„Érinthetetlen számok” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2020. december 29., 12:47-kori változata

A számelmélet területén érinthetetlen szám (untouchable number, nonaliquot number) olyan pozitív egész szám, ami nem fejezhető ki egyetlen pozitív egész szám valódi osztóinak összegeként sem (beleértve az érinthetetlen számot magát is).

A 4 például nem érinthetetlen, mivel előáll a 9 valódi osztóinak összegeként: 1 + 3 = 4. Az 5 érinthetetlen, mivel egyetlen szám valódiosztó-összegeként sem szerepel: 5 = 1 + 4 az egyetlen mód, ahogy az 5-öt fel lehet írni különböző, de az 1-et is tartalmazó pozitív számok összegeként, de ha a 4 osztója egy számnak, akkor a 2 is, tehát 1 + 4 nem lehet az összege egyetlen szám valódi osztóinak sem.

Az első néhány érinthetetlen szám (500-ig):

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (A005114 sorozat az OEIS-ben)

Vélhetőleg az 5 az egyetlen páratlan érinthetetlen szám, de ez nem bizonyított: a Goldbach-sejtés egy kissé megerősített változatából következne, hiszen pq valódi osztóinak összege (ahol p és q különböző prímszámok) éppen 1+p+q. Tehát, ha egy n szám felírható két különböző prímszám összegeként, akkor n+1 nem lehet érinthetetlen szám. Valószínűnek tartjuk, hogy minden 6-nál nagyobb páros szám felírható két különböző prímszám összegeként, tehát valószínűnek tartjuk azt is, hogy egyetlen 7-nél nagyobb páratlan szám sem érinthetetlen, továbbá $1=s(2)$ , $3=s(4)$ , $7=s(8)$ , tehát 5 lehet az egyetlen érinthetetlen szám.^[1] A fentiekből következően úgy tűnik, hogy a 2 és 5 számokon kívül az összes érinthetetlen szám összetett. Egyetlen tökéletes szám sem lehet érinthetetlen, hiszen legalábbis a saját valódi osztóinak összegeként kifejezhető. Hasonlóan, egyetlen barátságos szám és társas szám sem érinthetetlen.

Erdős Pál igazolta, hogy végtelen sok érinthetetlen szám létezik.^[2] Chen & Zhao továbbá igazolta, hogy az érinthetetlen számok pozitív aszimptotikus sűrűséggel rendelkeznek, ami legalább d>0,06.^[3]

Egyetlen érinthetetlen szám sem lehet eggyel nagyobb egy prímszámnál, mivel ha p prím, akkor p² valódi osztóinak összege éppen p + 1. Hasonló módon belátható, hogy az 5 kivételével egyetlen érinthetetlen szám sem lehet 3-mal nagyobb egy prímszámnál, mert ha p páratlan prímszám, akkor 2p valódi osztóinak összege éppen p + 3.

Kapcsolódó szócikkek

Nontóciens számok

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Untouchable number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

↑ Az erősebb kijelentés annyiban áll, hogy az eredeti sejtéshez képest megköveteljük azt is, hogy a két prímszám különböző legyen - lásd Adams-Watters, Frank and Weisstein, Eric W.: Untouchable Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
↑ P. Erdos, Über die Zahlen der Form $\sigma (n)-n$ und $n-\phi (n)$ . Elemente der Math. 28 (1973), 83-86, [1]
↑ Yong-Gao Chen and Qing-Qing Zhao, Nonaliquot numbers, Publ. Math. Debrecen 78:2 (2011), pp. 439-442.

Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B10.

További információk

Sloane’s A070015: Least m such that sum of aliquot parts of m equals n or 0 if no such number exists

[1] Az erősebb kijelentés annyiban áll, hogy az eredeti sejtéshez képest megköveteljük azt is, hogy a két prímszám különböző legyen - lásd Adams-Watters, Frank and Weisstein, Eric W.: Untouchable Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld

[2] P. Erdos, Über die Zahlen der Form $\sigma (n)-n$ und $n-\phi (n)$ . Elemente der Math. 28 (1973), 83-86, [1]

[3] Yong-Gao Chen and Qing-Qing Zhao, Nonaliquot numbers, Publ. Math. Debrecen 78:2 (2011), pp. 439-442.

