Transzcendens számok

A matematikában azokat a valós vagy komplex számokat nevezik transzcendensnek, amelyek nem algebrai számok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak, más szóval nem megoldásai

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

alakú egyenletnek, ahol n ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha majdnem minden szám transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában Cantor, 1874), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az e számról Hermite 1873-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy π is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha β₁, ..., β_n egymástól, a₁, ..., a_n pedig nullától különböző algebrai számok, akkor

$a_{1}e^{\beta _{1}}+\cdots +a_{n}e^{\beta _{n}}\neq 0.$

Innen azonnal adódik, hogy π nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes e^iπ+1=0 Euler-összefüggés. 1934-ben Alekszandr Oszipovics Gelfond és Theodor Schneider egymástól függetlenül igazolták, hogy ha a∉{0,1}, a algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor a^b transzcendens, ilyen szám például a √2^√2.

Az 1960-as években Alan Baker bebizonyította, hogy ha α₁, ..., α_n nemnulla algebrai számok, amelyekre log α₁, ..., log α_n lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor 1, log α₁, ..., log α_n lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.

Bizonyítottan transzcendens számok

Számok, melyekről bebizonyították, hogy transzcendensek:

• e^a, ha a algebrai szám és nem nulla (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• π (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• e^π, Gelfond-állandó, továbbá e^−π/2=i ⁱ (a Gelfond–Schneider-tétel alapján).
• a^b, ahol a algebrai és nem 0 vagy 1, b pedig irracionális algebrai szám (a Gelfond–Schneider-tétel alapján), különösen:

$2^{\sqrt {2}},$ a Gelfond–Schneider-állandó (vagy Hilbert-féle szám).

• A lánctört-állandó, Carl Ludwig Siegel (1929)

${1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{6+\ddots }}}}}}}}}}}$

• sin(a), cos(a) és tan(a), valamint multiplikatív inverzeik: cosec(a), sec(a) és cot(a), bármely nem nulla a algebrai számon véve (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• a koszinuszfüggvény attraktív fixpontja, ami a $cos(x)=x$ egyenlet egyetlen megoldása (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• ln(a), ha a algebrai szám és nem 1, a logaritmusfüggvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• W(a), ha a algebrai szám és nem 0, a Lambert-féle W függvény bármely ágán (a ✓[Lindemann–Weierstrass-tétel]] alapján).
• Γ(1/3), Γ(1/4), és Γ(1/6).
• 0,64341054629..., azaz a Cahen-állandó.
• 0,12345678910111213141516..., azaz a Champernowne-állandó.
• Ω, avagy a Chaitin-állandó (mivel ez egy nem kiszámítható szám).
• A Fredholm-szám

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{-2^{n}}$

vagy általánosabban, bármely a következő alakban felírható szám:

$\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2^{n}}$

ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.

• A korábban már említett Liouville-állandó

$\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!};$

vagy általánosabban, bármely a következő formában felírható szám:

$\sum _{n=1}^{\infty }\beta ^{n!}$

ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.

• A Prouhet–Thue–Morse-állandó.
• Bármely szám, melynek számjegyei valamely számrendszerben Sturmian-szót képeznek.
• Bármely β > 1-re

$\sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };$

ahol $\beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor$ az egészrész függvény.

Nem bizonyítottan transzcendens számok

Számok, melyekről még nem ismert, hogy transzcendensek vagy algebrai számok:

• A π és az e legtöbb összege, szorzata, hatványa stb., pl. π + e, π − e, πe, π/e, π^π, e^e, π^e, π^√2, e^π2 nem ismert, hogy racionális, algebrai irracionális vagy transzcendens. Fontos kivételek a π + e^π, πe^π és az e^π√n (bármely pozitív egész n-re), melyekről bebizonyosodott, hogy transzcendensek.
• Az γ Euler–Mascheroni-állandó (amiről még az sem ismert, hogy irracionális-e).
• A Catalan-állandó, amiről szintén nem ismert, hogy irracionális-e.
• A ζ(3) Apéry-állandó, (amit Apéry irracionálisnak talált)
• A Riemann-féle zéta-függvény páratlan egész helyen vett függvényértékei – ζ(5), ζ(7), ... – (nem ismert, hogy irracionális-e)
• A δ és α Feigenbaum-állandók
• A Mills-állandó.

Kapcsolódó sejtések:

• Schanuel-sejtés
• négy exponenciális-sejtés.

Általánosítás

Általánosan, ha $L/K$ testbővítés, akkor lehet beszélni arról, hogy $L$ egyes elemei algebraiak vagy transzcendensek $K$ fölött.

