Vita:0,999…

A(z) 0,999… egyike a kiemelt szócikkeknek, a Wikipédia legjobbjai közé tartozik.
A közösség szavazta meg kiemeltnek a kiemelt státuszáról szóló szavazáson.
Ha úgy érzed, tudnál javítani rajta, bátran tedd meg.

---

Ez a szócikk 2013. március 4. és 2013. április 7. (ajánló), valamint 2023. szeptember 7. és 2023. szeptember 10. (ajánló) között
szerepelt a kezdőlapon. A jelölés eredményét itt találod.

---

A szócikk megfelelő nyelvű párjai kiemeltek lettek az angol, japán, kínai és katalán Wikipédián,
az onnan származó információkkal érdemes lehet kibővíteni a magyar lapot.

---

Mérföldkövek a cikk életútján

Dátum(ok: tól/ig)	Esemény	Eredmény
2009. szeptember 16. – 2009. október 31.	Jelölték kiemelt szócikknek	Megkapta a kiemelt státuszt
Jelenlegi státusza: kiemelt szócikk

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Kitüntetett Ez a szócikk kitüntetett besorolást kapott a kidolgozottsági skálán. Közepesen fontos Ez a szócikk közepesen fontos besorolást kapott a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: Bean49 (vita), értékelés dátuma: 2008. december 4.

A cikk kezdetei

A cikk 2007. július 24. -én, 21:24 -kor indult a következő szöveggel:

right A matematikában a 0,999… visszatérő tizedes tört – amely felírható a következő alakokban is...”)

és Csörföly D kezdeményezte. Ezután többen (Syp, Misibacsi, Gubbubu, Dorgan) szerkesztették több hónapos kihagyásokkal, és lefordították a cikk bevezetőjét.

2007. decembere és 2008. júliusa között csak a botok jártak erre. 2008. július 15.-én, 21:10 -kor Szalakóta folytatta a fordítást. Segítői Syp, Mozo és Stewe007 voltak, akik korrektúrázták a cikket, belső linkekkel látták el, és a megfogalmazáson is javítottak. A fordítás egy hónapig tartott. – Szalakóta ^üzenőlapja  2008. augusztus 10., 21:08‎ (CET) (A hozzászóló azonosítóját és a megjegyzés időbélyegét egy másik szerkesztő pótolta. Lásd: Wikipédia:Aláírás)

Tizedesvessző

A magyarban tizedesvessző van, nem tizedespont, jó lenne ezt a konvenciót a cikkben követni. SyP 2008. július 17., 10:10 (CEST)

Igen, meg a referenciákat is bele kellene tenni, és linkek is kellenek bele. És jó lenne, ha valaki segítene a fordításban. Szalakóta ^vita 2008. július 18., 19:39 (CEST)

Jó lenne, ha valaki egy kicsit megigazítaná a cikket. Szalakóta ^vita 2008. július 20., 20:58 (CEST)

Az eredeti cikk nem teljes egészében a bizonyításokkal foglalkozik. Aki nem matematikus, az is segíthet a kevésbé matematikai részek fordításában. Szalakóta ^vita 2008. július 26., 20:42 (CEST)

Hamisságát igazoló bizonyítások

Figyelemmel a semleges nézőpontra mint alapelvre az egyenlőség hamisságát igazoló bizonyításoknak is helyt kellene adni. Ha csinálsz neki helyet, kettőt-hármat máris bedolgozok. - mondotta Stewe007 ^Feedback 2008. augusztus 6., 15:34 (CEST)

Azért nem teljesen szimmetrikus a helyzete az egyenlőséget tagadó és iagzoló bizonyításoknak. Hamis izonyítások nem biztos, hogy helyénvalók a wikiben (persze a hibára való rámzatással lehet). A fentieket úgy érted, hogy ha az angol 'Alternative number systems'-t el kezdjük fordítani, akkor besegítsz, vagy úgy, hogy írsz egy-két hamis bizonyítást? Mozo ^vita 2008. augusztus 6., 16:38 (CEST)

A szócikkbe nem kívánom beleírni de a vitalapon biztosan megtalálja akinek mond valamit.

A matematika tudománya, a számokkal foglalkozik, az életben pedig mennyiségekkel van dolgunk. Attól függetlenül, hogy a számokat a mennyiségek leírására találták ki még a ma ismert történelem kezdetén, nem szabad a fogalmukat összekeverni, a matematika a számokkal azt tesz amit akar, ez a mennyiségekre nem biztos hogy vonatkozik. Ha a szám fogalmát komolyan vesszük, akkor tudomásul kell venni, hogy egy mennyiség egy szám, és egy szám egy mennyiség. Ha két különböző szám létezik, akkor két különböző mennyiségnek kell hozzá tartoznia. Ha pedig a két mennyiség egyenlő, akkor a két számnak nincs értelme, akkor ez egy mesterségesen kreált probléma. A gondolat-kisérletekről pedig mindenki azt gondol, amit akar :)

Azonkívül ha két számhoz egy adott függvénybe behelyettesítve más érték tartozik akkor azok nem lehetnek egyenlőek.

Ilyen például a signum függvény: az y=sgn(x-1) a végtelenül kicsi különbség ellenére más eredményt ad 0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999akárhánykilences és 1 esetén.

Az y=1/(x-1) föggvénynek az 1 nincs is benne az értelmezési tartományában, 0,9999999... -nél pedig értéke is van.

Van egy mondás, ha senki se tudja honnan való akkor mostantól Én mondtam: Ami majdnem az, az nem az! - mondotta Stewe007 ^Feedback 2008. augusztus 6., 17:15 (CEST)

Ennek a véleménynek mindenképpen helyet kell biztosítani. Főleg azért mert nem csak filozófiai értelemben indokolt a megjelenítése, hanem a nemsztenderd analízis szemszögéből is értelmezhető (másként: nem csak intuitív szinten független szemlélet a fősodorbeli áramlattól, hanem metematikai fogalmakkal is interpretálható). Szóval amikor az 'Alternative number systems' már meglesz, akkor majd utalunk rá. (Amúgy ügyeseknek kell lennünk és vigyáznunk kell azzal, hogy milyen kényszerképzetnek nincs helye a wikin és mely ötlet (idea) interpretálható matematikai köntösben. Ez utóbbi típusú érvelések kemény matematikafilozófiai tényként rögzíthetők (pl Gödel és a hazug paradoxona), míg at előbbiek csak blogba valók (pl nincs is végtelen ...).)Mozo ^vita 2008. augusztus 6., 18:49 (CEST)

Stewe007: mégis, mi a y=1/(x-1) függvény helyettesítési értéke 0,999… -ben? Szalakóta ^vita 2008. augusztus 6., 21:14 (CEST)

A y=sgn(x-1) függvény helytettesítési értéke pedig 0 0,999… -ben. Ahogy 0,999… egészrésze 1. Hihetetlen, de így igaz. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 6., 21:18 (CEST)

