Descartes-féle levél

Descartes-féle levél

A Descartes-féle levél egy algebrai görbe, melyet az alábbi egyenlet definiál:

$x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,$.

A 3a paraméter az ábrán sárga egyenesekkel berajzolt négyzet átlójának hossza. A görbe hurkot képez a derékszögű koordináta-rendszer első térnegyedében kettős ponttal az origóban és aszimptotával , melynek egyenlete:

$x + y + a = 0 \,$,

(az ábrán piros egyenes). A görbe szimmetrikus az $y = x \,$ egyenesre.

Egyenletei

Polárkoordinátás egyenlete:

$\rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}$.

Paraméteres egyenletrendszere derékszögű koordináta-rendszerben:

$\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}$, ahol $t=\operatorname{tg}\varphi$.

Gyakran vizsgálják a $135^\circ$-os szöggel elforgatott alakját. Ennek egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

$y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$, ahol $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

Paraméteres egyenletrendszerrel:

$x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$,

és polárkoordinátákkal:

$\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$

Tulajdonságai

Az aszimptota egyenlete:

$x+y+a=0 \,$.

A levél területe:

$T_1 = \frac {3a^2}{2}$

A görbe és az aszimptota közti terület:

$T_2 = T_1 = \frac {3a^2}{2}$

Forrás

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.