Alakváltozás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szilárd testek külső mechanikai terhelések (erő, nyomaték, nyomás) hatására alakváltozást szenvednek. Az alakváltozás a test terhelés alatti és terheletlen állapotában mérhető méreteinek különbsége.

Fajlagos nyúlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hosszú, állandó keresztmetszetű rúd húzóerő hatására megnyúlik. A deformáció mértékéül a fajlagos nyúlás használatos, mely alkalmas arra, hogy az alakváltozást más esetekkel össze lehessen hasonlítani:

 \varepsilon  = \frac {{\ L - L_0} } {L_0} =  \frac {{\Delta} {L} } {L_0}

ahol

L_0 a rúd terheletlen hossza, m
L a húzott rúd megnyúlt hossza, m
{{\Delta} {L} } a rúd megnyúlása, m

A dimenzió nélküli fajlagos nyúlás pozitív, ha a rúd hossza megnő terhelés alatt (húzás esetén) és negatív, ha a rúd hossza csökken (nyomás esetén), mivel a hosszak mindig pozitív értékek, így a fajlagos nyúlás előjele az alakváltozás előjelével változik. A fajlagos nyúlás dimenziónélküli mennyiség, a gyakorlatban 100-szoros értékét százalékban szokták megadni. A közönséges szerkezeti anyagokra (fémekre, fára, betonra, kőre stb.) a fajlagos nyúlás igen kis érték szokott lenni, ezért a gyakorlatban előfordul a mikrométer/méter vagy μm/m megadás is.

Fajlagos nyúlás egy pontban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rúd egy pontjában a fajlagos nyúlás a fenti hányados határértéke, ha az L hossz tart nullához:

 \varepsilon  = \mathop {\lim_{L \to 0}} \frac {{\Delta} {L} } {L}

Más szóval a fajlagos nyúlás egy pontban a pont közvetlen szomszédságában lévő távolságok változása.

A lineáris fajlagos nyúlás általános esete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy tetszőleges alakú testre, melyen bármilyen alakváltozás lép fel, a fajlagos nyúlás értéke a mérés térbeli irányától függ. Vizsgáljuk meg egy A pont lineáris alakváltozását, mely a koordináta-rendszer origója is egyúttal, az x tengelyen helyezzünk el egy második B pontot, mely az alakváltozás következtében a B' pontba mozdul el, akkor a lineáris fajlagos nyúlás:

\varepsilon_x = \mathop {\lim_{B \to A}}{{|AB'|-|AB|} \over {|AB|}}

Hasonló számítást végezhetünk az y illetőleg a z tengely irányában is, ekkor az εy és az εz értékeket kapjuk. Egy tetszőleges \overrightarrow u elmozdulásmezőre (elmozdulásmező = elmozdulásvektorok a test minden pontjára) a lineáris fajlagos nyúlások így írhatók:

\varepsilon_x = {{\partial u_x} \over {\partial x}} ; \varepsilon_y = {{\partial u_y} \over {\partial y}} ; \varepsilon_z = {{\partial u_z} \over {\partial z}}

ahol

\varepsilon_i az i tengely irányába vett fajlagos nyúlás,
{{\partial u_i} \over {\partial i}} pedig az \overrightarrow u i irányba vett parciális deriváltja egy tetszőleges pontban.

Nyírási fajlagos nyúlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fentiekhez hasonlóan határozható meg egy ponton átmenő két egyenes szögének fajlagos változása, melyet nyírási fajlagos nyúlásnak neveznek. A γ nyírási fajlagos nyúlás két egyenes által bezárt szög változásának és a terheletlen állapotban mért szög viszonyának határértéke, ha az egyenes szakaszok hossza tart nullához. Egy adott \overrightarrow u elmozdulásmezőhöz az előzőekhez hasonlóan a nyírási fajlagos nyúlások a következőképpen írhatók:

\gamma_{xy} = {{\partial u_x} \over {\partial y}} + {{\partial u_y} \over {\partial x}} ; \gamma_{yz} = {{\partial u_y} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial y}} ; \gamma_{xz} = {{\partial u_x} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial x}}

Fajlagos térfogatváltozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bár az ε lineáris fajlagos nyúlás és a γ nyírási fajlagos nyúlás teljes mértékben leírja egy test alakváltozását, lehetséges más jellemző fajlagos alakváltozást is definiálni. Ilyen lehet például a fajlagos térfogatváltozás, mely egy test térfogatában végbement változás mértékét adja meg. A fajlagos térfogatváltozás definíciója egy adott pontban:

\vartheta = \lim_{V_0 \to 0}{V - V_0 \over {V_0 }}

ahol

\vartheta a fajlagos térfogatváltozás,
V_0 a kezdeti térfogat,
V a terhelés alatt felvett térfogat.

Descartes-koordinátarendszerben mindig igaz az alábbi összefüggés:

\vartheta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z

ahol

\vartheta a fajlagos térfogatváltozás,
\varepsilon_x , \varepsilon_y , \varepsilon_z a fajlagos nyúlás az x, y és z tengelyek irányába.

