikus metrikában igen. Így használható a formula:

\ldots999 = 9 + 9(10) + 9(10)^2 + 9(10)^3 + \cdots = \frac{9}{1-10} = -1.[42]

A harmadik módszert egy hetedikes találta ki, aki kételkedett tanárának határértékes bizonyításában, hogy (a valós számokon) 0,999… = 1, de a tízzel szorzásos bizonyítás arra inspirálta, hogy ugyanezt a másik irányba is elvégezze (a 10-adikus számok körében): ha x = …999, akkor 10x =  …990, így 10x = x – 9, tehát x = –1.[41]

Utolsó kiterjesztésként felvetődik még, hogy ha 0,999… = 1, és …999 = –1, akkor …999,999… egyenlő-e nullával. Ennek az egyenlőségnek nincs értelme sem a valós számok, sem a p-adikus számok körében, de kiderül, hogy van értelme, és igaz is, ha bevezetjük a dupla tizedestörteket a valós számok reprezentálására, ahol mind a tizedesvessző előtt, mind azután végtelen sok jegy állhat.[43]

Kapcsolódó problémák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Zénón paradoxona a futóról egy hasonló paradoxon. A futó paradoxona matematikailag modellezhető, és ugyanúgy, mint az 0,999… = 1, a mértani sorok segítségével feloldható. Nincs tisztázva, hogy ez a matematikai felfogás megfelel-e a Zénón által kutatott metafizikai fogalmaknak.
  • A matematikai folklórban elterjedt csokipapíros történet[44]:

Volt egy csokoládé, amibe reklámcéllal szelvényt is csomagoltak. Tíz ilyen szelvényért egy újabb tábla csokoládét lehetett kapni. Kérdés: hány tábla csokoládét ér egy ilyen tábla csokoládé, teljes csomagolásban?

A csomagolásban van egy tábla csokoládé, és egy szelvény is, amiből tízért lehet egy csokoládét kapni. Tehát ez egy tized csokoládé, a hozzá járó tized szelvénnyel. Ezzel a gondolatmenettel a teljes csomagolásban levő csokoládé értéke

1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} +
\dots

Másrészt a teljes csomagolásban levő csokoládé értéke egész pontosan \scriptstyle{1\frac{1}{9}}:

A csomagolásban van egy csokoládé, ez 1. Elég azt igazolni, hogy egy szelvény 1/9 csokoládét ér. Kilenc szelvényhez kérve egy csokit, és utólag a tíz (9+1) szelvénnyel fizetve ez is belátható: szelvény nem maradt, és a csoki is ki lett fizetve.[45]

  • A nullával való osztás is előfordul a 0,999… -ről szóló népszerű vitákban, és szintén nagy figyelmet kap. Majdnem minden modern felépítés definiálatlanul hagyja a nullával való osztást, míg a legtöbb szerző definiálja 0,999… -et. Néhány más rendszer viszont definiálja, mint például a komplex analízis, ahol a végtelennel kibővített komplex síkon ennek semmi akadálya sincs; 1/0 tehát definiálható végtelennek.[46] Valóban, az eredmények mélyek, és sok mérnöki és fizikai problémára alkalmazhatók. Néhány kiemelkedő matematikus amellett érvelt, hogy először egy ilyen definíciót kell bevezetni, és csak aztán kell a számköröket tárgyalni.[47]
  • A negatív nulla egy másik redundáns jelenség a számírással kapcsolatban. Az olyan számkörökben, mint például a valós számok, ahol 0 az additív semleges elem, a ‒0" szokásos értelmezése a 0 additív inverze, amiből következik, hogy ‒0 = 0.[48] Néhány tudományos alkalmazás azonban külön pozitív és negatív nullát használ, ahogy a legtöbb elterjedt számítógépes számírási rendszer. Például az egész számok tárolása előjellel és nagyságrenddel, vagy az IEEE floating-point standard szerinti lebegőpontos számok.[49]

Kulturális vonatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az internet növekedésével a 0,999…-ről szóló viták kiszabadultak az osztálytermekből, és helyet foglaltak a hírcsoportokban és a fórumokban, még azokban is, amelyeknek elvben semmi közük sincs a matematikához. A sci.math hírcsoportban népszerű időtöltéssé vált a 0,999…-ről érvelni, és erre a kérdésre a hírcsoport FAQ (gyakori kérdések) fejezetében is kitérnek.[50] A FAQ foglalkozik az ⅓-dal, a 10-zel való szorzással, a határértékekkel és a Cauchy-sorozatokkal.