Ha a bizonyításban felhasználod a sejtést, akkor könnyen igazolhatod minden gondolatod, kár, hogy nem tudom neked honnan származnak ezek a helyettesítési értékek. y=sgn(x-1) ha x=1 akkor nincs értelmezve. Ha x=0,999... valószínűleg valahol a -1 környékén kellene lennie. Ez a függvény definíciójából adódik, mert bármennyire is megközelíted az 1 et, amíg el nem éred addig az érték -1 Ha elindulsz valahová, és minden órában a távolság 9 tizedét teszed csak meg, sohasem érsz oda. Ezt hallhattad már görög filozófussal, Akhilleusszal és teknősbékával....De! Még mielőtt azt hinnéd, hogy nem hiszem el amit a matematika a számokról magukról állít, megnyugtatlak, nem szkeptikus vagyok épp azt ecsetelem, hogy a bizonyítás egy komoly dolog, de ellentétet megcáfolni megerősítés. És pont a legegyszerűbb bizonyítást nem látom itt: 1-0,999...=? - mondotta Stewe007 ^Feedback 2008. augusztus 6., 21:44 (CEST)

Mégis, mi ennek a kivonásnak az eredménye? Egy 1-es a végtelenben? Szalakóta ^vita 2008. augusztus 6., 22:14 (CEST)

A kivonásnak az eredménye: 0,000... vagyis 0. Lehetne mondani, hogy egy egyes valahol a minuszvégtelenedik helyiértéken, de nem ott, hanem végtelen helyiértékkel jobbra és így tovább... mert ugye végtelen tényleg végtelen. Az elméleti végtelennel lehet egyáltalán bármilyen műveletet végezni? - mondotta Stewe007 ^Feedback 2008. augusztus 7., 05:40 (CEST)

És igen, nekem - sajnos - nem sok közöm van a matematikához, én csak gondolkodom. :) - mondotta Stewe007 ^Feedback 2008. augusztus 7., 06:07 (CEST)

"Semmi ágán ül ..."?, hát, ha csak úgy nem :))) Mozo ^vita 2008. augusztus 6., 23:02 (CEST)

De van nem matematikai magyarázat is arra, hogy a kételkedők esetenként tántoríthatatlanok: véges eszközökkel leírt végtelen fogalmakat, könnyen végesnek tekintik. Csak a számokkal magukkal foglalkoznak (legrosszabb esetben csak azokkal amiket látnak is) nem a számok által jelölt menyiségekkel. Az hogy a jelenlegi számfogalom véges mennyiségekhez lett megalkotva, megnehezíti a végtelenül bonyolult mennyiségek megjelenítését. Ha pedig a megjelenített alakra koncentrál a delikvens...

Semleges nézőpont

Elejét veendő a kezdődő hitvitának próbálnám elmondani a modellelméleti interpretációt. Abban gondolom megegyezünk, hogy 0,999... nem más, mit a

a₁=0,9; a₂=0,09; a₃=0,009; ... (végtelenségig)

végtelen sorozat elemeinek végtelen összege. Ezt az összeget akármilyen pontosságra megközelíti a fenti sorozat első tagjainak összegeinek sorozata:

s₁=0,9; s₂=0,99; s₃=0,999; s₄=0,9999; ...

1) Nomost, a matematikusok azt mondják, hogy 0,999...-en definíció szerint ennek a sorozatnak a határértékét értjük. Kétségtelen, hogy abban, hogy ez a határérték az 1 (és nem 1-nél kisebb szám), semmi ellentmondás nincs, hiszen például az 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... sorozat elemei is mind pozitívak, a határértékük mégis a 0, tehát a 0,999... leÍrhatatlan szám definíció szerint (hogy mégis le lehessen írni) nem más, mint amit a matematikusok lim(s_n)-nek neveznek.

2) Árnyalja a képet az analízis nemsztenderd megközelítése. Eszerint a természetes számok N halmaza bővíthető új elemekkel úgy, hogy az N ⊂ *N új halmazban érvényben maradnak a műveleti és rendezési szabályok, de minden N-beli (tehát sztenderd) elem kisebb lesz, mint a bővített *N halmaz N-től különböző elemei. Ezeket nevezi a nemsztenderd analízis végtelen elemeknek (ilyen bővítés a Löwenheim–Skolem-tétel (vagy valamely hasonló érvelés) miatt létezik). Ugyanígy a végtelen természetes számok reciprokai minden pozitív normális számnál kisebb pozitív számok lesznek: P ⊂ *P. Sőt, minden végtelen sorozat is, mint például a fenti s_n kibővül és lesznek végtelenedik tagjai is, amelyeket pl az s_ω szimbólummal jelölünk. Nos, az a helyzet, hogy a fenti s_n sorozat minden végtelenedik s_ω eleme az 1 nevű sztenderd számnához végtelen közel lesz, azaz az s_ω és az 1 távolsága kisebb lesz egy végtelen kis számnál:

1 – s_ω < 1/Ω (valamely Ω végtelen nagy természetes számra)

2a)Tehát modhatjuk, hogy a 0,999... akármilyen végtelen hosszú kifejezés, ahol a végtelen hosszút úgy értjük, hogy egy s_ω elem, így inkább ezt *0,999...-tal jelölöm, végtelen közel van az 1-hez, de nem egyenlő vele:

1 ≠ s_ω

így ebben az értelemben sgn(1-*0,999...) = 1, és nem 0.

2b) El kell azonban keserítenem a nemsztenderd analízisnek most megtérített olvasót, ugyanis ebben a számkörben is definiálható a szokásos módon a határérték fogalma és eszerint is az a helyzet, hogy lim(*s_n)=1, azaz ha 0,999...-t mint lim(*s_n)-et definiáljuk, akkor sgn(1-0,999...) = 0.

Mint mondtam árnyalni szerettem volna a képet és mindkét szemléletet elhelyezni matematikai környezetben, sem mint kiállni valamelyik álláspont mellett. 1)-ben az végtelennel való ügyködés Eudoxos–Cauchy–Weierstrass-szerinti módszer útján jártunk el, a 2)-ban a Leibniz–Robinson-módszer szerint. Mozo ^vita 2008. augusztus 6., 22:48 (CEST)

Mozo, ha értesz az infinitezimálisokhoz, akkor kérlek, nézz rá a róluk szóló szakaszra. Biztos többet tudsz róluk, mint én. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 12., 20:37 (CEST)

Bevezető

Szeretnék rámutatni arra, hogy a bevezető az angolban, a pedagógiai rész pov. Az 'erroneous intuitions' kifejezése egyrészt szerintem helytelen, mert egy intuíció nem erroneous csak intuíció, másfelől, amire a link mutat (kontraintuitív) az egy ettől eltérő matematikafilozófiai fogalom, ami önmagában sincs eléggé kidolgozva (tök jó, meg kell, de saját kuatás szagú). Mozo ^vita 2008. augusztus 6., 14:32 (CEST)

Köszönöm az észrevételt, úgyis a szkepticizmussal szeretném folytatni. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 6., 15:05 (CEST)

Cím

Nagyon tetszik a szócikk, és valóban érdekes lehet annak is, akit a matematika nem igazán érintett meg, de ki és hogy fogja ezt megtalálni? Vagy másik nevet kellene adni a szócikknek, vagy nagyon sok oldalon belinkelni mint kapcsolódót. - mondotta Stewe007 ^Feedback 2008. augusztus 6., 15:06 (CEST)

nagyon sok oldalon belinkelni mint kapcsolódót – igen, mondjuk a végtelen meg ilyen helyeken, ahol amit a téma iránt érdeklődők látogatnak. Mozo ^vita 2008. augusztus 6., 21:44 (CEST)

Van egy userbox, amiben le van írva, hogy: Ez a szerkesztő tudja, hogy 0,999… egész pontosan 1. Tehát nem majdem, hanem egész pontosan. Ez a link az angol (kiemelt!) cikkbe vezet. Ennek fordítása készül itt. Ha tudsz angolul, akkor nézd meg az eredetit. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 6., 21:22 (CEST)

Ehhez a sablonban levő linket csak egy kicsit kellene módosítani. Így: 0,999... egész pontosan 1 Szalakóta ^vita 2008. augusztus 8., 20:36 (CEST)

Ha ennyire érdekel, akkor érdemes lesz visszajárnod. A fordítás folyamatban van. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 6., 21:33 (CEST)

Van ennek a szócikknek valami....

