Tökéletes számok

A számelméletben tökéletes számnak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyek megegyeznek az önmaguknál kisebb osztóik összegével. Más megfogalmazás szerint tökéletes szám minden olyan n egész, amelyre az osztóösszeg-függvény σ(n)=2n , vagy a valódi osztók összege s(n)=n.

A definíció az ókorból származik, már Eukleidész: Elemek c. művében is megjelenik (VII.22), τέλειος ἀριθμός (tökéletes, ideális vagy teljes szám) néven. Eukleidész meghatározott egy képzési szabályt is (IX.36), miszerint $q(q+1)/2$ páros tökéletes szám, amennyiben $q$ $2^{p}-1$ alakú, $p$ és $q$ pedig prímek – az ilyen alakú számokat jelenleg Mersenne-prímeknek nevezzük. Jóval később Euler igazolta, hogy az összes páros tökéletes szám ebben az alakban írható fel. Ez az Eukleidész–Euler-tétel.

Nem ismeretes, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, ahogy az sem, hogy létezik-e végtelen sok tökéletes szám.

Példák

A legkisebb tökéletes szám a 6, amelynek önmagánál kisebb osztói az 1, a 2 és a 3, ezek összege pedig 1 + 2 + 3 = 6. A második legkisebb tökéletes szám a 28, melynek osztói az 1, 2, 4, 7 és 14 számok. A soron következő két tökéletes szám a 496 és a 8128. (A000396 sorozat az OEIS-ben).

Páros tökéletes számok

Az ókori görögök csak a négy legkisebb tökéletes számot (6, 28, 496, 8128) ismerték.

Az ókori görög matematikus, Euklidész felfedezte, hogy az első négy tökéletes szám felírható 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) alakban:

n = 2-re:   2¹(2² − 1) = 6

n = 3-ra:   2²(2³ − 1) = 28

n = 5-re:   2⁴(2⁵ − 1) = 496

n = 7-re:   2⁶(2⁷ − 1) = 8128

Észrevéve, hogy a fent említett n-ekre 2ⁿ − 1 minden esetben prímszám, Eukleidész bebizonyította, hogy minden olyan esetben, amikor 2ⁿ − 1 prím, 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) tökéletes szám.

Az ókori matematikusok az első négy szám megfigyelése alapján további feltételezésekkel éltek, ám ezek zöme hamisnak bizonyult. Az egyik ilyen feltételezés szerint az ötödik tökéletes szám az n = 11 értékre adódik, mivel az első négy esetben n az első négy prímszám (2, 3, 5, 7) értékét veszi fel, „logikusnak” tűnt tehát, hogy az ötödik prímszám az ötödik tökéletes számot adja. Ez azonban nem igaz. Hasonló módon hamisnak bizonyultak a következő feltételezések:

• Az ötödik tökéletes számnak öt számjegye van, mert az első négy is rendre egy, kettő, három ill. négy jegyből áll.
• A tökéletes számok sorba rendezve felváltva 6-ra és 8-ra végződnek.

Az ötödik tökéletes szám (33 550 336) nyolc számjegyből áll, megdöntve a második feltételezést, viszont valóban 6-ra végződik. Azonban a következő, hatodik tökéletes szám (8 589 869 056) is 6-ra végződik, tehát a harmadik feltételezés is hamis. (Az, hogy minden páros tökéletes szám 6-ra vagy 8-ra végződik, könnyen megmutatható.)

Az is megmutatható, hogy ha 2ⁿ − 1 prím, akkor n is az, de fordítva nem feltétlenül igaz. Azokat a prímeket, amelyek felírhatók 2ⁿ − 1 alakban, Mersenne-prímeknek nevezzük a 17. században élt francia szerzetes, Marin Mersenne után.

Nikomakhosz Geraszénosz (Kr. u. I. szd. vége) Arithmétikhé eiszagogé (Bevezetés az aritmetikába) c. művében megfogalmazta a sejtést, hogy Eukleidész képlete, 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) az összes páros tökéletes számot kiadja. Ezt több mint másfél ezer évvel utána Leonhard Euler bizonyította be. Ennek egyenes következménye, hogy az összes Mersenne-prímhez találunk tökéletes számot, sőt, a két számcsoport között egy-az-egyhez megfeleltetés létezik.