Az általános érdeklődéssel kísért The Straight Dope 2003-as kiadása az ⅓-dal és a határértékekkel foglalkozik, és a félreértésekre is kitér.

A bennünk levő alsóbbrendű főemlős még mindig ellenáll, mondván: a 0,999… nem egy szám, hanem egy sor. Ahhoz, hogy egy számot találjunk, meg kell állítanunk, és akkor már 0,999~ = 1.

Ez nonszensz. [51]

A The Straight Dope idéz egy vitát, amely egy olyan üzenőfalról indult, amely leginkább videojátékokról szólt. Ugyanezzel a hévvel a 0,999… kérdése olyan népszerűvé vált a Blizzard Entertainment első hét évében a Battle.net fórumain, hogy Mike Morhaime, a vállalat elnöke sajtótájékoztatót tartott 2004. április 1-jén, hogy 0,999… = 1.

Nagy örömmel tölt el bennünket, hogy egyszer s mindenkorra lezárhatjuk ezt a fejezetet. Rengeteg fejfájásnak és aggodalomnak voltunk tanúi, hogy vajon 0,999… egyenlő-e vagy nem egyenlő 1-gyel, és most büszkén állíthatjuk, hogy a következő bizonyíték véglegesen és meggyőzően tárgyalja a kérdést ügyfeleink számára. [52]

Blizzard ezután két bizonyítást is közölt, amelyek a határértékeken és a 10-zel való szorzáson alapultak.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Bunch p. 119; Tall and Schwarzenberger p. 6. Az utóbbi megjegyzés Burrelltől (p. 28): Talán a legmegbízhatóbb szám az 1, így különösen lesújtó, ha valaki a 0,999…-et 1-ként értelmezi.
  2. Tall és Schwarzenberger pp. 6–7; Tall 2000 p. 221
  3. Tall és Schwarzenberger p. 6; Tall 2000 p. 221
  4. Tall 2000 p. 221
  5. Tall 1976 pp. 10–14
  6. Pinto and Tall p. 5, Edwards és Ward pp. 416–417
  7. Mazur pp. 137–141
  8. Dubinsky et al. 261–262
  9. ^ a b cf. Ugyanezzel az érveléssel a kettes számrendszerben: Silvanus P. Thompson: Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
  10. Rudin p. 61, Theorem 3.26; J. Stewart p. 706
  11. Euler 170. o.
  12. Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel pp. 204, 210;
  13. Grattan-Guinness p. 69; Bonnycastle p. 177
  14. A határérték következik például Rudin p. 57, Theorem 3.20e.-ből. Direktebb megközelítéshez lásd Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
  15. Beals p. 22; I. Stewart p. 34
  16. Apostol p. 12
  17. A történelmi szintézis Griffiths és Hilton (p. xiv) nevéhez fűződik, 1970-ben, és Pugh (p. 10) 2001-ben; mindkettő előnyben részesíti a Dedekind-szeleteket az axiómákhoz képest. A szeletekhez lásd Pugh p. 17-et vagy Rudin p. 17-et; a logikához Pugh p. 10-et, Rudin p. ix-et vagy Munkres p. 30-at.
  18. Enderton p. 113
  19. Pontosabban, Rudin, Richman, és Enderton ezt a szeletet 1*, 1, és 1R szeletnek nevezi, amelyek mindegyike azonos az 1 valós számmal. Jegyezzük meg, hogy amit Rudin és Enderton Dedekind-szeletnek nevezett, azt Richman nem principális Dedekind-szeletnek hívta. Rudin pp. 17–20, Richman p. 399 vagy Enderton p. 119.
  20. Richman p. 399
  21. Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" p. 386
  22. A tizedes kifejtések fenti megközelítése a 0,999… = 1 bizonyításával együtt Griffiths & Hilton 1970 A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation című művét követi. Griffiths & Hilton pp. viii, 395
  23. Petkovšek p. 408
  24. Protter és Morrey p. 503; Bartle and Sherbert p. 61
  25. Komornik és Loreti p. 636
  26. Petkovšek pp. 410–411
  27. Leavitt 1984 p. 301
  28. Lewittes pp. 1–3; Leavitt 1967 pp. 669, 673; Shrader-Frechette pp. 96–98
  29. Pugh p. 97; Alligood, Sauer, és Yorke pp. 150–152. Protter és Morrey (p. 507) és Pedrick (p. 29) gyakorló feladatként jelöli ezt a leírást.
  30. Maor (p. 60) és Mankiewicz (p. 151) az előbbi módszerhez; Mankiewicz Cantornak tulajdonítja, de az eredeti forrás tisztázatlan. Munkres (p. 50) említi az utóbbi módszert.
  31. Rudin p. 50, Pugh p. 98
  32. Gowers p. 60
  33. Berz 439–442
  34. John L. Bell (2003.). „An Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis” (PDF). Hozzáférés ideje: 2006. június 29.  
  35. A nem standard számok teljesebb leírásához lásd Robinson: Non-standard Analysis.
  36. Lightstone pp. 245–247. Nem vizsgálta a visszatérő kilenceseket a kifejtés standard részében.
  37. Berlekamp, Conway, és Guy (pp. 79–80, 307–311) 1-et, 1/3 -ot, és érinti 1/ω-t. A 0,111…-hez tartozó játék közvetlenül következik Berlekamp szabályából, és ezt tárgyalja A. N. Walker: Hackenstrings and the 0.999… 1 FAQ, 1999. (Hozzáférés: 2006. június 29.)
  38. Richman pp. 397–399
  39. Richman pp. 398–400. Rudin (p. 23) ezt az alternatív konstrukciót a racionális számok felett tárgyalja az első fejezet utolsó gyakorlatában.
  40. Gardiner p. 98; Gowers p. 60
  41. ^ a b Fjelstad p. 11
  42. Fjelstad pp. 14–15
  43. DeSua pp. 901–903
  44. Játék a végtelennel - Péter Rózsa ISBN 978-963-2790-92-3
  45. Péter Rózsa: Játék a végtelennel
  46. Példaként lásd J.B. Conway eljárását a Möbius-transzformációkon, pp. 47–57
  47. Maor p. 54
  48. Munkres p. 34, Exercise 1(c)
  49. Kroemer, Herbert; Kittel, Charles. Thermal Physics, 2e, W. H. Freeman (1980). ISBN 0-7167-1088-9 
  50. Ahogy Richman (p. 396). megfigyelte. Hans de Vreught: sci.math FAQ: Why is 0.9999… = 1?, 1994. (Hozzáférés: 2006. június 29.)
  51. Cecil Adams: An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?. The Straight Dope. The Chicago Reader, 2003. július 11. (Hozzáférés: 2006. szeptember 6.)
  52. Blizzard Entertainment® Announces .999~ (Repeating) = 1. Press Release. Blizzard Entertainment, 2004. április 1. (Hozzáférés: 2006. szeptember 3.)