Történetük

Nagy 18. századi matematikusok, mint Gottfried Wilhelm Leibniz (omnem rationem transcendunt) és Leonhard Euler már rendelkeztek a transzcendencia fogalmával, habár ne adtak rá egzakt definíciót. Euler nehezen megfogható számokról beszélt, melyeket túllépik az algebrai módszerek hatását. 1748-ben Introductio in Analysin Infinitorum című tankönyvében arról írt, hogy ha $a\neq 1$ pozitív racionális szám, és $b$ pozitív egész szám, ami nem négyzetszám, akkor $a^{\sqrt {b}}$ nem algebrai, de nem irracionális; ez utóbbin algebrai irracionális számot értve. Ezt 1934-áben egy általánosabb eredmény részeként bizonyította az orosz Alexander Ossipowitsch Gelfond, illetve a német Theodor Schneider is igazolta. A két bizonyítás lényegi pontokon különbözik.

Joseph Liouville 1844-ben elsőként látta be transzcendens számok létezését, sőt explicit konstrukcióval példát is adott. Cikkében megmutatta, hogy minden $x$ legalább másodfokú algebrai számhoz van egy $c>0$ konstans, hogy minden $p/q$ approximációra:

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c}{q^{n}}}$

Innen következik, hogy a Liouville-konstans is transzcendens:

$L=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0{,}110001000000000000000001000\dots$

Lásd: Beweis des Approximationssatz von Liouville im Beweisarchiv.

Georg Cantor 1874-ben belátta, hogy nemcsak hogy vannak transzcendens számok, hanem hogy a „legtöbb” valós szám transzcendens. A számelméletre hagyatkozó Liouville-lel szemben Cantor halmazelméleti eszközöket használt. A matematikailag pontos megfogalmazás Cantor dolgozatának legfontosabb eredménye, hiszen elmélyítette a számokról való tudást. A konzervatívabb matematikusok, mint Leopold Kronecker ezt nehezen fogadták el. A bizonyításból látható, hogy míg az algebrai számok halmaza megszámlálható, addig az összes valós szám halmaza nem megszámlálható. Innen következik, hogy a transzcendens számok halmaza is megszámlálhatatlan.

Jelölje a továbbiakban $\mathbb {T}$ a transzcendens számok halmazát! Ekkor

${\hbox{card}}\,\mathbb {T} ={\hbox{card}}\,\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}$

ahol $2^{\aleph _{0}}$ $\mathbb {R}$ számosságát szimbolizálja. ${\aleph _{0}}$ a megszámlálható végtelen halmazok számossága, többek között a természetes számok $\mathbb {N}$ halmazáé is.

Az $e$ és a $\pi$ transzcendenciáját Charles Hermite, illetve Ferdinand von Lindemann vezette le elsőként. Ezeket a bizonyításokat más matematikusok sokat egyszerűsítették, David Hilbert (1862–1943) bizonyítása 1893-ben jelent meg, „Über die Transcendenz der Zahlen $e$ und $\pi$“ című dolgozatában.

Lásd:b:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π.

Kapcsolódó szócikkek

• Transzcendenciaelmélet
• Diofantikus approximáció
• Algebrai szám
• Pí (szám)
• Euler-féle szám

Irodalom

• Baker, Alan. Transcendental Number Theory, reissue, reprint, illustrated, revised, Cambridge University Press. DOI: 10.2277/052139791X. ISBN 0-521-39791-X, ISBN 978-0-521-39791-9 [1975] (1990) , Google Könyvkereső (angolul)
• Klukovits Lajos: Algebrai és transzcendens számok (PDF). (Hozzáférés: 2010. október 12.)
• Alan Baker: Transcendental number theory. Reprinted edition. Cambridge University Press, London u. a. 1990, ISBN 0-521-39791-X (Ein anspruchsvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt).
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-64630-2 (Bietet einen einführenden Überblick zum Thema „transzendente Zahlen“ an).
• David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen $e$ und $\pi$. In: Mathematische Annalen. Bd. 43, Nr. 2/3, 1893, S. 216–219, doi:10.1007/BF01443645.
• Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson: Abstract Algebra and Famous Impossibilities. Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-97661-2 (Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für $\pi ).$.)
• Oskar Perron: Irrationalzahlen. (= Göschens Lehrbücherei. Gruppe 1: Reine Mathematik. Bd. 1, ZDB-ID 503797-9). de Gruyter, Berlin u. a. 1921.
• Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 81, ISSN 0072-7830). Springer, Berlin u. a. 1957.
• Andrei Borisovich Shidlovskii: Transcendental numbers. (= De Gruyter Studies in Mathematics. Bd. 12). de Gruyter, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-11-011568-9 (Besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert).

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Transzendente Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Nézd meg a Transzcendens szám címszót a Wikiszótárban!