Evolvens

Körevolvens

Egy görbe evolvense egy sima görbe, melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Az evolvens olyan ruletta, amelynél a legördülő elem egyenes, melynek egy adott pontja generálja az evolvenst.

Analitikailag: ha a $r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ függvény a görbe természetes parametrikus alakja (vagyis $|r^{\prime }(s)|=1$ minden s-re), akkor

az evolvens parametrikus alakja:

$t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)$

Egy parametrikus egyenleteivel definiált görbe evolvensének egyenletei:

$X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

$Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

Példák

Körevolvens

Körevolvens
A – alappont, a – alapkör, e – evolvens, i = ρ – ív, t – érintő, v – vezérsugár, ρ – görbületi sugár – lefejtő sugár

A kör evolvense egy spirális görbe. Derékszögű koordináta-rendszerben a görbe egyenletrendszere:

$x={\frac {}{}}a(\cos t+t\sin t)$

$y={\frac {}{}}a(\sin t-t\cos t)$

Ahol t a szög és a a kör sugara.

A körevolvens ívhossza:

$s={\widehat {AP}}={\frac {\rho ^{2}}{2a}}={\frac {at^{2}}{2}}={\frac {r^{2}-a^{2}}{2a}}$

A görbületi kör sugara:

$\rho ={\overline {PT}}=at\,$

Az APO szektor területe:

$T={\frac {a^{2}t^{3}}{6}}={\frac {\rho s}{3}}$

Az x tengelyt a görbe az $x={\frac {a}{\cos \varphi _{0}}}$ abszcisszánál metszi, ahol $\varphi _{0}$ a $\tan \varphi =\varphi$ egyenlet gyöke.

A körevolvensnek nagy jelentősége van a fogaskerekes hajtóműveknél: a jelenleg gyártott fogaskerekek túlnyomó részénél evolvens fogazatot használnak. A fogaskerék geometriai számításainál az alábbi egyenleteket használják:

${\text{inv}}\alpha ={\frac {}{}}\tan \alpha -\alpha$

$r={\frac {r_{a}}{\cos \alpha }}$

ahol az egyes jelölések az ábra szerintiek. Itt r_a az alapkör sugara, α a lefejtőszög, inv α pedig az evolvensszög.

Láncgörbe evolvense

A láncgörbe csúcspontjából kiinduló evolvense egy traktrix. Derékszögű koordinátákkal kifejezve a görbe egyenlete:

$x=t-\tanh(t)\,$

$y={\rm {sech(t)\,}}$

ahol t a szög, sech pedig a szekánshiperbolikus (1/cosh(x)) függvény.

Deriváltja:

Mivel $r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,$ írhatjuk, hogy $r^{\prime }(s)=(1,s)/{\sqrt {1+s^{2}}}\,$ és

$r(t)-tr^{\prime }(t)=(\sinh ^{-1}(t)-t/{\sqrt {1+t^{2}}},1/{\sqrt {1+t^{2}}})$

behelyettesítve $t={\sqrt {1-y^{2}}}/y$ kifejezést: $({\rm {sech}}^{-1}(y)-{\sqrt {1-y^{2}}},y)$

Ciklois evolvense

A ciklois egyik evolvense egy kongruens ciklois. Derékszögű koordinátákat alkalmazva a görbe egyenletrendszere:

$x=a(t+\sin(t))\,$

$y=a(3+\cos(t))\,$

ahol t a szög és a sugár.

Evolúta

Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helyét a görbe evolútájának nevezik. Ez egyben a görbe normálisainak burkológörbéje is. Ha a $\Gamma _{2}$ görbe a $\Gamma _{1}$ görbének evolútája, akkor $\Gamma _{1}$ a $\Gamma _{2}$ görbének evolvense. Adott evolútához végtelen sok görbéből álló evolvenssereg tartozik, ezek a lefejtő fonál eredeti hosszában különböznek egymástól. Adott alapkörhöz tartozó körevolvensek egybevágóak.

Kapcsolódó szócikkek

• Fogaskerék

Külső hivatkozások

A Wikimédia Commons tartalmaz Evolvens témájú médiaállományokat.

• Mathworld