Hooke-törvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hooke törvénye pontosan leírja a közönséges csavarrugó mozgását kis összenyomódás esetén

A Hooke-törvény közelítő törvény, mely kimondja, hogy egy rugalmas test alakváltozása arányos azzal az erővel, mely az alakváltozást okozza.

Azokat az anyagokat, melyek a Hooke-törvényt követik, lineáris-rugalmas, vagy Hooke-anyagoknak nevezik.

A törvényt a 17. században élt fizikusról, Robert Hooke-ról nevezték el.

Azokban a rendszerekben, melyek a Hooke-törvényt követik, a megnyúlás egyenesen arányos a terheléssel:

 \overrightarrow{F}=-k\overrightarrow{x} \

ahol

x a megnyúlás [általában méter (m)],
F a rugó erő [általában newton (N)], és
k a rugó merevsége. A rugómerevség dimenziója erő/hossz, mértékegysége a newton/méter (N/m).

Ha ez az egyenlőség fennáll, azt mondjuk, hogy a rugó lineáris rugó. Az összenyomódás-erő diagramban az ilyen rugó görbéje egyenes lesz.

Rugalmas anyagok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sok anyag követi a Hooke-törvényt. Ha egy ilyen anyagból készült kis rudat vizsgálunk, azt kisméretű lineáris rugónak foghatjuk fel. Megnyúlása, (fajlagos nyúlása) egyenesen arányos a benne ébredő σ mechanikai feszültséggel, az arányossági tényező pedig az E rugalmassági modulus reciproka:

\sigma = E \cdot \varepsilon

vagy

\Delta L = \frac{1}{E} \times F \times \frac{L}{A}   = \frac{1}{E} \times L \times \sigma.

A Hooke-törvény csak bizonyos anyagokra és bizonyos terhelési feltételek mellett érvényes. Az acél lineáris-rugalmas anyagként viselkedik a legtöbb mérnöki alkalmazás szempontjából: a Hooke-törvényt követi a rugalmassági tartományban (vagyis a folyáshatárnál kisebb feszültségeken). Néhány más anyagnál, például alumínium esetében a Hooke-törvény a rugalmas tartomány egy részében teljesül. Ezeknél az anyagoknál rugalmassági határt állapítanak meg, mely alatt a lineáris közelítéstől való eltérés elhanyagolható.

A gumit a Hooke-törvényt nem követő anyagok közé sorolják, mivel rugalmassági modulusa a terheléstől és a hőmérséklettől is függ, valamint állandó terhelés alatt is változik a megnyúlása (kúszás).

Húzott-nyomott rugó[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kis széntartalmú szénacél szakítódiagramja
1. Szakítószilárdság, Rm
2. Folyáshatár, Re
3. Szakadás
4. Felkeményedés
5. Kontrakció (keresztmetszet összehúzódás)

A Hooke-törvény leggyakrabban előforduló alakja valószínűleg a rugóegyenlet, mely a rugóban ébredő erő és a rugó összenyomódása közti összefüggést fejezi ki:

F=-kx\,

ahol k a rugómerevség, dimenziója erő/hosszúság [N/m]

A negatív előjel arra utal, hogy a rugóban ébredő erő és az elmozdulás ellenkező irányúak. Ezt az erőt visszatérítő erőnek hívják, mivel igyekszik a rugót egyensúlyi helyzetébe visszatéríteni.

A rugóban felhalmozott potenciális energia:

U={1\over2}kx^2

A rugóban tárolt energia fenti egyenletét a rugó összenyomásakor végzett munkából lehet kiszámítani, ami az erőnek az elmozdulás szerinti integrálja. (A rugó potenciális energiája mindig pozitív.)

A potenciális energia az U-x síkon olyan parabolaként ábrázolható, melynek csúcspontja az origóban van, tengelye pedig az Y tengely. A rugó kihúzásakor a potenciális energia nő, de ugyanígy a rugó húzásakor is nő az energia. Bármilyen erővel hatunk a rugóra, a hozzá tartozó potenciális energia nagyobb, mint az x=0 ponthoz tartozó egyensúlyi állapoté, ezért a rugó törekszik visszatérni a legkisebb potenciális energiájú pontba, ugyanúgy, ahogy egy hullámos felületen a golyó a legmélyebb gödörbe törekszik.

