Síkgörbe

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Sikgorbe-1.jpg

A síkgörbék egydimenziós síkbeli ponthalmazok [forrás?]. Vannak összefüggőek és több ágra osztottak, korlátosak és végtelenbe nyúlók. Némelyek alig, mások jobban eltérnek az egyenestől. Az egyszerű görbéken nincsenek hurkok, más görbék önmagukat metszik. A síkgörbéket többféle gyakorlati és elméleti vizsgálatnál használjuk. Megadásuk, definíciójuk nagyon változatos. Sok nevezetes görbe többféleképpen értelmezhező, ennek következtében a görbék osztályozására nem kerülhet sor, csupán jellemző típusokat tudunk kiemelni.(A matematikai elemzés során az egyenest is közéjük soroljuk.)

Fontosabb görbetípusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elemi függvények grafikonjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Racionális egész függvények,
Racionális törtfüggvények,
Irracionális függvények,
Exponenciális és logaritmusfüggvények,
Trigonometrikus és arcus függvények,
Hiperbolikus és Area-függvények.

Más fontos görbék[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kúpszeletek: kör, ellipszis, parabola, hiperbola;
Harmadrendű görbék: Neil-féle parabola, Agnesi-féle görbe, Descartes-féle levél, cisszoid, sztrofoid;
Negyedrendű görbék: Nikomédész-féle konhoisz, Pascal-féle csiga, kardioid, lemniszkáta, Cassini-görbe;
Cikloisok: közönséges-, hurkolt-, nyújtott-ciklois, epi-/hipociklois, asztroid;
Spirálisok: Arkhimédész-f., Galilei-f., parabolikus -, hiperbolikus -, logaritmikus spirál, klotoid (= cornu spirál), lituus (pásztorbot), körevolvens;
___valamint a láncgörbe, a traktrix, evolvensek, evolúták stb., stb, ...

Differenciálgeometriai leírás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A síkgörbét a térgörbék speciális eseteként kezeljük. A térbeli derékszögű koordináta-rendszer (X;Y) síkjában fekvő görbe leírható

(a) -- \vec{r}=\vec{g}(t) ~ vektor-skalár függvénnyel,
(b) --  x=x(t), ~ ~  y=y(t) ~ paraméteres egyenletrendszerrel,
(c) --  F(x,y)=0 ~ implicit egyenlettel,
(d) --  y = f(x) ~ explicit egyenletel,

valamint ez utóbbi három alakban polárkoordinátákkal:

(e) --  \rho=\rho(t), ~ \varphi=\varphi(t) ~
(f) --  \Pi(\rho,\varphi)=0 ~,
(g) --  \rho = p(\varphi) ~ .

Hasonló formulák használhatók más koordináta-rendszerekben.

A görbe lokális jellemzői[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ívhossz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A görbeszakasz s ívhossza a ds ívelem integrálja a [t..t+dt] intervallumban:

 ds = \sqrt {\dot x^2(t)+ \dot y^2(t)}\,
 s = \int\limits_{t}^{t+dt} \mid \mathbf{\dot r}(t) \mid dt ,
Sikgorbe-3.jpg

Érintő[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az görbe adott pontjában az érintő irányú \vec{t} vektor a vektor-skalár függvény t szerinti első deriváltja:

 \vec{t}=\mathbf{\dot r}(t)=\dot x(t)\mathbf{i}+\dot y(t)\mathbf{j}

Normális[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A görbe adott pontjában az érintőre merőleges \vec{n} vektor a vektor-skalár függvény t szerinti második deriváltja:

 \vec{n} = \mathbf{\ddot r}(t)=\ddot x(t)\mathbf{i}+\ddot y(t)\mathbf{j}
Gorbulet.jpg

Görbület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja:

 g = \frac{d\alpha}{ds} = \frac{\mid\vec n\mid}{\mid\vec{t}\mid ^2},.

A görbületi sugár (a simulókör sugara) a görbület reciproka:

 \rho = \frac {1}{g} \, .

Különleges pontok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Inflexiós pont[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az inflexiós pontban a görbület g=0, a két csatlakozó görbeíven ellentétes előjelű. Az inflexiós pontban az érintő metszi a görbét.

Sikgorbe-2.jpg

Csúcspont[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Olyan pont, ahol a görbületnek (lokális) maximuma/minimuma van.

Szinguláris pontok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kettős (többszörös) pont, ahol a görbe önmagát metszi.
Izolált pont: a többi résztől különálló, de a leképezés kép-pontja.
Töréspont: az érintő ugrásszerűen megváltozik (\neq 180^o).
Hegy: a pontban az érintő ellentétes irányúra változik.
Simulópont: ahol a görbe önmagát érinti, közös a két ív érintője.
Végpontok: a nem csatlakozó ívdaraboké és a korlátos görbéké.
Asszimptotikus pont: az egy pontra zsugorodó spirális határértéke.

Sikgorbe-4.jpg

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  • Courant – Robbins: Mi a matematika? Gondolat, 1966.
  • Reiman István: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, 1992.
  • Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH Atlasz-Matematika, Springer-Verlag, 1993.