Rugalmassági modulus

A szilárdságtanban és rugalmasságtanban a rugalmassági modulus vagy Young-modulus egy anyagra jellemző állandó, az adott anyag merevségéről nyújt információt.

A lineárisan rugalmas anyag Hooke-modelljében a húzó vagy nyomó mechanikai feszültség (σ) a fajlagos nyúlással (ε) arányos. Az arányossági tényező a rugalmassági modulus:

$\sigma=E\cdot\epsilon$

Jele ${E}$, mindig pozitív szám, szokásos mértékegysége N/mm² (MPa) vagy kN/cm². A pascal túlságosan kicsi egység.

Thomas Youngról kapta a nevét, aki angol fizikus, orvos és egyiptológus volt.

Ha egy szokásos szerkezeti anyagot (fémet, betont, kerámiát, fát stb.) terhelés alá helyezünk, egy darabig rugalmasan viselkedik, vagyis ha a terhelést megszüntetjük, megnyúlása megszűnik, eredeti hosszát veszi fel. Ezt a tartományt rugalmassági tartománynak nevezik. Ha a terhelést tovább fokozzuk, az anyag maradó alakváltozást szenved, még nagyobb terhelés hatására eltörik.

A szerkezeti anyagok nagy része a rugalmassági tartományban a Hooke-törvényt követi, vagyis rugalmassági modulusa a terheléstől független.

Nem minden anyag viselkedik így. Műanyagok és a gumi nem lineáris tulajdonságokat mutat, vagyis a rugalmassági modulus a terheléstől is függ, nemcsak az anyagminőségtől. Ezért a rugalmassági modulus pontosabb definíciója:

$E=\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\epsilon}$

Más anyagok nem követik a Hooke-törvényt: tartósan folynak. Így viselkedik sok műanyag, például polimerek, de egyes fémek is, például az ólom.

A legtöbb fém és kerámikus anyag tulajdonságai a terhelés irányától függetlenek. Ezeket izotróp anyagoknak nevezik. Vannak azonban olyan (anizotróp, más néven ortotróp) anyagok, például szálas szerkezetű anyagok, fa, kompozit anyagok, amelyek rugalmassági modulusa a terhelés irányától függ. Így például a szénszálas műanyagok szálirányban sokkal merevebbek, mint arra merőlegesen.

Hozzávetőleges értékek

Különböző szilárd anyagok hozzávetőleges rugalmassági modulusa

Anyag	Rugalmassági modulus (E) GPa
Gumi (kis feszültségeknél)	0,01-0,1
Kis sűrűségű polietilén	0,2
Polipropilén	1,5-2
Polisztirol	3-3,5
Nylon	2-4
Tölgyfa (szálirányban)	11
Nagyszilárdságú beton (nyomásra)	30
Fémes magnézium (Mg)	45
Alumínium ötvözet	69
Üveg	72
Bronz és sárgaréz	103-124
Titán (Ti)	105-120
Szénszállal erősített műanyag (szálirányban)	150
Vas és acél	190-210
Volfrám (W)	400-410
Szilikon-karbid (SiC)	450
Volfrám-karbid (WC)	450-650
Szén nanocső [1]	1000+
Gyémánt (C)	1050-1200

Nyírási rugalmassági modulus

A rugalmassági modulust csak húzásra-nyomásra értelmezzük. Nyírásra a nyírási rugalmassági modulus érvényes:

$\tau=G \cdot {\gamma}$,

itt $\tau$ a csúsztató feszültség, $\gamma$ a szögelfordulás, G a nyírási rugalmassági modulus. A nyírási rugalmassági modulust használjuk a torziós (csavaró) igénybevételnél is.

A rugalmassági modulus és a nyírási rugalmassági modulus (csúsztató rugalmassági modulus) között az alábbi összefüggés áll fenn:

$G = \frac {E} {2(1+\mu)}$

ahol $\mu$ az anyagminőségtől függő Poisson-tényező.

A Poisson tényező értéke néhány anyagra

Anyag	Poisson-tényező $\mu \,$
ideális folyadék	0,5
Alumínium	0,33
Acél	0,2-0,33
Beton	0,2
Ólom	0,45
Sárgaréz	0,37
Üveg	0,23
SiC	0,17
Si3N4	0,25

Folyadékok rugalmassági modulusa

A folyadékok nyomásra igen kis mértékben változtatják meg térfogatukat, az áramlástani számításoknál ez a jelenség általában elhanyagolható. A folyadék térfogati rugalmassági modulusa vagy annak reciproka, az összenyomhatóság a $\frac {d\rho}{dp}$ differenciálhányadossal jellemezhető. Itt $\rho \,$ a sűrűség, $p \,$ a nyomás. A $K \,$ rugalmassági modulusra írható:

$K=-V\frac{\partial p}{\partial V}$,

ahol

$p \,$ a nyomás és

$V \,$ a térfogat

Folyadékban a hangsebesség a térfogati rugalmassági modulustól és a sűrűségtől függ:

${c = \sqrt {\frac{K}{\rho}}}\,\!$

Folyadékok térfogati rugalmassági modulusa 18 °C hőmérsékleten

Anyag	Térfogati rugalmassági mudulus $K \,$, MPa	$\frac {dK} {dt}$, MPa/°C
Alkohol	0,91	-600
Amilalkohol	1,1	-700
Metilalkohol	0,83	-600
Benzol	1,11	-1000
Éter	0,54	-600
Higany	26
Szénkéneg	1,12	-900
Víz (200 bar-ig)	2,2	900
Víz (2500-3000 bar)	3,8

Az alábbi táblázat a különféle elasztikus modulusok összehasonlítását tartalmazza

Átszámítási képletek (nyitható táblázat)
Homogén izotróp tulajdonságú anyagok tulajdonságai kiszámíthatóak, ha legalább két másik tulajdonságuk ismert
	$(\lambda,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda)$	$(K,\,G)$	$(\lambda,\,\nu)$	$(G,\,\nu)$	$(E,\,\nu)$	$(K,\, \nu)$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda+ \tfrac{2G}{3}$	$\tfrac{EG}{3(3G-E)}$			$\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}$	$\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$	$\tfrac{E}{3(1-2\nu)}$			$M - \tfrac{4G}{3}$
$E=\,$	$\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}$		$\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}$	$\tfrac{9KG}{3K+G}$	$\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$	$2G(1+\nu)\,$		$3K(1-2\nu)\,$		$\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda=\,$		$\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\tfrac{2G}{3}$		$\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}$	$\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K\nu}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M - 2G\,$
$G=\,$			$\tfrac{3(K-\lambda)}{2}$		$\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}$		$\tfrac{E}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3KE}{9K-E}$
$\nu=\,$	$\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}$	$\tfrac{E}{2G}-1$	$\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}$	$\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\tfrac{3K-E}{6K}$	$\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}$
$M=\,$	$\lambda+2G\,$	$\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda\,$	$K+\tfrac{4G}{3}$	$\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}$	$\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}$	$\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}$

Forrás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Young's modulus című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.