...vonzereje, vagy nemtom, de amikor ránézek az FV-re, mindig szerkeszti valaki, és nemcsak az elmúlt időszakra gondolok, már egy fél éve ez van :) – Burrows ^vita 2008. augusztus 6., 21:37 (CEST)

Sőt, nézz rá az angol vitalapjára, 2005 óta 3000 flekket teleírtak a vitázók :) Mozo ^vita 2008. augusztus 6., 21:41 (CEST)

Hát nem épp az ilyen háromezerflekkes "infinitezimális szerkesztés" maga a megtestesült wiki process? :) – Nullextra ^{NULLEXTRAKADÉMIA} 2008. augusztus 6., 21:59 (CEST)

Nem, amennyiben a viták pl a szumír nyelvrokonság és a sztenderd nyelvészek közötti véghetetlen és jól definiált szerepek szerint folyó vitákból állnak. Másrészt viszont igazad van: egy egészséges 500 flekk elkélne minden szócikknél. Mozo ^vita 2008. augusztus 6., 22:58 (CEST)

A szócikk szerkesztésében több hosszabb holt időszak is volt december közepe és június közepe között, amikor is felfedeztem magamnak. Azóta fordítom kisebb - nagyobb adagokban. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 6., 22:05 (CEST)

Joseph Mazur

Aszongya:

Joseph Mazur tells the tale of an otherwise brilliant calculus student ... who had come to believe that nine digits are all one needs to do mathematics, including calculating the square root of 23

Ez a hallgató szerintem egyáltalán nem volt brilliáns a kalkulusban, aki nem fogja fel a végtelen tizedeströteket, az hogy lenne az? Ez olyan, mint amikor azt mondják, hogy "ez okos gyerek, csak lusta tanulni". Nos, azt hiszem, aki nem tanul a lustasága miatt, pedig simán felfogná, az inkább ostoba. Aki pedig nem értette meg, hogy a gyök 2 végtelen nemszakaszos, az szintén nem matematikai kiválóság.Mozo ^vita 2008. augusztus 9., 09:38 (CEST)

Jól van, átfogalmazhatod. Alapfokú az angoltudásom, úgyhogy jó néven veszek mindenféle segítséget a fordításban is. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 10., 20:23 (CEST)

Akkor kapaszkodjatok meg: "gyök 2" nem végtelen nemszakaszos. A "gyök 2" egy irracionális szám. Értelmetlen a szakaszos vagy nemszakaszos tizedes tört említése vele kapcsolatban. De hát lássuk az algoritmust: hogyan is lesz a "gyök 2" - ből végtelen, nemszakaszos tizedes tört? (Természetesen p/q alapon kiindulva).cerna ^vita 2008. november 18., 22:15 (CET)cerna

Kiemelés

Ha kész lesz a szócikk, szerintem nagyon nagy érdeklődésre tarthat számot, kezdőlapra se lenne rossz!– - mondotta Stewe007 ^Feedback 2008. augusztus 9., 13:27 (CEST)

Azért egy kicsit még át kell majd pofozni előtte. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 10., 20:24 (CEST)

Hát igen... nem kis meló, csak úgy eszembe jutott, hogy ha már úgyis jó lesz, akkor legyen nagyon jó :) - mondotta Stewe007 ^Feedback 2008. augusztus 10., 21:28 (CEST)

Kritériumok a kiemelésre:Wikipédia:Mi az a kiemelt szócikk? De lehet, hogy meg fog változni a kiemelés módja, mire a szócikk végére érek. Wikipédia:Szavazás/A kiemelés új rendje, 2008 De azért meg lehet majd próbálni. Ártani nem fog, legalábbis a cikknek nem. Szalakóta ^vita 2008. augusztus 12., 22:09 (CEST)

Fordítás

A fordítás megvan, csak néhány olyan részt hagyam ki, ami túl nehéz volt nekem. Aki tudja és akarja, az beteheti ezeket is. Ezek a részek rövidek, és csak magyaráznak, még némi történetet foglalnak magukban.Szalakóta ^vita 2008. augusztus 14., 19:53 (CEST)

Szócikkből áthozva

Aki nem matematikus, feltétlenül nézzen utána:

- valójában mit kell érteni a 0,9999. szimbólum alatt (ki hol definiálta)? (Klasszikus: "akárhányszor végzed el a tizedes osztást,mindig lesz maradék, és az az osztóval újra osztva ..." kívül semmi mást nem jelent). - ha a szimbólum egy sor összegét jelenti, akkor a felvetés triviális, nincs rajta mit bizonyítani. (Akkor viszont a 3 és 1024, stb. ugyanilyen, az 1 - nek semmilyen kitüntetett szerepe sincs). - milyen két egész szám osztásával áll elő a 0,99999. végtelen tizedes tört? (Ez fontos. A fentiekből nem derül ki). – Aláíratlan hozzászólás, szerzője Cerna (vitalap | szerkesztései)

Tényleg nincs kitüntetett szerepe az 1-nek. Minden egész számnak van egy másik, végtelen tizedestört alakja. Sőt, minden véges tizedestörtnek is. Azért van itt szó az 1-ről, mert a kérdés rendszerint az 1-gyel kapcsolatban vetődik fel.

Igen, ezt lehet végtelen sor összegeként értelmezni. Az osztásnak pedig még utánanézek. Szalakóta ^vita 2008. október 24., 21:39 (CEST)

Az osztás: 9-cel osztunk, például 9-et, de ahelyett, hogy azt mondanánk, megvan 1-szer, azt mondjuk, hogy megvan 0-szor, marad a 9. Kitesszük a tizedesvesszőt. Ezután nem azt mondjuk, hogy 90-ben a 9 megvan 10-szer, hanem hogy 9-szer, és marad a 9. És ez megy a végtelenségig. Ha valahol mégis azt mondjuk, hogy megvan 10-szer, akkor a tízes egyese végigfut az egész addigi számsoron, minden 9-est nullává alakítva, és eggyel előrébb ugorva, amíg meg nem áll a tizedesvessző előtt, mint az egyes szám. A dolog működik, bár szerintem sokkal mélyebb matematikára lenne szükség annak bizonyítására, hogy ez egy korrekt osztás. Szalakóta ^vita 2008. október 25., 19:38 (CEST)

Ez teljesen világos. A probléma az, hogy amit leírsz, az egy eljárás. Valóban lehet így is osztani, de a dolog "művi". Az algebrában alaptétel: a/a =1. Ha ezt másként értelmezed, az egész algebra bedől. Könnyű belátni, hogy így nullával is lehet osztani. (Amit a matematika más területein a matematikusok persze kénytelenek voltak definiálni, hogy pl. az analízis bizonyos műveleteit összhangba tudják hozni a számelmélettel illetve az algebrával. Pl.: definíció szerint 0!=1 illetve "nulla alatt a nulla" = 1). És akkor nézzük konkrétan (ami most következik, nálunk is általános iskolai tananyag):

az 1/3 egy racionáis szám, hiszen két egész szám hányadosa. Hogy ezt milyen alakban írjuk fel, teljesen mindegy. Az 1/3 = 0.3. csak azt fejezi ki, hogy 10 nem osztható 3 - mal (mert ugye valamiért azon erőlködünk, hogy az 1/3 - ból tizedes törtet csináljunk). Ugyanakkor könnyű belátni, hogy a 0,9. nem racionális szám. Az ilyen típusú végtelen tizedes törtek olyan racionális számok alakjai, amelyek kielégítik a p/q=1/9*x egyenletet. (Ahol értelemszerűen p, q egész, x a tizedesben ismétlődő számjegy és p<q). Ennek az egyenletnek megoldása az x= 1,2,3,4,5,6,7,8 de nem megoldása az x=9. Vagyis nincs olyan racionális szám, aminek lenne 0,9. alakja. Ezért a 0.3. - mal végzett bármilyen (algebrai) művelet nem eredményezhet 0,9. alakú eredményt.

