Transzcendens számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Transzcendens szám szócikkből átirányítva)

A matematikában azokat a valós és komplex számokat nevezik transzcendensnek, amelyek nem algebrai számok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak, más szóval nem megoldásai

alakú egyenletnek, ahol n ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha a valós és komplex számok nagy többsége transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában Cantor, 1874), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az e számról Hermite 1873-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy π is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha β1, ..., βn egymástól, a1, ..., an pedig nullától különböző algebrai számok, akkor

Innen azonnal adódik, hogy π nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes e+1=0 Euler-összefüggés. 1934-ben Alekszandr Oszipovics Gelfond és Theodor Schneider egymástól függetlenül igazolták, hogy ha a∉{0,1}, a algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor ab transzcendens, ilyen szám például a √22.

Az 1960-as években Alan Baker bebizonyította, hogy ha α1, ..., αn nemnulla algebrai számok, amelyekre log α1, ..., log αn lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor 1, log α1, ..., log αn lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.[1]

Bizonyítottan transzcendens számok[szerkesztés]

Számok, melyekről bebizonyították, hogy transzcendensek:

a Gelfond–Schneider-állandó (vagy Hilbert-féle szám).
  • sin(a), cos(a) és tan(a), valamint multiplikatív inverzeik: cosec(a), sec(a) és cot(a), bármely nem nulla a algebrai számon véve (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
  • a koszinuszfüggvény attraktív fixpontja, ami a egyenlet egyetlen megoldása (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).[2]
  • ln(a), ha a algebrai szám és nem 0 vagy 1, a logaritmusfüggvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
  • W(a), ha a algebrai szám és nem 0, a Lambert-féle W függvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
  • Γ(1/3),[3] Γ(1/4),[4] és Γ(1/6).[4]
  • 0,64341054629..., azaz a Cahen-állandó.[5]
  • 0,12345678910111213141516..., azaz a Champernowne-állandó.[6][7]
  • Ω, avagy a Chaitin-állandó (mivel ez egy nem kiszámítható szám).[8]
  • A Fredholm-szám[9][10]
vagy általánosabban, bármely a következő alakban felírható szám:
ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.[11]
  • A korábban már említett Liouville-állandó
vagy általánosabban, bármely a következő formában felírható szám:
ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.
ahol az egészrész függvény.

Nem bizonyítottan transzcendens számok[szerkesztés]

Számok, melyekről még nem ismert, hogy transzcendensek vagy algebrai számok:

  • A π és az e legtöbb összege, szorzata, hatványa stb., pl. π + e, π − e, πe, π/e, ππ, ee, πe, π2, eπ2 nem ismert, hogy racionális, algebrai irracionális vagy transzcendens. Fontos kivételek a π + eπ, πeπ és az eπ√n (bármely pozitív egész n-re), melyekről bebizonyosodott, hogy transzcendensek.[15][16]
  • Az γ Euler–Mascheroni-állandó (amiről még az sem ismert, hogy irracionális-e).
  • A Catalan-állandó, amiről szintén nem ismert, hogy irracionális-e.
  • A ζ(3) Apéry-állandó, (amit Apéry irracionálisnak talált)
  • A Riemann-féle zéta-függvény páratlan egész helyen vett függvényértékei – ζ(5), ζ(7), ... – (nem ismert, hogy irracionális-e)
  • A δ és α Feigenbaum-állandók
  • A Mills-állandó.

Kapcsolódó sejtések:

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. https://books.google.hu/books?id=SmsCqiQMvvgC&pg=PA10&cad=0_0#PPA10,M1
  2. Dottie Number. Wolfram Research, Inc.. (Hozzáférés: 2016. július 23.)
  3. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  4. ^ a b Chudnovsky, G. V.. Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. Providence, RI: American Mathematical Society (1984). ISBN 0-8218-1500-8  via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  5. Davison & Shallit 1991
  6. K. Mahler (1937.). „Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen”. Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. (40), 421–428. o.  
  7. Mahler (1976) p.12
  8. Calude, Cristian S.. Information and Randomness: An Algorithmic Perspective, 2nd rev. and ext., Texts in Theoretical Computer Science, Springer-Verlag, 239. o (2002). ISBN 3-540-43466-6 
  9. Allouche & Shallit (2003) pp.385,403
  10. Shallit, Jeffrey. Number theory and formal languages, Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996, The IMA volumes in mathematics and its applications. Springer-Verlag, 547–570. o (1999). ISBN 0-387-98824-6 
  11. Loxton, J. H.. 13. Automata and transcendence, New Advances in Transcendence Theory. Cambridge University Press, 215–228. o (1988). ISBN 0-521-33545-0 
  12. Mahler, Kurt (1929.). „Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen”. Math. Annalen 101, 342–366. o. DOI:10.1007/bf01454845.  
  13. Allouche & Shallit (2003) p.387
  14. Pytheas Fogg, N.. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A., Lecture Notes in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag (2002). ISBN 3-540-44141-7 
  15. Weisstein, Eric W.: {{{title}}} (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  16. Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319

Irodalom[szerkesztés]