[1]

[2]

[3]

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-A [[számelmélet]] területén '''érinthetetlen szám''' ''(untouchable number, nonaliquot number)'' olyan pozitív egész szám, ami nem fejezhető ki egyetlen pozitív egész szám [[valódi osztó]]inak [[valódiosztó-összeg|összegeként]] sem (beleértve az érinthetetlen számot magát is).
+A [[számelmélet]] területén '''érinthetetlen szám''' ''(untouchable number, nonaliquot number)'' olyan pozitív egész szám, ami nem fejezhető ki egyetlen pozitív egész szám [[Osztóösszeg-sorozat|valódi osztóinak összegeként]] sem (beleértve az érinthetetlen számot magát is).
 A 4 például nem érinthetetlen, mivel előáll a 9 valódi osztóinak összegeként: 1&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;4. Az 5 érinthetetlen, mivel egyetlen szám valódiosztó-összegeként sem szerepel: 5&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;4 az egyetlen mód, ahogy az 5-öt fel lehet írni különböző, de az 1-et is tartalmazó pozitív számok összegeként, de ha a 4 osztója egy számnak, akkor a 2 is, tehát 1&nbsp;+&nbsp;4 nem lehet az összege egyetlen szám valódi osztóinak sem.
@@ 7. sor: / 7. sor: @@
 :[[2 (szám)|2]], [[5 (szám)|5]], [[52 (szám)|52]], [[88 (szám)|88]], [[96 (szám)|96]], [[120 (szám)|120]], [[124 (szám)|124]], [[146 (szám)|146]], [[162 (szám)|162]], [[188 (szám)|188]], [[206 (szám)|206]], [[210 (szám)|210]], [[216 (szám)|216]], [[238 (szám)|238]], [[246 (szám)|246]], [[248 (szám)|248]], [[262 (szám)|262]], [[268 (szám)|268]], [[276 (szám)|276]], [[288 (szám)|288]], [[290 (szám)|290]], [[292 (szám)|292]], [[304 (szám)|304]], [[306 (szám)|306]], [[322 (szám)|322]], [[324 (szám)|324]], [[326 (szám)|326]], [[336 (szám)|336]], [[342 (szám)|342]], [[372 (szám)|372]], [[406 (szám)|406]], [[408 (szám)|408]], [[426 (szám)|426]], [[430 (szám)|430]], [[448 (szám)|448]], [[472 (szám)|472]], [[474 (szám)|474]], [[498 (szám)|498]], ... {{OEIS|id=A005114}}
-Vélhetőleg az 5 az egyetlen páratlan érinthetetlen szám, de ez nem bizonyított: a [[Goldbach-sejtés]] egy kissé megerősített változatából következne, hiszen ''pq'' valódi osztóinak összege (ahol ''p'' és ''q'' különböző prímszámok) éppen 1+''p''+''q''. Tehát, ha egy ''n'' szám felírható két különböző prímszám összegeként, akkor ''n''+1 nem lehet érinthetetlen szám. Valószínűnek tartjuk, hogy minden 6-nál nagyobb páros szám felírható két különböző prímszám összegeként, tehát valószínűnek tartjuk azt is, hogy egyetlen 7-nél nagyobb páratlan szám sem érinthetetlen, továbbá <math>1=s(2)</math>, <math>3=s(4)</math>, <math>7=s(8)</math>, tehát 5 lehet az egyetlen érinthetetlen szám.<ref>Az erősebb kijelentés annyiban áll, hogy az eredeti sejtéshez képest megköveteljük azt is, hogy a két prímszám különböző legyen - lásd {{MathWorld|urlname=UntouchableNumber|title=Untouchable Number|author=Adams-Watters, Frank and Weisstein, Eric W.}}</ref> A fentiekből következően úgy tűnik, hogy a 2 és 5 számokon kívül az összes érinthetetlen szám [[összetett szám|összetett]]. Egyetlen [[tökéletes szám]] sem lehet érinthetetlen, hiszen legalábbis a saját valódi osztóinak összegeként kifejezhető. Hasonlóan, egyetlen [[barátságos számok|barátságos szám]] és [[társas számok|társas szám]] sem érinthetetlen.