A probléma (ahogy az általam megnézett cikkek többsége mutatja) az, hogy a 0,9.=1 paradoxonnal foglalkozó publikálók egyszerűen keverik az algebra és az analízis

eszközeit és jelölésrendszerét. Tehát a 0,9. egyszerűen nem (racionális) szám. A 9/10+9/100+ ... sor összege valóban 1, de egy sor az nem szám.

Idézet a cikkből: A határérték fogalmának intuitív vagy homályos bevezetése, feltételezése az oktatásban ahhoz vezethet, hogy a hallgatók a határérték megadását inkább valamiféle végtelen eljárásnak fogják fel, mint egy konkrét értékre való rámutatásnak, előtérbe helyezve azt a jelenséget, hogy a sorozatnak nem kell elérnie határértékét. Amikor a sorozat és határértékének különböző volta a hallgatók számára világos, akkor intuitív tárgyalás esetén számukra a "0,999…" szimbólum sokkal inkább sorozat, mint határérték.

Továbbá figyelmedbe ajánlom a Kételkedők és érveik című szakaszt. Szalakóta ^vita 2008. november 14., 17:43 (CET)

Köszönettel elolvastam, dehát itt nincs másról szó, mint a racionális és valós számok halamzának azonos kritérium alapján történő egyesítéséről. Azt hittem, matematikussal "vitatkozom", - elnézést kérek, megpróbálok érthetően fogalmazni. Tehát az algebra (jóllehet valóban több történelmi szakasza van) szerint:

a/a=1 (keress rá cáfolatot) a/a*b = b (keress rá cáfolatot)

Vagyis a 9/9=1 (vagy 7/7=1 stb). Ugyanakkor triviális hogy az 1 (2,3, és 2^1/2) sorbafejthető (ezt senki nem is vitatja). A kettő (szándékolt) öszekeverése viszont helytelen.Most akkor tekintsünk el attól, hogy a 0,9. nem szám (lásd feljebb p/q) és nézzük a következőt:

legyen:

 ∞

p=∑ai és

 i=1
 ∞

q=∑bi

 i=1

(itt az "i" index, nem igazán bírok ezzel a szövegszerkesztővel). Itt p, q egész. Mi lesz a p/q? Mivel az eredmény racionális szám ilyen alakúnak kell lennie:

 ∞

r=∑ci

 i=1

Ne idézz feleslegesen további cikkeket, hanem számold ki. (Az f(a,b,c)=0 megoldását várjuk, természetesen). (Értem, hogy a felvetés érdekes és nehéz tőle szabadulni, ha az ember egyszer már belebonyolódott). – Aláíratlan hozzászólás, szerzője Cerna (vitalap | szerkesztései)

Még egyszer átnézvén (úgy látszik én is kezdek belebonyolódni) a történetet, rászántam magam még egy utolsó hozzászólásra. Idézzük tehát jelen cikk első bekezdését: "Más szavakkal a '0,999…' szimbólum ugyanazt a számot jelöli, mint az '1' szimbólum.". Nos egy matematiaki cikk úgy szokott kezdődni, hogy jelentse '0,999…' ezt és ezt. Itt ez kimaradt értelemszerűen, mert ha a definició itt megjelenne, akkor a további szakaszoknak semmi értelme nem lenne. Még egyszer és (tényleg) utoljára: a "végtelen tizedes tört" még nyelvileg sem szinonimája a "végtelen sor" összegének. Matematikailag végképp nem. Ha a szerzők definiálnák, hogy mit értenek a 0,9. alatt akkor két kimenetele lehetne a "vitának":

1.) egy végtelen sor összege (és nem határértéke - ez majdnem minden cikkben tévedés: a "kendvenc" sorozat határértéke nulla, az összeg határértéke "1") lehet véges, esetenként akár "1". Persze az "1" nek és társainak számtalan más sorfejtése is létezik, csak azok nem ennyire "érdekesek", mert "lerí" róluk, hogy nem algebrai kategóriák. Ezek a sorbafethetőségek azonban már régen tételek, mi ebben a bizonyítandó?! 2.) az 1/3 valóban átírható a 0,3. végtelen tizedes tört alakba (egy eljárás alapján). Az 1/2 átírható véges tizedes tört alakba (ugyanazon eljárás alapján). Miért nem látjuk a cikkben, hogy hogyan keletkezik a 0,9. "végtelen tizedes tört"? (Milyen két egész szám osztásával áll elő)? Vagy legalább azt, hogy mit kell értenünk "végtelen tizedes tört" alatt? A szerző nagyon komoly "fegyvereket" vonultat fel, de sehol nem látjuk, hogy ezeknek mi közük az algebrához, - tudniillik továbbra is az az alapvető kérdés, hogy miért van itt összekeverve az algebra, az analízis, a számelmélet és még ki tudja mi minden. (Lehetne még próbálkozni annak bizonyításával, hogy a háromszög szögeinek összege...: Euklidész kontra Bolyai-Lobacsevszkij. )

Azt gondolom, hogy ez az anyag egy blog tárgya kéne, hogy legyen, nem pedig egy lexikoné, - bizony le kéne venni.

(A továbbiak nem érvek, csak a "hangulat oldására" szolgálnak. Egészen véletlenül találkoztam egy matematikus egyetemi tanár barátommal jelen hozzászólás megírása előtt. Megkérdeztem tőle. Reakciója több fokozatú volt: - nem tud ilyen felmérésről (ki mit ért ...) - kiröhögött Sajnálom ... ) cerna ^vita 2008. november 16., 19:35 (CET)

Közben elkezdtem átnézni hivatkozásaidat: (Egyenlőre: 1). Nos hát ez nem matematikai, hanem pedagógiai kérdésekkel foglalkozik. ("Therefore, this study implies that reverse thinking should be considered in developing instructional strategies for the limit of a sequence.")80.99.184.247 (vita) 2008. november 16., 20:22 (CET) Átnéztem (6) - ig: bizony ezek is ismeretelméleti/pedagógiai cikkek. (Nem matematikai bizonyítások). Dubinsky esetében erre gondoltál: "Volume regulatory responses of basolateral membrane vesicles from Necturus enterocytes: Role of the cytoskeleton" ? cerna ^vita 2008. november 16., 20:48 (CET) Euler 170. o - ezt szívesen megnéztem volna... de így nehéz megtalálni. Egyenlőre feladtam. (A maradék is ilyen?)cerna ^vita 2008. november 16., 20:52 (CET)