Jelenleg véges sok Mersenne-prímet ismerünk, és azt sem tudjuk, hogy vajon végtelen sok ilyen prím van-e. Ennek megfelelően az sem ismert, hogy a tökéletes számok végtelen sokan vannak-e. De nem lehetnek túl sokan: nulla sűrűségű sorozatot alkotnak (H.-J. Kanold, 1954).

A GIMPS elosztott számítási projekt megmutatta, hogy az első 44 tökéletes szám a 2^p−1(2^p − 1) a következő p értékekre

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, and 32582657 (A000043 sorozat az OEIS-ben).

Öt ennél nagyobb tökéletes számot is sikerült találni, ezeknél p = 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, illetve 74207281, de lehetnek még más p értékek ezek közelében.

A tökéletes számok osztóinak (az 1-et és saját magukat is beleszámítva) reciprok értékeit összeadva mindig 2 lesz az eredmény. Pl. 28 esetében: $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$

Az ismert többjegyű tökéletes számok számjegyeit egymással összeadva, majd az eredmény számjegyeit újra összeadva, mindaddig amíg egy számjegyet kapunk, mindig 1 lesz a végeredmény. Vagyis a 6-ot leszámítva mindegyik kilences maradéka 1. Pl. a 496 esetében: 4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

A tökéletes számok (a 6-ot kivéve) a hatos számrendszerben két 4-esre végződnek.

A 2^p−1(2^p − 1) alak mellett minden tökéletes szám egyben a (2^p − 1)-edik háromszögszám (és így megegyezik az egész számok összegével 1-től 2^p − 1-ig) és a 2^p−1-edik hatszögszám. Továbbá, minden páros tökéletes szám a hat kivételével a ((2^p + 1)/3)-adik középpontos kilencszögszám és megegyezik az első 2^(p−1)/2 páratlan köbszám összegével:

${\begin{aligned}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}$

A 2^p−1(2^p − 1) alakból következően minden páros tökéletes szám bináris alakban úgy néz ki, hogy p 1-est  p − 1  nulla követ:

6₁₀ = 110₂

28₁₀ = 11100₂

496₁₀ = 111110000₂

8128₁₀ = 1111111000000₂

33550336₁₀ = 1111111111111000000000000₂.

Ezért minden tökéletes szám Hamming-távolsága prímszám .

Minden tökéletes szám egyben praktikus szám. Valamennyi tökéletes szám osztóharmonikus szám, tehát olyan pozitív egész szám, melynek osztóiból harmonikus közepet képezve egész számot kapunk.

Páratlan tökéletes számok

Nyitott kérdés, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok. Számos eredmény született ebben a témában, de egyik sem mutatott rá egy páratlan tökéletes számra vagy cáfolta ezek létezését. Többen vélik úgy heurisztikus érvek alapján, hogy páratlan tökéletes számok nem léteznek. Minden tökéletes szám Ore-szám (osztóharmonikus) is, és egy sejtés szerint páratlan Ore-számok szintén nem léteznek.

Bármely páratlan N tökéletes számnak a következő feltételeknek kell eleget tennie:

• N > 10¹⁵⁰⁰.
• N nem osztható 105-tel.
• N ≡ 1 (mod 12) vagy N ≡ 117 (mod 468) vagy N ≡ 81 (mod 324).
• N felírható a következő alakban:

$N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},$

ahol:

• q, p₁, ..., p_k különböző prímszámok (Euler).
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Euler).
• N legkisebb prímtényezője kisebb mint (2k + 8) / 3.
• Vagy q^α > 10⁶², vagy p _j^2e_j  > 10⁶² néhány j-re.
• N < 2^4k+1.

• N legnagyobb prímtényezője nagyobb mint 10⁸.
• A második legnagyobb prímtényező nagyobb mint 10⁴, a harmadik legnagyobb pedig nagyobb mint 100.
• N-nek legalább 101 prímtényezője van, ezek közül legalább 10 különböző. Ha a 3 nincs N prímtényezői között, akkor N-nek legalább 12 különböző prímtényezője kell legyen.

Más számcsoportok

Az osztók összege alapján más számcsoportokat is megkülönböztetünk. Azokat a számokat, ahol az osztók összege kisebb a számnál, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak. Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk. Ezek az elnevezések mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.

Kapcsolódó szócikkek

• Szupertökéletes számok
• Többszörösen tökéletes számok

További információk

• Tökéletes számok (angolul)
• Perfect numbers n: n is equal to the sum of the proper divisors of n. (angolul) (OEIS)