+Vélhetőleg az 5 az egyetlen páratlan érinthetetlen szám, de ez nem bizonyított: a [[Goldbach-sejtés]] egy kissé megerősített változatából következne, hiszen ''pq'' valódi osztóinak összege (ahol ''p'' és ''q'' különböző prímszámok) éppen 1+''p''+''q''. Tehát, ha egy ''n'' szám felírható két különböző prímszám összegeként, akkor ''n''+1 nem lehet érinthetetlen szám. Valószínűnek tartjuk, hogy minden 6-nál nagyobb páros szám felírható két különböző prímszám összegeként, tehát valószínűnek tartjuk azt is, hogy egyetlen 7-nél nagyobb páratlan szám sem érinthetetlen, továbbá <math>1=s(2)</math>, <math>3=s(4)</math>, <math>7=s(8)</math>, tehát 5 lehet az egyetlen érinthetetlen szám.<ref>Az erősebb kijelentés annyiban áll, hogy az eredeti sejtéshez képest megköveteljük azt is, hogy a két prímszám különböző legyen - lásd {{MathWorld|urlname=UntouchableNumber|title=Untouchable Number|author=Adams-Watters, Frank and Weisstein, Eric W.}}</ref> A fentiekből következően úgy tűnik, hogy a 2 és 5 számokon kívül az összes érinthetetlen szám [[Összetett számok|összetett]]. Egyetlen [[Tökéletes számok|tökéletes szám]] sem lehet érinthetetlen, hiszen legalábbis a saját valódi osztóinak összegeként kifejezhető. Hasonlóan, egyetlen [[barátságos számok|barátságos szám]] és [[társas számok|társas szám]] sem érinthetetlen.
-[[Erdős Pál]] igazolta, hogy végtelen sok érinthetetlen szám létezik.<ref>P. Erdos, Über die Zahlen der Form <math>\sigma(n)-n</math> und <math>n-\phi(n)</math>. Elemente der Math. 28 (1973), 83-86, [http://planetmath.org/encyclopedia/UntouchableNumber.html]</ref> Chen & Zhao továbbá igazolta, hogy az érinthetetlen számok pozitív [[aszimptotikus sűrűség]]gel rendelkeznek, ami legalább d>0,06.<ref>Yong-Gao Chen and Qing-Qing Zhao, Nonaliquot numbers, Publ. Math. Debrecen 78:2 (2011), pp. 439-442.</ref>
+[[Erdős Pál]] igazolta, hogy végtelen sok érinthetetlen szám létezik.<ref>P. Erdos, Über die Zahlen der Form <math>\sigma(n)-n</math> und <math>n-\phi(n)</math>. Elemente der Math. 28 (1973), 83-86, [http://planetmath.org/encyclopedia/UntouchableNumber.html]</ref> Chen & Zhao továbbá igazolta, hogy az érinthetetlen számok pozitív [[Természetes sűrűség|aszimptotikus sűrűséggel]] rendelkeznek, ami legalább d>0,06.<ref>Yong-Gao Chen and Qing-Qing Zhao, Nonaliquot numbers, Publ. Math. Debrecen 78:2 (2011), pp. 439-442.</ref>
-Egyetlen érinthetetlen szám sem lehet eggyel nagyobb egy [[prímszám]]nál, mivel ha ''p'' prím, akkor ''p''<sup>2</sup> valódi osztóinak összege éppen ''p''&nbsp;+&nbsp;1. Hasonló módon belátható, hogy az 5 kivételével egyetlen érinthetetlen szám sem lehet 3-mal nagyobb egy prímszámnál, mert ha ''p'' páratlan prímszám, akkor ''2p'' valódi osztóinak összege éppen ''p''&nbsp;+&nbsp;3.
+Egyetlen érinthetetlen szám sem lehet eggyel nagyobb egy [[Prímszámok|prímszámnál]], mivel ha ''p'' prím, akkor ''p''<sup>2</sup> valódi osztóinak összege éppen ''p''&nbsp;+&nbsp;1. Hasonló módon belátható, hogy az 5 kivételével egyetlen érinthetetlen szám sem lehet 3-mal nagyobb egy prímszámnál, mert ha ''p'' páratlan prímszám, akkor ''2p'' valódi osztóinak összege éppen ''p''&nbsp;+&nbsp;3.
 ==Kapcsolódó szócikkek==
-* [[Osztóösszeg-sorozat]]
 * [[Nontóciens számok]]
-* [[Furcsa számok]]
 ==Fordítás==

Sablon:Osztóosztályok m v sz Az egész számok oszthatóságon alapuló csoportosítása
Áttekintés	Prímfelbontás Osztó Unitary divisor Osztószám-függvény Osztóösszeg-függvényregul Prímtényező A számelmélet alaptétele Aritmetikus számok
Prímtényezős felbontás	Prím Összetett Félprím Téglalapszám Szfenikus Négyzetmentes Hatványteljes Teljes hatvány Achilles Sima Szabályos Durva Szokásos/szokatlan
Osztóösszegek	Tökéletes Majdnem tökéletes Kvázitökéletes Többszörösen tökéletes Féltökéletes Hipertökéletes Szupertökéletes Unitary perfect Áltökéletes Praktikus Erdős–Nicolas
Sok osztóval rendelkező	Bővelkedő Primitív bővelkedő Erősen bővelkedő Szuperbővelkedő Kolosszálisan bővelkedő Erősen összetett Kiváló erősen összetett Furcsa
Osztóösszeg-sorozattal kapcsolatos	Érinthetetlen Erősen érinthető Barátságos Társas Eljegyzett
Egyéb csoportok	Hiányos Friendly Solitary Sublime Osztóharmonikus Frugal Equidigital Extravagáns