Kitérő: A futó paradoxon "Zénó paradoxona a futóról egy hasonló paradoxon. A futó paradoxona matematikailag modellezhető, és ugyanúgy, mint az 0,999… = 1, a mértani sorok segítségével feloldható. Nincs tisztázva, hogy ez a matematikai felfogás megfelel-e a Zénó által kutatott metafizikai fogalmaknak. " természetesen nem oldható fel a mértani sorok segítségével. (Ha tévednék, lássuk a mértani sorokat). Newton és Leibnitz nem is mint filozófiai problával foglalkoztak vele, hanem mint fizikai/matematikai problémával. A megoldás az idő (sebesség) és az integrálszámítás bevezetése jelentette de ez csak a fizikai/matematikai problémát oldja meg. (Zénón [tehát szerintem nem "Zénó"] felvetése amúgy természetesen nem matematikai, hanem filozófiai. Filozófiai alapon is cáfolható. Nézzük meg tudniillik, ha a hüllő [ez persze nem biztos, meg kéne nézni, hogy a teknősbéka hüllő-e] és Akhilleusz rögzített távon versenyznek. Ez az apória feltételein semmit nem változtat. Ha ezek után megnézzük, hogy bizonyos számú "mozgás" megtétele után ki, milyen messze lesz a céltól, azt látjuk, hogy Akhilleusz közelebb lesz a célhoz, mint a béka, jóllehet a startnál a béka előtte volt [Mivel Akhilleusz sum(a/n) szerint mozog, a béka sum(b/n) szerint, ahol a és b a céltól való távolság és a peremfeltételek szerint b<a mert a béka előnyt kapott..]. Ez csak úgy lehet, ha Akhilleusz "mozgott").cerna ^vita 2008. november 16., 21:42 (CET)

Nos hát, nézzük, hogy is állunk a mai napon: egyenlőre a bizonyítások sorának első és második pontján sikerült túllépni: Első: "A törtek felírhatók véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört alakban." Még mindíg nem látjuk az oldalon azt a törtet, ami felírható 0,9. alakban. (Az algebrai azonosságok miatt az 1/1 nem mükszik).

Nézzük a második "bizonyítást": Osszuk el egymással a harmadik és második egyenletet! Kapjuk:

(10x-x)/10x=10x/10x- x/10x=1-0,1=0,9=9,999.../9,999... - 0,999.../9,999...=1-0,999.../9,999... Tehát itt látnunk kéne, hogy 0,999.../9,999...=0,1 . Nem látjuk, mert ez akkor igaz, ha megmutatjuk, hogyan kell egymással osztani két végtelen sort, vagy ha 0,999... =1 . Ez viszont maga az állítás. (Ezt valószínűleg nem érted, megmagyarázom: a matematikában nem elfogadottak az olyan bizonyítások, hogy a=b mert a/b = 1 mivel a=b tehát a/b=a/a=1. Vagyis a tétel nem bizonyíható magával a tétellel.)

És egy pillanatra, most én is feladom a p/q rögeszmémet. Cserébe tessék szíves lenni megadni az arcsin(0,9999...) értékét. (Ez csak egy. Ha gondolod sorolom szívesen a további függvényeket, ahol a 0,999... nem mükszik. Csak akkor, ha előtte azt mondjuk, hogy 0,999... =1. Pedig hát ezt kéne bizonyítani...)

Ez már egyébként az x+1 - dik felvetés, amire nincs válasz. (?)

cerna ^vita 2008. november 18., 21:55 (CET)cerna

Kedves Cérna! Észrevételeid jogosak, amennyiben arra akarsz velük utalni, hogy a 0,999... = 1 egyenlőség kérdése matematikapszichológiai és matematikafilozófiai szempontból egy rendkívül érdekes és messze mutató téma. Viatalapi érveléseid arra alapulnak, hogy az algebra ≠ analízis. Nos, az "algebra ≠ analízis" állítása ugyanúgy nem matematikai természetű kijelentés, mint azt boncolgatni, hogy mi bajuk sokaknak a 0,999... = 1 egyenlőséggel. Ennek a szócikknek a matematikai jelentéstartalma tökéletesen marginális, de nem is ez a célja. Az a célja, hogy egy gyakran felbukkanó matematikapedagógiai jelenségről foglaljon össze lehetőleg mindent, amit mostanában tudunk -- ergó ez a szócikk a matematika tanítása kategóriának része. Ha ilyen irányú felvetéseid, hivatkozható információid, ismereteid vannak, továbbra is szívesen várjuk a hozzászólásaidat és a referenciával alátámasztott ismereteket szívesen beillesztjük a szócikkbe. Természéstesen a wikipédia elveivel ellentétes lenne, ha saját kutatási anyagot vagy saját gondolatot közölnénk a szócikkben, mivel a wikipe célja az egyetemes és ellenőrizhető tudás tárolása. Üdv: Mozo ^vita 2008. november 22., 10:42 (CET)

Ps.: 1) Világos, hogy az egyetemi matematika tanár ismerősöd nem tudott érdemben hozzászólni ehhez a témához. Ennek két oka van. Egyfelől ezt a témát matematikusok nem kutatják, akik ezzel foglalkoznak, azok a matematika tanítása terület kutatói. Javaslom, érdeklődj az ELTE vagy a DE ilyen irányú módszertani kutatócsoportjánál. Másfelől, még ha témabeli kutatókról van is szó, azt senki sem garantálja, hogy mindenki mindenről tud. Én magam is kutatok. Tudom, hogy még a saját területünk esetén is rendkívül sok munkaórát igényel akár csak a saját egy-két gondolatunknak utána nézni, hogy ezzel kapcsolatban születtek-e vizsgálatok, kapcsolódó kutatások. Arról, ami meg egyáltalán nem érdekel minket szinte egyáltalán nem tudunk semmit. Ilyen specializált a tudomány mostanában.

2) Ha matematikai választ kívánsz a kérdésedre: a 0,999... szimbólummal a (0,9; 0,99; 0,999; ...) sorozat határértékét jelöljük, mely egyben egy végtelen sor összege, a (0,9; 0,09; 0,009; ...) sorozatból képezett sor összege is. Ez a határérték (illetve összeg) egyenlő 1-gyel. Lehetséges és néha szokás a valós számokat úgy definiálni, hogy a recionális számok halmazát bővítjük olyan ideális elemekkel, melyeket racionális Cauchy-sorozatok határértékeiként fogunk fel. Ebből a szempontból akár azt is mondhatnánk, hogy a valós számok halmaza racionális Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályai, ahol két ilyen sorozat ekvivalens, ha összefésülésük is Cauchy-sorozat. Eszerint a konstrukció szerint akár azt is mondhatnók, hogy a valós számok nem mások mint sorozatok (nem határértékek, hanem konkrétan: sorozatok). Így 0,999... egyben sorozat is és valós szám is. :) Mozo ^vita 2008. november 22., 10:42 (CET)

Kedves Mozo (de leginkább) Szalakóta!

