Agnesi-féle görbe

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Agnesi-féle görbe

Agnesi-féle görbe (ejtsd: Anyeszi) síkgörbe, algebrai görbe, nevét Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799) olasz nyelvész, matematikus és filozófus után kapta.

Szerkesztése az ábra jelöléseivel: Jelöljünk ki egy kör kerületén egy O pontot. Húzzuk meg az OA szelőt, az A pont a kör tetszőleges másik pontja. Az M pont az O pont átmérőjén lévő átellenes kör-pont. Az OA szelő N pontban metszi a körhöz az M pontban húzott érintőt. Az N pontban OM-el húzott párhuzamos egyenes és erre az A-ban állított merőleges a P pontban metszi egymást. Az A pont helyének változtatásával ilyen módon megszerkesztett P pontok az Agnesi-féle görbe mértani helyét alkotják.

A görbe aszimptotája a körhöz O pontban húzott érintő, a görbe szimmetrikus az OM egyenesre.

Egyenletei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Agnesi-féle görbe szerkesztését mutató animáció

Legyen O pont az origó és M a pozitív y-tengelyen. Legyen a kör sugara a. Ekkor a görbe egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}.

Ha a=1/2, ez az egyenlet ilyen alakra egyszerűsödik:

y = \frac{1}{x^2+1}.

Egy paraméteres egyenletrendszere, ha \vartheta\, az OM és OA egyenesek által bezárt szög az óramutató járása szerint mérve:

x = 2a \ \operatorname{tg} \vartheta,\ y = 2a \cos ^2 \vartheta.\,

Egy másik paraméteres egyenletrendszer esetén legyen \varphi\, az OA egyenes és az x-tengely által bezárt, az óramutató járásával ellenkező irányban növekvő szög:

x = 2a \ \operatorname{ctg} \varphi,\ y=2a\sin ^2 \varphi.\,

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Agnesi-féle görbék a=1, a=2, a=4 és a=8 állandóval.
  • Az M (0,a) \, csúcspontban a görbületi sugár:
R_M=\frac{a}{2}
B\bigg (a \sqrt {3}, \frac{3a}{4} \bigg) \,

és

C\bigg (-a \sqrt {3}, \frac{3a}{4} \bigg) \,.

Ezekben a pontokban az érintők meredeksége:

 \operatorname{tg} \alpha_B = -3 \sqrt{3/8}

és

 \operatorname{tg} \alpha_C = 3 \sqrt{3/8}
  • A görbe és aszimptotája közötti terület négyszerese a származtató kör területének, azaz
T= 4 \pi a^2 \,.
  • A görbének, mint meridiángörbének az aszimptota körüli megforgatásával származtatott forgástest térfogata:
V=4\pi^2 a^3 \,.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091