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a 0,999… című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Az angol cikk irodalomjegyzéke[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz 0,999… témájú médiaállományokat.

Kiegészítő irodalom magyar nyelven[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bognárné, Nemetz , Tusnády. Ismerkedés a véletlennel, Középiskolai szakköri füzet 
  • Graham, R. L., D. E. Knuth, O. Patashnik. Konkrét matematika : a számítástudomány alapja. Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1998) 
  • Kósa András. Ismerkedés a matematikai analízissel. Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1981). ISBN 963-10-3820-3 
  • Kós Géza. Hogyan fogjunk oroszlánt?. KöMaL. Hozzáférés ideje: 2009. szeptember 23. 
  • Környei Imre, Turán Pál. Algebra. Budapest: Tankönyvkiadó Vállalat (1990) 
  • Mankiewicz, Richard. A matematika históriája. HVG könyvek (2003). ISBN 9637525300. Hozzáférés ideje: 2009. szeptember 23. 
  • Pálfalvi Józsefné. Valós számok mint végtelen tizedestörtek, Matematika didaktikusan (2000). Hozzáférés ideje: 2009. szeptember 23. 
  • Péter Rózsa. Játék a végtelennel. Typotex (1999). ISBN 963 9132 47 0. Hozzáférés ideje: 2009. szeptember 23. 
  • Rudin, Walter. A matematikai analízis alapjai, Antos Péter, Somogyi Péter, Szabados Tamás (ford.), Budapest: Műszaki (1978) 
  • Stewart, Ian. A végtelen megszelídítése, Körmendi, Ágnes (ford.), Helikon Kiadó Kft (2008). ISBN 9789632271699 
  • Surányi László. A valós számok dedekind szeleteiről, Bolyai János forradalma. Surányi László honlapja. Hozzáférés ideje: 2009. szeptember 23. 
  • Urbán János. Határértékszámítás. Példatár. Mozaik Kiadó