Jóllehet többen felhívták a figyelmemet, hogy valami "+" kéne használni, - megpróbáltam, nem sikerült (most valaki valószínűleg nem érti...). Azért remélem, hogy előbb utóbb elolvassátok. Hamut szórtam a fejemre, - bőségesen. Egészen véletlenül találtam meg a szócikket, és nem olvasván végig a teljes történetet valamint a hivatkozásokat, valóban sportszerűtlenül és hebehurgyán nekiestem a cikknek (és ne legyen félreértés, minden tisztelet azoknak, akik időt, fáradtságot nem kímélvén ...). Mentségemre legyen mondva, hogy azért ezt (részben) pótoltam. Ekkor jegyeztem be: "Nos hát ez nem matematikai, hanem pedagógiai kérdésekkel foglalkozik." (A forrás). Remélem ezzel Szalakóta lelki egyensúlya helyre billent. Ezek után félve jegyzem meg, hogy a cikk akkor sincs rendben. Tudniillik akár mi is volt az (eredeti) szerzők (eredeti) célja, egy csekély értelmű medvebocs (cérna) számára úgy tűnik, hogy itt az 1=0,9. bizonyításai soroltatnak fel. És itt főleg Mozo - hoz szólnék, itt nem arról van szó, hogy szerintem "algebra ≠ analízis" volna. Csupán azt hoztam fel, hogy ösze vannak keverve. Én itt éppen szemiotikai (illetve azt hiszem, pragmatikai) problémát feszegetek. Miért nem úgy kezdődnek ezek a bekezdések, hogy: jelentse 0,9. "ezt és ezt"? Emiatt továbbra is problematikusnak tartom az: 1/3=0,3. és 0,3.*3=0.9. és 1/3*3=1 ergo 0,9.=1 bugyutaságokat. De a továbbiakban "békén" hagyom a szócikket, - mert eredendően Mozo - nak igaza van), - és legközelebb akkor jelentkezem, ha ismeretelméleti, vagy pedagóiai tárgyban gazdagítani tudom a cikket. (Matematikus barátom egyébként tényleg nem pedagógiai szempontból vizsgálta a kérdést: "ki van rúgva". ti.: lim(sum(1/x^n)))

Cerna, nem kell lahasadnod a témáról! Ellenben, ha néhány szóban foglalod össze a cikkel kapcsolatos fenntartásaidat, jobban megértjük. Például azért nem írtuk ki minden szakasz elekére a definíciót, mert 1. az angolban sincs így és ez egy fordítás, 2. lényegében egyetlen bevett értelmezése van a 0,999...-nek és ez a határérték vagy összeg azonosítás. De jogos az ellenvetés, mindenhol hangsúlyozni kell, hogy itt erről beszélünk.

Másrészt ha a tizedesjegy manipulációkat kritizálod, akkor szintén igazságod van. Ezek a KöMaL kultúrában bevett és konzisztens módszerek, de egyetemi szinten már nem állják meg a helyüket, de ezt írtuk is: "Magának az 1 = 0,999… egyenlőségnek [...] sokféle bizonyítása ismert, ezek a szigorúság különböző fokán állnak, attól függően, hogy középiskolások vagy felsőbb tanulmányokat folytatók számára készültek."

És az is világos, hogy még azt sem állíthatjuk, hogy a 0,999… bármely jelentése esetén fennáll 1 = 0,999… , mert itt a vitalapon a "semleges nézőpont" szakaszban vázoltam egy olyan értelmezést, melyben 0,999…-ben bizonyos értelmben ∞db 9-es van mégis 0,999… < 1. Tehát az is jogos, hogy nem függetelneíthetjük magunkat a 0,999… szándékolt jelentésétől. "jelentse 0,9. "ezt és ezt"?" szóhasználatoddal mégsem értenék egyet. A minden felfogással korrekt viszonyban lévő megfogalmazás az lenne, hogy "ha 0,999… ezt és ezt jelenti, akkor".

Végül a szócikk -- mint minden szócikk -- további alapos átnézésre szorul, hogy szóhasználatát, tartalmát tekintve jól illeszkedjék a magyar közeghez. Sajnos azonban a magyar wikipe nem tud olyan mennyiségű matematikus szakértőt felmutatni, mint az angol, így (a más tárgyú szócikkek legtöbbjénél is) nálunk ritkán működik a "wiki process". Ez a legnagyobb baj! :( Mozo ^vita 2008. november 23., 08:23 (CET)

egy érvelés

Valahova ezt is be kellene illeszteni: $\forall x>0\!:\ 0.999\ldots +x>1$ (ezt könnyű belátni). Ebből következik, hogy $0.999\ldots =1$. Bean49 ^vita 2008. december 5., 03:17 (CET)

Néhány észrevétel

Ma leültem olvasgatni és ezeket találtam:

• Mások, akik szintén be tudják bizonyítani, hogy 1⁄3 = 0,333…, még mindig nem érzik megfelelőnek a törteket használó bizonyítást, mondván, hogy a logika fontosabb a matematikában, mint a számítások.

Tudom, angolból van, de ez egy elég logika és matematikafilozófia-közeli cikk. Nálam a logikai megközelítést a Valós számok-fejezet jelenti, ami valóban nem a számolgatós rész és pont emiatt meggyőzőbb, mint az a sok hókuszpókusz, ami a cikk elején van.

(nagyon mellékes személyes megjegyzés, mert azt hiszem fent ez már ki lett vesézve: az a sok hókuszpókusz mind olyan, mint a józsaru-rosszzsaru trükk. Az embernek ezek hatására romba dőlnek az intuíciói, aztán megjelenik a tanár aki kiutat mutat, hogy fogadjuk el: a kettő egyenlő. A diák így még mindig kevesebbet veszít. Nekem ez a megközelítés igazából nem szimpatikus, bár kétségtelenül hatásosabb... Nekem az szimpatikus, hogy azt mondjuk: Fiam, mi számok alatt az ezekből a Peano axiómákból következő dolgokat értjük [itt egy kisebb filozófiaóra következik, aztán], majd ellentettképzés, hányadostest, Dedekind-szeletek/Cauchy sorozatok. Tehát fiam, én ezt értem szám alatt, és eszerint 0,99... =1, ha meg neked ez nem tetszik, akkor ottvan Csirmaz tanárúr nemsztenderd analízis című könyve, illetve néhány parakonzisztens olvasnivaló, sok sikert, főleg az előbbihez! Ezzel ugyanúgy beléfojtom a szót a diákba, de legalább axiomatikusan mondtam... :P :) )

• Pontosabban, Rudin, Richman, és Enderton ezt a szeletet 1*, 1‒, és 1R szeletnek nevezi, amelyek mindegyike azonos az 1 valós számmal. Jegyezzük meg, hogy amit Rudin és Enderton Dedekind-szeletnek nevezett, azt Richman nem principális Dedekind-szeletnek hívta.

• A tizedes kifejtések fenti megközelítése a 0,999… = 1 bizonyításával együtt Griffiths & Hilton 1970 A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation című művét követi.[22]

Nekem ez inkább lábjegyzetes megjegyzésnek tűnik, inkább csak azt szolgálja, hogy az utánaolvasók mit hogyan és hol találnak...

• Az alkalmazásai fejezetben van szó a Cantor-halmazról, mint fraktálról. Ez a fogalom azonban fentebb is előfordul, a bevezetőben, aholis piros linkes szegény. Ha az a link erre a fejezetre mutatna, szerintem az egyelőre elegendő lenne.

