Majdnem

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A majdnem minden, majdnem mindig és majdnem mindenhol a matematikában a mértékelmélethez kapcsolódó fogalmak. Ha egy állítás majdnem mindenhol (majdnem mindig, majdnem minden elemre) teljesül, akkor a lehetséges eseteknek/elemeknek csak egy nullmértékű részhalmazán nem.

Néhány példa:

  • Ha egy sorozat majdnem minden eleme pozitív, akkor csak véges sok nempozitív eleme van.
  • Majdnem minden valós szám irracionális: csak megszámlálhatóan sok racionális szám van. (Más kontextusban érthetnek alatta nulla Lebesgue-mértékű nem megszámlálható halmazt is, például a [0,1] halmaz egy véletlen eleme majdnem mindig benne van a Cantor-halmaz komplementerében).
  • A számelméletben, ha egy pozitív egészeken értelmezett P(n) tulajdonságra p(N) azoknak az N-nél nem nagyobb k egészeknek a száma, amelyekre P(k) fennáll, akkor P majdnem mindig igaz, ha p(N)/N → 1, amikor N → ∞. (Például majdnem minden szám összetett, mert a prímek száma ln N/N-hez tart.)
  • Egy zárt intervallumon értelmezett monoton függvény majdnem mindenhol differenciálható, azaz a nem differenciálható pontjainak Lebesgue-mértéke nulla.
  • Ha végtelen sokszor feldobunk egy érmét, majdnem mindig lesz a dobások között fej, azaz a csupa írás sorozatnak 0 a valószínűsége, annak ellenére, hogy az esemény nem lehetetlen.
  • Az X_n valószínűségi változó-sorozat majdnem mindenhol konvergál (vagy 1 valószínűséggel konvergál) X-hez, ha
\Pr\left(\big\{\omega \in \Omega \, | \, \lim_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega) \big\}\right) = 1.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]