Az alakváltozási tenzor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris és nyírási fajlagos nyúlás fenti jelölései segítségével felírható az alakváltozási tenzor:

\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left({\nabla_i u_j + \nabla_j u_i}\right)

Vektoros jelölést használva:

\varepsilon = {1 \over 2} ( \vec{\nabla}\vec{u} + (\vec{\nabla}\vec{u})^T)

Behelyettesítve a hagyományos jelölést a tenzoros jelölésbe írható Descartes-korrdinátarendszerre:

\varepsilon_{ij}= 
 \left[{\begin{matrix}
   {\varepsilon _x } & \frac {\gamma _{xy} } {2} & \frac {\gamma _{xz} } {2} \\  
   \frac {\gamma _{yx} } {2} & {\varepsilon _y } & \frac {\gamma _{yz} } {2} \\  
   \frac {\gamma _{zx} } {2} & \frac {\gamma _{zy} } {2} & {\varepsilon _z }   
  \end{matrix}}\right]

Ezzel a fajlagos térfogatváltozás egyenlő:

\vartheta = \varepsilon_{ij}g^{ij}

ahol gij egy kontravariáns metrikus tenzor (felhasználva a tenzor jelölést: \vartheta = tr(\varepsilon))

Főnyúlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fajlagos nyúlások értéke nemcsak a test deformációjától, hanem a koordináta-rendszer megválasztásától függ. Általános esetben az alakváltozási tenzor minden eleme valós, tehát egy tetszőlegesen felvett „kis kocka” minden lapján mérhető megnyúlás és szögelfordulás is. Minden alakváltozáshoz azonban felvehető három olyan koordináta-rendszer, melyekben csak hosszirányú nyúlás lép fel, szögelfordulás nincs. Ezek a három egymásra merőleges irány a főirány, az ezekben az irányokban mérhető megnyúlás neve főnyúlás. Az alakváltozási tenzor alakja ilyen lesz:

\varepsilon_{ij}= 
 \left[{\begin{matrix}
   {\varepsilon _1 } & 0 & \ 0 \\  
   \ 0 & {\varepsilon _2 } & \ 0 \\  
   \ 0 & \ 0 & {\varepsilon _3 }   
  \end{matrix}}\right]

Az \varepsilon_1, \ \varepsilon_2 , \ \varepsilon_3 \, a három főnyúlás

Főnyúlások síkbeli esetre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel az alakváltozási tenzor valós szimmetrikus mátrix, SVD dekompozícióval ortogonális sajátvektorokra lehet bontani. A sajátvektorok irányaiban nincs nyírás, csak húzás vagy nyomás. Kétdimenziós tenzorok esetén:

\varepsilon_{ij}= 
 \left[{\begin{matrix}
   {\varepsilon _x } & {\frac {\gamma _{xy}} {2}} \\  
   {\frac {\gamma _{xy}} {2}} & {\varepsilon _y } \\  
  \end{matrix}}\right]

A  \varepsilon _1 és  \varepsilon _2 főnyúlás értéke:

\varepsilon _1 = \frac {\varepsilon _x + \varepsilon _ y}{2} + \sqrt{ \left( \frac {\varepsilon _x - \varepsilon _y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma _{xy}} {2}\right)^2 }
\varepsilon _2 = \frac {\varepsilon _x + \varepsilon _ y}{2} - \sqrt{ \left( \frac {\varepsilon _x - \varepsilon _y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma _{xy}} {2}\right)^2 }

Nagy alakváltozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az eddigiekben feltételeztük, hogy a test méreteihez képest kis alakváltozást szenved. Figyelembe kell venni, hogy az alakváltozás növekedésével a lineáris fajlagos nyúlás hibája nő. Nagy deformációk esetén az alakváltozási tenzor így írható:

\varepsilon_{ij} = {1 \over 2}({g_{ij}-g_{ij}^{(0)}})

ahol

gij a test metrikus tenzora a deformáció után,

gij(0) pedig a nyugalomban lévő test metrikus tenzora.

Mérnöki nyúlás és valódi nyúlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris fajlagos nyúlás definíciójában (ezt hívják mérnöki fajlagos nyúlásnak), a megnyúlásokat nem lehet összegezni. Tegyük fel, hogy a test kétszer szenved deformációt, először \delta \ell_1 majd \delta \ell_2 (kumulatív deformáció). A végső fajlagos nyúlás

\varepsilon = \frac{\delta \ell_1 + \delta \ell_2}{\ell_0}

ez kismértékben eltér a nyúlások összegétől:

\varepsilon_1 = \frac{\delta \ell_1}{\ell_0}

és

\varepsilon_2 = \frac{\delta \ell_2}{\ell_0 + \delta \ell_1}

Mivel \delta \ell_1 \ll \ell_0, ez így írható át:

\varepsilon_2 \simeq \frac{\delta \ell_2}{\ell_0}

és így

\varepsilon \simeq \epsilon_1 \; + \epsilon_2 \;

A valódi fajlagos nyúlás (természetes nyúlás, logaritmikus nyúlás vagy Hencky-nyúlás) viszont összegezhető. Definíciója:

e^{\,\!\varepsilon_T}= \frac{\ell_f}{\ell_0}

és így

\varepsilon_T= \ln \left (\frac{\ell_f}{\ell_0} \right )

ahol

\ell_0 az anyag eredeti hossza,
\ell_f az anyag végső hossza.

A mérnöki fajlagos nyúlás a valódi fajlagos nyúlás sorbafejtésével nyerhető.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13