• Zénó az Zénón, méghozzá eleai, ha nagyon pontosak akarunk lenni. Ide a Kirk-Raven-Scoefield nevezetű könyvecskét hivatkoznám, ez a bevett filozófiaszakokon és alighanem bárhol, ami preszókratikával foglalkozik. És a 'Zénón-paradoxon' kifejezés még nem kelt olyan önálló életre, mint a 'Plátói szerelem'. (Az angolok a Platónt is Plato-nak írják, és bár a századforduló körül mi is így írtuk (meg Socrates és hasonlók), azóta mégis Platón és Zénón van)

Sok sikert! (a kiemeléshez!) Attila ^vita 2009. augusztus 14., 00:58 (CEST)

• Ja és még valami! A Péter Rózsa-féle csokipapíros mesét nem írod bele? (Játék a végtelennelben benne van.) Bár én annyira nem vagyok attól elragattatva, de az szerintem a magyar matematikai folklór szinte mindenki által jól ismert része. Mi matematikadidaktika órán külön kiselőadásban foglalkoztunk vele, tapasztalataim szerint azt imádja mindenki... Attila ^vita 2009. augusztus 14., 01:08 (CEST)

Kedves Attila!

1. Nem szabad hallgatni a kételkedőkről, mert ők is ide tartoznak. Legfeljebb a definíciót tegyük át a precízebb részbe.

2. A linket és Zénónt javítottam.

3. A csokipapíros mese jöhet, csak nem emlékszem rá pontosan, és a Játék a végtelennel sincs kéznél.

4. A lábjegyzetet nyugodtan csináld meg.

Köszönöm az észrevételeidet. Szalakóta ^vita 2009. augusztus 14., 21:15 (CEST)

1. Szerintem a definíció jó helyen van, én örültem neki, hogy hamar megkaptam.

3. A csokipapíros részletetfeltettem a wikiforrásba Péter Rózsa neve alá. Majd ha valakinek lesz kedve/ideje, beledolgozza...

csokipapíros rész: http://hu.wikiquote.org/wiki/P%C3%A9ter_R%C3%B3zsa

(sajnos még nem tudom, hogyan kell elegánsan társprojektre linkelni...)

Így: [[:q:Péter Rózsa|]] ez lesz belőle: Péter Rózsa Karmela^üzenőlap 2009. szeptember 22., 22:45 (CEST)

4. kész.

Én köszönöm, hogy volt miben segítenem. Attila ^vita 2009. augusztus 14., 23:56 (CEST)

Köszi a csokit. Elfogyasztottam. Szalakóta ^vita 2009. augusztus 15., 18:33 (CEST)

Szakaszos tizedes tört

A Nevető lexikon szerint:

Kisebb katonai egység sorállományú parancsnoka leejtett egy vázát.

Karmela^üzenőlap 2009. szeptember 23., 23:13 (CEST)

Nem rossz. Sőt, tetszik. Szalakóta ^vita 2009. szeptember 24., 09:35 (CEST)

kérdés

Előre is bocsánat, mert biztos butaságot írok, de miért is valós szám a 0,999...? A valós számok halmaza a racionális és az irracionális számok halmazának egyesítése. Minden irracionális szám egy végtelen, nem szakaszos tizedes tört, tehát a 0,(9) nem lehet irracionális szám, mert szakaszos. Minden racionális szám pedig felírható 2 egész szám hányadosaként. Melyik két egész szám hányadosaként írható fel a 0,(9)? Lehet, hogy az állításaim nem igazak, de amennyiben azok, akkor a 0,(9) nem egy valós szám, hogy milyen azt nem tudom. Ha bezárjuk az 1-be akkor az 1 valós és nem valós szám lesz egyszerre, nem? Ahhoz, hogy bebizonyítsuk, hogy egyenlő 1-el, ahhoz matematikai műveleteket kell végeznünk a 0,(9) alakkal, de ez hogyan lehetséges, amikor ezeket a műveleteket csak a valós számok halmazában tudjuk értelmezni és alkalmazni? Az pl. miért igaz, hogy 0,(3)*3=0,(9)? Azt gondolom, hogy a 0,999... nem is komplex szám, de akkor milyen? Csak azért írtam ezeket, mert felmerültek bennem a kérdések, mert ez egy vitalap és mert hátha valaki tudna válaszolni, és nem azért mert értek hozzá, vagy mert bizonyítani szeretnék valamit.Föld-lét ^vita 2010. február 26., 14:26 (CET)

Vagyis, ha valami nem egy SZÁM akkor hogyan tudsz vele SZÁMtani műveleteket végezni, mint pl. 0,(3)*3=0,(9)? Hogyan kaphatsz 2 SZÁM szorzatának erdményeként egy olyan valamit, ami nem is SZÁM? Föld-lét ^vita 2010. február 26., 14:50 (CET)

Végül is nem kérdezel hülyeséget, de ezt már nagyon sokan kérdezték a különféle fórumokon. Igyekszem választ adni, és megpróbálok bizonyításokkal is szolgálni, bár a vonatkozó bizonyítások sokkal általánosabbak, és túllépik a középiskolás szintet. Szalakóta ^vita 2010. február 26., 15:32 (CET)

A 0,999… az a szám, ami a 0; 0,9; 0,99; 0,999, … sorozat határértéke. Hasonlóan, a 0,333… az a szám, ami a 0; 0,3; 0,33; 0,333, … sorozat határértéke. Mindkét sorozat korlátos, mert monoton nőnek, és felülről korlátosak. A vonatkozó tétel szerint, ha összeszorozzuk két konvergens számsorozat egyező indexű elemeit, akkor a határértékek is összeszorzódnak. Az itt összeszorzandó számsorozat a 0; 0,3; 0,33; 0,333, … sorozat és a konstans 3 sorozat.

Beszéljünk általánosabban: legyen a két konvergens sorozat a_n és b_n. Jelölje ezek határértékét rendre α és β. Meg kell mutatnunk, hogy |a_nb_n-αβ| akármilyen kicsi lehet.

Átalakítjuk egy kicsit az a_nb_n-αβ képletet:

a_nb_n+a_nβ-a_nβ-αβ=a_n(b_n-β)+β(a_n-α)

a_n konvergens, ezért minden ε pozitív számra van n₁, hogy minden n₁-nél nagyobb n-re |α-a_n|<ε/(2r), ahol is r>|a_n|. Hasonlóan, b_n konvergens, ezért minden ε pozitív számra van n₂, hogy minden n₂-nél nagyobb n-re β|β-b_n|<ε/(2r). Helyettesítsük n₁ és n₂ közül a kisebbet a nagyobbal, legyen ez m.

A háromszög-egyenlőtlenséggel

$|a_{n}(b_{n}-\beta )+\beta (a_{n}-\alpha )|\leqslant |(a_{n}b_{n}-a_{n}\beta )+(a_{n}-\alpha )\beta |\leqslant |a_{n}||b_{n}-\beta |+|a_{n}-\alpha ||\beta |\leqslant r|b_{n}-\beta |+|a_{n}-\alpha |\beta$

Elég messzire elmenve mindkét sorozatban n>m, így |α-a_n|<ε/(2r), ahol is r>|a_n|, és β|β-b_n|<ε/(2r). Ezzel az egészre kijön az ε hibahatár, tehát a sorozatok elemenként vett szorzatának határértéke a határértékek szorzata.

