Duális számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A duális számok halmaza a valós számkör bővítése úgy, hogy felveszünk egy ε≠0 elemet, amelyre teljesül az ε2=0 egyenlőség.
Így duális számok azok, amelyek felírhatók z = a + b\epsilon \, alakban.

Konstrukció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A duális számokat a komplexekhez hasonlóan többféleképpen konstruálhatjuk:

  • Rendezett párokként a megfelelő műveletek definiálásával
  • Meghatározott alakú mátrixokként a szokásos mátrixszorzással és összeadással
Legyen a + b\epsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}
A mátrixszorzás az ilyen mátrixok között kommutatív:

\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ 0 & a_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1a_2 & b_1a_2+b_2a_1 \\ 0 & a_1a_2 \end{pmatrix}

és

\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ 0 & a_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_2a_1 & b_2a_1+b_1a_2 \\ 0 & a_2a_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1a_2 & b_1a_2+b_2a_1 \\ 0 & a_1a_2 \end{pmatrix}

  • A \mathbf{R}[X]/(X^2) gyűrűből, azaz a valósak feletti álló polinomok X^2-tel vett maradékosztályaiból,
ugyanúgy, ahogyan a komplex számokat tekinthetjük a valósak feletti polinomok X^2+1-gyel vett maradékosztályainak.

Ezek a definíciók algebrailag ekvivalensek.

Műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alapműveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összeadás:

(a + b \epsilon)+(c + d \epsilon)=(a+c)+(b+d)\epsilon \,

\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c & d \\ 0 & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c & b+d \\ 0 & a+c \end{pmatrix}

Szorzás:

(a + b \epsilon)(c + d \epsilon)=ac+ad\epsilon+bc\epsilon+bd\epsilon^2 = ac+(ad+bc)\epsilon \,

\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}c & d \\ 0 & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac & bc+da \\ 0 & ac \end{pmatrix}

Következmények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Osztás:

{a+b\epsilon \over c+d\epsilon} = {a \over c} + {(cb - ad) \over c^2}\epsilon
Csak akkor értelmezett, ha c\neq0 \,, ezért a duális számok nem alkotnak testet.

Gyökvonás:

\sqrt{a+b\epsilon}=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}b\epsilon
Csak akkor értelmezett, ha a>0 \,

Definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Konjugáció:

a + b \epsilon \mapsto a - b \epsilon
z konjugáltjának jele z*

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A duális számok a fenti definíciókkal kommutatív egységelemes gyűrűt és a valós számok felett algebrát alkotnak. A valós számokkal szemben a duális számok nem alkotnak testet.

Duális számok és függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A duális számokon értelmezhetjük az egész kitevőjű hatványozást, így a polinomokat is.

Ha adott egy P(x)=p_0+p_1x+p_2x^2+...+p_nx^n polinom, akkor ezt alkalmazhatjuk egy duális számra. Észrevehetjük, hogy P(a+b\epsilon)=P(a)+bP^\prime(a)\epsilon \,, ahol P^\prime P deriváltja.[1]

Ezt a polinomokról kiterjeszthetjük az valós analitikus függvényekre:
f(a+b\epsilon)=f(a)+bf^\prime(a)\epsilon

A deriváltak megjelenését az a tulajdonság indokolja, hogy az \epsilon hasonlóan viselkedik, mint a nemstandard analízisben a végtelenül kicsi mennyiségek, hiszen a négyzetével nem kell tovább számolni, elhagyható.

Néhány függvény a duális számokon[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\sin(a+b\epsilon)=\sin(a)+b\cos(a)\epsilon \,
\cos(a+b\epsilon)=\cos(a)-b\sin(a)\epsilon \,
e^{(a+b\epsilon)}=e^a(1+b\epsilon) \,
ln(a+b\epsilon)=ln(a)+{b \over a}\epsilon \,

Modulus és argumentum[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex számokhoz hasonlóan a duális számokon is értelmezhető a modulus és az argumentum fogalma. A modulust határozzuk meg a konjugált fogalmával:
\rVert a+b\epsilon \lVert = \sqrt{(a+b\epsilon)(a-b\epsilon)} = a
Ez összhangban van azzal, hogy \epsilon bizonyos értelemben kicsi.

Az argumentum legyen
\arg(a+b\epsilon)=\frac{b}{a}
Így a komplexekkel analóg módon
z=\rVert z \lVert e^{\epsilon\arg(z)}

Megmarad az a tulajdonság is, hogy szorzásnál az eredmény modulusa az eredeti modulusok szorzata és az eredmény argumentuma az eredeti argumentumok összege.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Például (a+b\epsilon)^3=a^3+3a^2b\epsilon+3a(b\epsilon)^2+\epsilon^3=a^3+3a^2b\epsilon \,