Klotoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A klotoid (clothoid, clothoide) - más néven Cornù-féle spirál vagy Euler-féle spirál - olyan síkgörbe, aminek P pontbeli g görbülete egyenesen arányos az O kezdőponttól mért s = \widehat{OP} ívhosszal: g = a\cdot s .

A síkon egyenletes sebességgel haladó jármű akkor mozog klotoid pályán, ha a vezető a jármű volánját egyenletesen forgatja el. Ekkor a megtett úttal arányosan csökken a pálya simulókörének sugara, tehát az R\cdot s = a fordított arányosság is jellemzi a görbét.

Kloth-anim.gif

Elnevezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A görög mitológiából ismert három párka egyike Klothon (Κλωθών). Neve a klothein (κλωθείν) = gombolyítani jelentésű görög szóból eredeztethető. A párkák a mítosz szerint az élet fonalának gombolyítói, s a klothoid a gombolyagra emlékeztető alakjáról kapta a nevét. Az irodalomban használt más elnevezései a görbe analízisében jelentős eredményeket elérő két tudósra utalnak:

Leonard Euler (1707-1783) svájci matematikus a harmonikus oszcillátor vizsgálatához,
Marie Alfred Cornù (1841-1902) francia fizikus a fény diffrakciós vizsgálatának tanulmányozásához, a Fresnel-integrálok grafikus ábrázolása során konstruálta a görbét.

Leírása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A balra kanyarodó spirált a

P(t)=(x,y)=(k\cdot C(t), k\cdot S(t))\, :

a jobbra kanyarodót a

P(t)=(x,y)=(k\cdot S(t), k\cdot C(t)) :

paraméteres egyenletek írják le.

A paraméter értelmezési tartománya: (-\infty <t< +\infty).
A k a görbe méretét meghatározó hasonlósági együttható,
a két Fresnel-integrál
C(x)=\int_0^x \cos(u^2)\,du,\quad S(x)=\int_0^x \sin(u^2)\,du.

A két ágból álló páros-spirálnak az irányítását a t paraméter előjele definiálja. A koordináta-rendszer első negyedébe eső pontoknak az Origótól mért ívhossza pozitív, a harmadik negyedbe esőké negatív mértéket kap. Ugyancsak előjelezzük a pontokhoz tartozó görbületet és a görbületi sugarat: a növekvő t mellett balra kanyarodó ív adott pontjában pozitív, a jobbra kanyarodónál negatív a görbület.

A kettős spirálnak az origóban inflexiós pontja van és érinti a megfelelő tengelyt. A t\to \pm\infty határértékhez a görbe két asszimptotikus pontja tartozik.

Klotoid-bal-jobb.gif

Lokális adatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Klotoid-normal.gif

A k koefficienssel adott görbén az
ívelem : ds=k\sqrt{cos^{2}t^2+sin^{2}t^2}= k\,dt,
ívhossz: s(t) = \widehat{OP}=k\int_0^t\,dt=k\cdot t,
görbület: g(t)=2k^2\cdot t =2ks\quad ,
görbületi sugár: R(t)=\frac{1}{2ks}\quad,
érintő irányszöge: \vartheta = t^{2} (rad)\quad,
a görbület és az ívhossz aránya: g(t):s(t)= 2k.

Alkalmazása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az utak-vasutak egyenes és köríves szakaszának összekötésére használt átmeneti ívek egyike a megfelelően választott klotoid. Alkalmazásával az egyenes és az íves szakasz között a görbület - és ezzel a járműre ható centrifugális (tehetetlenségi) erő - egyenletesen változik.
Atmenet.gif
  • A hullámvasutak átfordulást biztosító hurokjánál két (rendszerint szimmetrikus) klotoid ívet használnak az előzőhöz hasonló okból.
Hullamvasut.gif

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  • Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
  • Pach Zs. Pálné-Frey Tamás: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,1964.