Eszerint a 0; 0,3; 0,33; 0,333, … sorozat elemeit hárommal szorozva a határérték is hárommal szorzódik. Mivel a 0; 0,3; 0,33; 0,333, … sorozat határértéke 1/3, a szorzat határértéke egyenlő lesz a 0; 0,9; 0,99; 0,999, … sorozat határértékével, vagyis 1=3*1/3=0,999… Szalakóta ^vita 2010. február 26., 16:39 (CET)

Van egy képlet is, amivel egy végtelen szakaszos tizedestört felírható két egész szám hányadosaként. Ezzel kiszámolva a 0,999… értékét, kapjuk, hogy egyenlő eggyel. Megpróbálok majd utánajárni a képletnek és a bizonyításának is, hogy alkalmazható ebben az esetben, hogy lásd, nincs benne semmi trükk, de nem biztos, hogy megtalálom. Szalakóta ^vita 2010. február 26., 16:45 (CET)

Nagyon köszönöm a választ, a bizonyítás egy részét is megértettem. Egy konvergens sorozat határértéke eleme-e a sorozatnak? Ha nem akkor pl. a 0; 0,3; 0,33; 0,333, … sorozatnak a 0,333... miért nem a végtelenedik eleme, és miért a határértéke? Több kérdéssel ígérem nem állok elő.Föld-lét ^vita 2010. február 26., 19:01 (CET)

Én ott látom a problémát, hogy még a matematikát használók is, gyakran csak akkor látják szükségét és értelmét egy mennyiség határértékkel való megadásának, ha az nem egész. A 0.(3) estében könnyen túllépnek a problémán, mert nincs más eszköz az ¹/₃ lejegyzésére. De pont ennek analógiája miatt nem értik, hogy a 0.(9) -et nem egynek tekintjük, hanem ez az 1 csak másképp írjuk le: abban az alakban ami törteknél elfogadott. Egy végtelen méretű matematikai kifejezést (aminek a határértéke 1) véges eszközökkel lejegyezni pedig valóban nehéz annak aki nem szokott hozzá. Nem tudom ki mondta: „Hatalmas felfedezés volt az emberiség életében a 0 megértése és használata. A következő ilyen nagy falat a végtelen.”

A határérték valamilyen szempontból tekinthető a végtelenedik elemnek, hiszen odaillene a sorozat végére, és annak összes eleme után következne. A probléma csak az, hogy bár a halmazelmélet foglalkozik olyan sorozatokkal, amikben végtelen sok elem után következnek újabb elemek, máshol nem szoktak ilyen sorozatokkal foglalkozni. Szalakóta ^vita 2010. február 26., 19:44 (CET)

Lehet, hogy ez az a képlet: a 0,999...-et, jelöljük F-el, beszorozzuk 10^1-el, mert a szakaszban egy számjegy ismétlődik, lesz 10F=9,999... ; 10F-F=9,999...-0,999...=9F=9, tehát F=1/1.Föld-lét ^vita 2010. február 27., 10:04 (CET)

Igazából tényleg az a dologban a ködösítő, hogy tulajdonképpen a 0,999...-et nem tudjuk két szám hányadosaként felírni, és hiába egyenlő 1-el, amit ugye igen, sehol nem kapja az ember eredményként. Ebből kifolyólag véleményem szerint de facto nem is létezik, viszont de juro egyenlő 1-gyel. Sok dolog van, ami igazából nem létezik, de mégis meglehetősen sokat foglalkozunk vele (ld.: Laár András: Elnevezések), és ez végül is nem is baj, mert így egyszerűbb. Az ember alapjában véve először csak megszámolta, hány dinnyéje van. Ez egy szám, de hogy ide eljusson, össze kellett adnia. Így jelent meg az összeadás. Az ok-okozat sorrend azonban néha változott, pl.: Most végül is hány dinnyét tettél a kupacba? Volt 3, most 8 van, tehát 5-öt. Ez a kivonás születése. Azonban amint az ember elfelejti, hogy a dinnyepakolászás, mint tényleges történés helyett immár összeadásról és kivonásról, elvont fogalmakról beszél, jönnek az elméleti problémák, mint pl.: Mi lesz, ha 3 dinnyéből elveszünk 5-öt? És puff, megjelentek a negatív számok, holott ki látott már -2 dinnyét (beleraksz még kettőt, és nem lesz bent semmi?)? Aztán megjelent az egyik legfőbb erény, a lustaság, és az ember kitalálta a szorzást, hogy ne keljen folyton összeadni. Azonban valahogy erre is rá kell kérdezni, így létrejött az osztás. Itt is ugyan az a probléma: ha nem ténylegesen végrehajtható művelet eredményére kérdezünk rá, értelmetlen választ kapunk (pl.: Három és fél teáscsészét tudunk venni./ Ennek a hörcsögnek megvehetjük a 12/31-ed részét.) Ezek után még lustábbak lettünk, és kitaláltuk a hatványozást, hogy ne kelljen folyton szorozni, amivel viszont ugyanez a helyzet: ha olyan számból vonsz gyököt, ami semminek sem lehet a négyzete, vagy fura alapú logaritmussal számolsz, előbb-utóbb csúnyán fogsz nézni. De, hogy más példát hozzak, ott van a pénz. Eredendően azért van, hogy egységesen meg legyen határozva, öt kecskéért hány kiló lisztet kapsz. Viszont amint elkezdjük komolyan venni, és, mint létező dolgot, elfogadni, ki vagyunk szolgáltatva neki. Jön az infláció, és az a teljesen elrugaszkodott helyzet áll elő, ami a nagy gazdasági világválság esetén: azért lett rossz, mert minden túl jól működött. Mert a ténylegesen elvégzett munka pénzre cserélődött, amivel pedig valami történt, és így kevesebb tényleges munkát lehetett kapni érte. Tényleges munkával rommá dolgoztad magad, és még csak kJ-ra sem kaptál érte megfelelő mennyiségű kenyeret. Azonban ma már ez is, az is annyira megszokottá vált, hogy máshogy nem menne. A pénz és a számok megmaradnak, mi pedig kénytelenek vagyunk elviselni a használatukkal járó nehézségeket. Azt azonban jó néha szem előtt tartani, hogy mi az ami létezik és mi nem. Hogy: ,,bár felül a gálya, s alul a víznek árja, azért a víz az úr" és hogy: ,,A szombat lett az emberért, és nem az ember a szombatért. Az Emberfia ura a szombatnak".

Képzetes egység

A cikk bevezetőjében szerepel ez a mondat: "Egy másik elképzelés, hogy az 1 a 0,999…-től végtelen kicsiben különbözik, ahol a különbség a képzetes egység." Itt a komplex számok képzetes egységéről van szó? Mert ha nem, akkor az elnevezés félrevezető, ha viszont igen, akkor nem értem, miért képzelik így :) – Pedro Paramo ^vita 2010. november 1., 20:53 (CET)

Nem arról van szó, hanem az infinitezimális egységről. Most sajnos nincs időm javítani. Szalakóta ^vita 2010. november 2., 10:21 (CET)

máshogy

ha 1/3 = 0,333 akkor 1 = 0,999 és 3 = 2,999 tehát 0,999/2,999 = 0,333111037 – Aláíratlan hozzászólás, szerzője 91.82.156.26 (vitalap | szerkesztései) 2018. január 31., 20:49‎

Vigyázz, mert a tizedesvessző után végtelen sok kilencesnek kell állnia, amit a számológép és a számítógép sem tud, mindegyik pontatlanul számol. Ha pontosan számolna, akkor 0,3333… (végtelen sok hármas) lenne az eredmény. Szalakóta ^vita 2018. január 31., 20:44 (CET)