Komplex analízis

A komplex analízis vagy komplexfüggvény-tan a matematika azon ága, amely a komplex változós komplex értékű függvényekkel foglalkozik. Alkalmazzák kétdimenziós fizikai problémák modellezésében és a számelméletben is.

A komplex analízisben központi szerep jut a függvények differenciálhatóságának, s konkrétan a holomorf illetve a meromorf függvények vizsgálatának.

Komplex függvény

Komplex függvény alatt olyan függvényeket értünk, melyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza.

Differenciálhatóság

A derivált

Valamely $f\in \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ függvény deriváltja a z helyen a valós esethez hasonlóan értelmezhető. Ha az alábbi határérték létezik, akkor f a z helyen differenciálható, s a határértéket az f függvény z pontban vett deriváltjának nevezzük:

$f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,$

Ha egy f függvény valamely Ω halmaz minden pontján differenciálható, akkor definiálható a derivált függvény is:

$f':\Omega \to \mathbb {C}$

A Cauchy–Riemann egyenletek

A komplex függvények differenciálhatóságra adnak ekvivalens feltételt a Cauchy–Riemann egyenletek. Ezek mögött az van, hogy a határértéknek az adott pontban a komplex sík minden irányából közelítve azonosnak kell lennie. Mivel a komplex sík izomorf a kétdimenziós valós vektortérrel, $f$ komplex változós függvény felírható ekvivalens módon $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ alakban a következőképpen:

$f(x,y)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}$

Pontosan akkor differenciálható $f$ valamely $z=x+yi$ pontban, ha teljesülnek az úgynevezett Cauchy–Riemann egyenletek:

$\partial _{1}f_{1}(x,y)=\partial _{2}f_{2}(x,y)\qquad \partial _{1}f_{2}(x,y)=-\partial _{2}f_{1}(x,y)$

Ekkor a derivált értéke a következő:

$f'(z)=\partial _{1}f_{1}(x,y)+\partial _{1}f_{2}(x,y)i$

Minden differenciálható komplex függvény analitikus

Megmutatható, hogy minden differenciálható komplex függvény analitikus, azaz az adott pont egy környezetében a függvény Taylor-sora létezik és előállítja a függvényt.

Integrálás

Mivel mind a változónak, mind a függvény értékének lehet valós és képzetes része is, az integrálás a vektorfüggvényekéhez hasonló. Legelterjedtebb a komplex síkon végigfutó görbe menti vonalintegrál. Cauchy alaptétel: bármely analitikus függvényt egy zárt görbén integrálva az eredmény nulla.

$\oint f(z)dz=0$

A vonalintegrált sokszor akkor is tudjuk értelmezni, ha a függvény nem analitikus, azaz a a görbén belül szakadása, pólusa van. Példaként az $f(z)=1/z$ függvényt az origó körüli körön integrálva (kihasználva, hogy $z=|z|e^{i\phi })$

$\oint {\frac {1}{z}}dz=i\int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi i$

Ebből megkapható, hogy egy ${\frac {f(z)}{z-z_{\circ }}}$ alakú függvény, ahol $f(z)$ tetszőleges, analitkus függvény, $z_{\circ }$ pólust tartalmazó zárt görbére vett integrálja az analitikus függvény $z_{\circ }$ pont-beli értékét adja.

$\oint {\frac {f(z)}{z-z_{\circ }}}dz=f(z_{\circ })2\pi i$

Holomorf függvények

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt holomorfnak nevezzük, ha differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Meromorf függvények

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt meromorfnak nevezzük, ha legfeljebb izolált pontokban nem differenciálható.

A szó az ógörög meros (μέρος) szóból ered, mely azt jelenti rész, utalva arra, hogy a függvény csak az értelmezési tartományának egy részén differenciálható.