Ha egy tömeget erősítünk a rugó végére és a rendszert kitérítjük egyensúlyi helyzetéből, lengésbe jön, és sajátlengései szögsebessége:

\omega =  \sqrt{k \over m} radián/másodperc (szögsebesség)

vagy

\nu = {1 \over 2 \pi} \sqrt{k \over m} hertz (1/s)

mivel

\omega = {\nu 2 \pi}

A Hooke-törvény tenzoros alakja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Térbeli feszültségi állapot esetén egy (cijkl) negyedrendű, 81 elemet tartalmazó tenzort kell definiálnunk az (εkl) alakváltozási tenzor (vagy Green tenzor) és a (σij) feszültségtenzor közötti összefüggés leírására.

\sigma_{ij} = \sum_{kl} c_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}

Tekintettel a feszültségtenzor, az alakváltozási tenzor és a merevségi tenzor szimmetriájára, csak 21 együttható független.

Mivel a feszültség nyomás dimenziójú, az alakváltozás pedig dimenzió nélküli elemekből áll, a cijkl elemek szintén nyomás dimenziójúak.

Izotróp anyagok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Izotróp anyagoknak nevezik azokat az anyagokat, melyek tulajdonságai függetlenek a térbeli irányoktól. Ennélfogva az izotróp anyagokra vonatkozó fizikai egyenleteknek függetleneknek kell lenniük a választott koordináta-rendszertől. Az alakváltozási tenzor szimmetrikus tenzor. Mivel a tenzor nyoma független a koordináta-rendszertől, ezért a szimmetrikus tenzor koordináta-független teljes dekompozíciója egy állandó tenzor és egy nyom nélküli szimmetrikus tenzor összege. Így:

\varepsilon_{ij}=\left(\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) +\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)

ahol \delta_{ij} a Kronecker delta függvény. Az első kifejezés a jobb oldalon az állandó tenzor, melyet nyomásnak neveznek, a másik kifejezés pedig a nyom nélküli szimmetrikus tenzor, más néven a nyírási tenzor.

A Hooke-törvény legáltalánosabb alakja izotróp anyagokra ezért e két tenzor lineáris kombinációjaként írható:

\sigma_{ij}=3K\left(\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)
+2G\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)\,

ahol K az rugalmassági modulus és G a nyírási rugalmassági modulus.

Felhasználva a rugalmassági modulusok közötti összefüggéseket, az egyenletek számos különböző módon írhatók fel. Például az alakváltozás kifejezhető a feszültségtenzor elemeinek segítségével:

\varepsilon_{11} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right)
\varepsilon_{22} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right)
\varepsilon_{33} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right)
\varepsilon_{12} = \frac{\sigma_{12}}{2G}
\varepsilon_{13} = \frac{\sigma_{13}}{2G}
\varepsilon_{23} = \frac{\sigma_{23}}{2G}

ahol E a rugalmassági modulus (vagy Young-modulus) és a \nu a Poisson-tényező.

Zéró-hosszúságú rugók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A zéró-hosszúságú rugó az állandó erejű rugó helytelen megnevezése. A Hooke-törvény bizonyos speciális fizikai feltételek esetén nem alkalmazható. A zéró-hosszúságú rugót 1932-ben Lucien LaCoste találta fel. A zéró-hosszúságú rugó fizikai hossza megegyezik kinyújtott hosszával, rugóereje arányos teljes hosszúságával, nem csak a kinyújtás hosszával, emiatt rugóereje a rugó teljes elasztikus tartományán belül állandó (vagyis nem követi a Hooke-törvényt).

Elméletileg egy végtelen tömegű inga, melynek visszatérítő erejét ilyen rugó (illetőleg csaknem bármilyen rugó) biztosítja végtelen természetes periódusidejű lehet. A szeizmométerekbe épített hosszú periódusidejű ingák képesek távoli földrengések leglassabban haladó, legáthatolóbb hullámainak észlelésére. Zéró-hosszúságú rugót alkalmaznak a nehézségi gyorsulás anomáliáinak mérésére szolgáló graviméterekben is. Egyes ajtókat szintén zéró-hosszúságú rugó működtet a becsapódás elkerülése érdekében. A zéró-hosszúságú rugók egyes autófelfüggesztések esetében símább működést eredményeznek.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]