Síkgörbe

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Sikgorbe-1.jpg

A síkgörbék egydimenziós síkbeli ponthalmazok [forrás?]. Vannak összefüggőek és több ágra osztottak, korlátosak és végtelenbe nyúlók. Némelyek alig, mások jobban eltérnek az egyenestől. Az egyszerű görbéken nincsenek hurkok, más görbék önmagukat metszik. A síkgörbéket többféle gyakorlati és elméleti vizsgálatnál használjuk. Megadásuk, definíciójuk nagyon változatos. Sok nevezetes görbe többféleképpen értelmezhező, ennek következtében a görbék osztályozására nem kerülhet sor, csupán jellemző típusokat tudunk kiemelni.(A matematikai elemzés során az egyenest is közéjük soroljuk.)

Fontosabb görbetípusok[szerkesztés]

Elemi függvények grafikonjai[szerkesztés]

Racionális egész függvények,
Racionális törtfüggvények,
Irracionális függvények,
Exponenciális és logaritmusfüggvények,
Trigonometrikus és arcus függvények,
Hiperbolikus és Area-függvények.

Más fontos görbék[szerkesztés]

Kúpszeletek: kör, ellipszis, parabola, hiperbola;
Harmadrendű görbék: Neil-féle parabola, Agnesi-féle görbe, Descartes-féle levél, cisszoid, sztrofoid;
Negyedrendű görbék: Nikomédész-féle konhoisz, Pascal-féle csiga, kardioid, lemniszkáta, Cassini-görbe;
Cikloisok: közönséges-, hurkolt-, nyújtott-ciklois, epi-/hipociklois, asztroid;
Spirálisok: Arkhimédész-f., Galilei-f., parabolikus -, hiperbolikus -, logaritmikus spirál, klotoid (= cornu spirál), lituus (pásztorbot), körevolvens;
___valamint a láncgörbe, a traktrix, evolvensek, evolúták stb., stb, ...

Differenciálgeometriai leírás[szerkesztés]

A síkgörbét a térgörbék speciális eseteként kezeljük. A térbeli derékszögű koordináta-rendszer (X;Y) síkjában fekvő görbe leírható

(a) -- vektor-skalár függvénnyel,
(b) -- paraméteres egyenletrendszerrel,
(c) -- implicit egyenlettel,
(d) -- explicit egyenlettel,

valamint ez utóbbi három alakban polárkoordinátákkal:

(e) --
(f) -- ,
(g) -- .

Hasonló formulák használhatók más koordináta-rendszerekben.

A görbe lokális jellemzői[szerkesztés]

Ívhossz[szerkesztés]

A görbeszakasz s ívhossza a ds ívelem integrálja a [t..t+dt] intervallumban:

Sikgorbe-3.jpg

Érintő[szerkesztés]

Az görbe adott pontjában az érintő irányú vektor a vektor-skalár függvény t szerinti első deriváltja:

Normális[szerkesztés]

A görbe adott pontjában az érintőre merőleges vektor a vektor-skalár függvény t szerinti második deriváltja:

Gorbulet.jpg

Görbület[szerkesztés]

Az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja:

.

A görbületi sugár (a simulókör sugara) a görbület reciproka:

.

Különleges pontok[szerkesztés]

Inflexiós pont[szerkesztés]

Az inflexiós pontban a görbület , a két csatlakozó görbeíven ellentétes előjelű. Az inflexiós pontban az érintő metszi a görbét.

Sikgorbe-2.jpg

Csúcspont[szerkesztés]

Olyan pont, ahol a görbületnek (lokális) maximuma/minimuma van.

Szinguláris pontok[szerkesztés]

Kettős (többszörös) pont, ahol a görbe önmagát metszi.
Izolált pont: a többi résztől különálló, de a leképezés kép-pontja.
Töréspont: az érintő ugrásszerűen megváltozik ().
Hegy: a pontban az érintő ellentétes irányúra változik.
Simulópont: ahol a görbe önmagát érinti, közös a két ív érintője.
Végpontok: a nem csatlakozó ívdaraboké és a korlátos görbéké.
Aszimptotikus pont: az egy pontra zsugorodó spirális határértéke.

Sikgorbe-4.jpg

Forrás[szerkesztés]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  • Courant – Robbins: Mi a matematika? Gondolat, 1966.
  • Reiman István: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, 1992.
  • Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH Atlasz-Matematika, Springer-Verlag, 1993.