Távolság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A távolság két pont közé eső szakasz hossza. Pont és egyenes távolsága a ponttól az egyenesre bocsátott merőleges hossza. Pont és sík távolsága a ponttól a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy pontjának távolsága a másik egyenestől. Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy pontjának távolsága a másik síktól.

A fizikában, vagy a mindennapi életben a távolságot többnyire különböző hosszúságegységekben adják meg. SI-egysége a méter. A matematika ezt a fogalmat általánosítja, különböző mértékeket, metrikákat vezetve be.

A távolság egy nem negatív skalármennyiség, aminek nincs iránya, míg az elmozdulásra, mint vektormennyiségre jellemző annak iránya. Egy görbe úton megtett út hossza lényegesen nagyobb lehet a légvonalbeli távolságnál. Egy körút például hosszú lehet, de ilyenkor a kezdő-és végpont légvonalbeli távolsága nulla, mert e két pont egybeesik.

Geometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az abszolút geometriában két pont, x1 és x2 távolsága:

d=\sqrt{(\Delta x)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2}.\,

A koordinátageometriában az xy sík két pontja, (x1, y1) és (x2, y2) közötti távolság:

d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\,

Hasonlóan, a háromdimenziós térben a pontok távolsága:

d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.

Ahol a két pont koordinátái (x1, y1, z1) és (x2, y2, z2).

A síkbeli képlet megkapható úgy, hogy tekintjük az egyik olyan derékszögű háromszöget, aminek átfogója az (x1, y1) és (x2, y2) közötti szakasz. Erre a háromszögre alkalmazva a Pitagorasz-tételt megkapjuk a képletet. A Pitagorasz-tétel többszöri alkalmazásával a magasabb dimenziós képletek is megkaphatók. Meg kell jegyeznünk, hogy ezek a képletek csak az euklideszi geometriában érvényesek, mert a nem euklideszi geometriákban nem teljesül a Pitagorasz-tétel.

A távolságképletek általánosítása az ívhossz kiszámítására szolgáló képlet.

Az euklideszi térben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A matematikában (elsősorban a numerikus analízisben és a diszkrét matematikában, de az euklideszi geometriában csak nagyon ritkán) néha más távolságokat is használnak (Hölder-metrikák), amik az euklideszi normától eltérő normán alapulnak.

Az (x1, x2, ...,xn) és az (y1, y2, ...,yn) pontok p paraméterű Hölder-távolsága:

1-normán alapuló távolság (Manhattan-metrika, Minkowski-metrika)  = \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|
2-normán alapuló távolság (euklideszi metrika)  = \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^2 \right)^{1/2}
p-norma távolság  = \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}
végtelen normán alapuló távolság (Csebisev-metrika)  = \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}
 = \max \left(|x_1 - y_1|,  |x_2 - y_2|,  \ldots, |x_n - y_n| \right)

ahol p egy egynél nem kisebb valós szám. Ugyanis, ha p kisebb lenne, mint egy, akkor nem teljesülhetne a háromszög-egyenlőtlenség.

Speciálisan, a 2-norma megegyezik a szokott értelemben vett, vonalzóval vagy fénysugárral mérhető távolsággal. Az 1-norma egy olyan út hosszát méri, ami egymásra merőleges szakaszokból összerakva vezet az egyik pontból a másikba, mintha csak egy úthálózaton haladhatnánk. Manhattan-távolságnak is nevezik. A végtelen normából kapott távolságot Csebisev-távolságnak is nevezik. A sakktáblán minimum ennyi lépéssel lehet átvinni a királyt az egyik mezőről a másikra. Ezekkel a távolságokkal leginkább különböző függvényterekben mérnek; leggyakrabban az euklideszi, a Manhattan- és a Csebisev-távolságok kerülnek szóba, a többi csak nagyon speciális esetben fordul elő.

Euklideszi norma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az euklideszi norma az adott p pont origótól mért távolsága:

\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}

ahol az utolsó szorzás skalárszorzás. Ez egyben az origóból a p-be mutató vektor hossza.

Variációszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tér két pontja (A = \vec{r}(0) és B = \vec{r}(T)) közötti távolság variációs formulája:


D = \int_0^T dt \sqrt{\left({\partial \vec{r}(t) \over \partial t}\right)^2}

ahol a távolság a formula minimumával egyenlő. A képletben \vec{r}(t) jelöli a két pont közötti utat. A D integrál ennek a hossza. A képlet akkor veszi fel minimumát, ha r = r^{*}, ahol r^{*} az optimális trajektória, az euklideszi geometriában egy egyenes szakasz. Görbült terekben, ahol a tér természetét g_{ab} jelöli, az integrandus \sqrt{g^{ac}\dot{r}_{c}g_{ab}\dot{r}^{b}} lesz.

Algebrai távolság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számítógépi geometriában gyakran egy másik távolságfogalmat használnak: az algebrai távolságot, amit a legkisebb négyzetek módszerével minimalizálnak.[1][2] Az x^T C x=0 alakú egyenlettel adott görbék és felületek, például a kúpszeletek esetén az algebrai távolság egyszerűen x'^T C x'.

Kiindulási alapként szolgál az euklideszi távolság számára a görbékre vonatkozó becslések finomításához. Ez megtehető például a nem lineáris legkisebb négyzetek módszerével.

Absztrakt távolság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A matematikában, különösen a geometriában egy d: H×H → R függvény a H halmazon értelmezett távolságfüggvény, ha:

  • d(x,y) ≥ 0, és d(x,y) = 0 akkor és csak akkor, ha x = y. Két pont távolsága nem negatív, és nulla akkor és csak akkor, ha a két pont egybeesik.
  • Szimmetrikus: d(x,y) = d(y,x). Az x és az y pont távolsága mindkét irányban ugyanaz.
  • Teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). Két pont között az egyenes szakasz a legrövidebb út.

Az ilyen d függvényeket metrikának nevezik. A metrikák topológiát határoznak meg. Például a számok közötti szokásos d(x,y) = |xy| metrika a számegyenes szokásos topológiáját adja, amiben a nyílt halmazok a szokásos nyíltak. Az absztrakt távolságra tett kikötések szerint ez is metrika: d(x,y) = 0 ha x = y, és 1 egyébként. Ez a szokásos topológiától különböző topológiát ad, amiben pontosan a véges halmazok nyíltak.

Egy alaphalmaz metrikus tér a rajta értelmezett metrikával.

Gráfelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gráfelméletben két csúcs távolsága az őket összekötő legrövidebb út hossza.

Halmazok közötti távolság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: d(A,B)>d(A,C)+d(C,B)

Többféleképpen is lehet kiterjedt halmaz között távolságot definiálni. A legtöbbször a következő definíciók valamelyikét használják:

  • Két nem üres halmaz távolsága a pontjaik közötti távolságok infimuma, vagyis legnagyobb alsó korlátja. Megfelel a távolság szokásos értelmezésének. Szimmetrikus premetrika, de többnyire nem teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget, ezért nem pszeudometrika, így csak néhány speciális halmazrendszeren lehet metrika.
  • Két halmaz, X és Y dH Hausdorff-távolsága:
 d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\{\,\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y),\, \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y)\,\}\mbox{,} \!

ahol sup jelöli a szuprémumot (a legkisebb felső korlátot), és inf az infimumot.

Egy ekvivalens definíció:

 d_H(X,Y)\leq \varepsilon  \ \Longleftrightarrow \ X\subset Y_\varepsilon \ \mbox{and} \ Y\subset X_\varepsilon,

ahol Xε azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek ε-nál közelebb esnek az X halmazhoz a szokott értelemben.

A két halmaz közötti távolsághoz hasonlóan definiálható egy pont és egy halmaz távolsága.

Egyéb távolságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A matematika egyes ágai más távolságokat definiálnak és használnak:

  • Mahalanobis-távolság a statisztikában
  • Hamming-távolság és Lee-távolság a kódelméletben
  • Levenshtein-távolság avagy szerkesztési távolság az információelméletben és a számítástudományban
  • Csebisev-távolság
  • Ciklikus távolság: egy kör kerületén mért távolság. Ha a kör r sugara 1, akkor kerülete 2*π*r. A mérnöki tudományokban gyakran használják az ω=2*π*f összefüggést, ahol f a frekvencia jele.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Deza, E. & Deza, M. (2006), Dictionary of Distances, Elsevier, ISBN 0444520872.

  • Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek
  • Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]