Descartes-féle levél

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Descartes-féle levél

A Descartes-féle levél egy algebrai görbe, melyet az alábbi egyenlet definiál:

x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,.

A 3a paraméter az ábrán sárga egyenesekkel berajzolt négyzet átlójának hossza. A görbe hurkot képez a derékszögű koordináta-rendszer első térnegyedében kettős ponttal az origóban és aszimptotával , melynek egyenlete:

x + y + a = 0 \,,

(az ábrán piros egyenes). A görbe szimmetrikus az y = x \, egyenesre.

Egyenletei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Polárkoordinátás egyenlete:

 \rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}.

Paraméteres egyenletrendszere derékszögű koordináta-rendszerben:

\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}, ahol t=\operatorname{tg}\varphi.

Gyakran vizsgálják a 135^\circ-os szöggel elforgatott alakját. Ennek egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}, ahol l=\frac{3a}{\sqrt{2}}

Paraméteres egyenletrendszerrel:

x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1},

és polárkoordinátákkal:

 \rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az aszimptota egyenlete:

x+y+a=0 \,.

A levél területe:

 T_1 = \frac {3a^2}{2}

A görbe és az aszimptota közti terület:

 T_2 = T_1 = \frac {3a^2}{2}

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.