Cassini-görbe

Néhány Cassini-görbe. A fókuszpontok (-1, 0) és (1, 0). A görbéken a b² értéke van feltüntetve.

Cassini-görbe azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, melyek a sík egy $q_1\,$ és $q_2\,$ pontjától mért távolságának szorzata állandó. A $q_1\,$ és $q_2\,$ pontokat a Cassini-görbe fókuszainak nevezik.

A Cassini-görbék Giovanni Domenico Cassini csillagászról kapták nevüket, aki úgy vélte, hogy a bolygók ilyen pályán keringenek a Nap körül.

Ha egy derékszögű koordináta-rendszert úgy veszünk fel, hogy a $q_1\,$ pont koordinátái $(a,0)\,$, és a $q_2\,$ pont koordinátái $(-a,0)\,$, akkor a görbék pontjai kielégítik az alábbi egyenletet:

$((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4 \,$.

Más alakban:

$(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4 \,$,

illetve

$(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4 \,$.

A görbék polárkoordinátás egyenlete:

$r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4 \,$

Alakja

A görbék alakja a $c=\frac {b}{a}$ viszonytól függ.

• $c > \sqrt 2 \,$ esetén ovális alakú zárt görbe
• $\sqrt 2 > c > 1 \,$ esetén egyetlen folytonos, zárt görbe, melynek négy inflexiós pontja van.
• $c = 1 \,$ esetén a görbe Bernoulli-féle lemniszkáta lesz.
• $c < 1 \,$ esetén a diagram két független görbére esik szét.
• $c = 0, \ (a \neq 0)$ esetén a Cassini-görbe a két fókuszponttá fajul.

Tulajdonságai

Fekete kör: a maximumok és minimumok mértani helye; kék lemniszkáta: az infelxiós pontok mértani helye.

• A Cassini-görbék negyedrendű síkbeli algebrai görbék.
• Két szimmetriatengelye van: az egyik a két fókuszponton átmenő egyenes, a másik a két fókuszpont távolságát megfelező, az előzőre merőleges egyenes.
• $0 < c \leq \sqrt 2$ esetén két abszolút maximummal és két abszolút minimummal rendelkeznek:

$\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{4a^4-b^4}}{2a} \\ y=\pm\frac{b^2}{2a}\end{cases}$

• $1 < c \leq \sqrt 2$ esetén a görbék négy inflexiós ponttal rendelkeznek, polárkoordinátás alakjuk:

$\begin{cases}r=\sqrt[4]{\frac{b^4-a^4}{3}} \\ \cos 2\varphi =-\sqrt{\frac{1}{3}\left (\frac{b^4}{a^4}-1\right )}\end{cases}$

Az inflexiós pontok mértani helye lemniszkáta, $\left (0;\pm a\right )$ csúcspontokkal.

• A görbületi sugár polárkoordinátákkal kifejezve:

$R=\frac{b^2r}{r^2+a^2\cos{2\varphi}}=\frac{2b^2r^3}{a^4-b^4+3r^4}$

Forrás

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091

Külső hivatkozások

• Kempelen Farkas digitális tankönyvtár
• História - tudósnaptár: Cassini
• Weisstein, Eric W.: Cassini Ovals. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CassiniOvals.html (angolul)
• 2Dcurves.com 2D görbék (angol)