Ciklois

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A legördülő kör egy kerületi pontja cikloist generál

Általánosan a ciklois olyan görbe, amelyet egy irányított görbén csúszás nélkül legördülő kör egy meghatározott pontja ír le.[1] A gyakorlatban azoknak a cikloisoknak van jelentősége, melyeknél az irányított görbe egyenes, illetve kör.

A cikloisok olyan ruletták, amelyeknél a legördülő görbe kör. Ruletták azok a görbék, amelyeket úgy származtatnak, hogy egy álló görbén csúszás nélkül legördítenek egy másik görbét.

Csúcsos ciklois[szerkesztés]

Ha az álló görbe egyenes, az ezen legördülő kör kerületi pontja származtatja a közönséges vagy csúcsos cikloist.

Egyenlete[szerkesztés]

r=2 sugarú kör generálta csúcsos ciklois

Vegyünk egy sugarú kört az -síkon, melynek középpontja a helyen van. Jelöljük ki azt a pontját, ahol az -tengellyel érintkezik. Miközben a kör forog, e pont mozgása rajzolja ki a cikloist. Legyen a paraméter a kör szöggel való elfordulása az óramutató járásával megegyező irányba. A elfordulás függvényében az elfordult kör középpontja: . Ekkor a középpontpól a megfigyelt pontba mutató vektor nem más, mint a középpontból lefelé mutató vektor szöggel elforgatva. Felírható, hogy

,

ahol a szöggel negatív irányba való elforgatás mátrixa:

Átrendezve és behelyettesítve:

,

vagy más alakban:

.


Ez a görbe mindenhol deriválható, kivéve a csúcspontjaiban, amelyek az x-tengelyen vannak, itt a derivált tart a vagy -hez (az érintő függőleges). Kielégíti az alábbi közönséges differenciálegyenletet:

Az iránytangens értéke, ha az érintő szöge :

:

Területe[szerkesztés]

Egy sugarú kör által generált ciklois íve parametrikus alakban:

a

tartományban. Mivel

írható, hogy az ív alatti terület:

Ívhossza[szerkesztés]

A ciklois s ívhossza az alábbiak szerint számíható:

Alkalmazása[szerkesztés]

Brachisztochron görbe és lejtők összehasonlítása

A ciklois az úgynevezett brachisztochron probléma megoldása. Ez a probléma annak a görbének a megkeresése, melyen a leggyorsabban legurul súrlódásmentes esetet feltételezve egy golyó az állandónak modellezett nehézségi erő hatására. A golyó mozgásának periódusideje (amíg a golyó az egyik véghelyzetből az ellenkező oldalra gurul és vissza az eredeti pozíciójába) nem függ az indítás magasságától akkor, ha az ellenállásokat elhanyagoljuk.

A valóságos inga lengésideje csak kis kitérések esetén független közelítőleg a kitérítés nagyságától. A valóságban a kitéréstől függ a lengésidő. A ciklois analízise vezette el Huygenst ahhoz a felismeréshez, hogyan lehet pontos, kitérítéstől független lengésidejű (izochron) ingát készíteni.

Műszer fogaskerekeknél (például mechanikus szerkezetű óráknál) többnyire ciklois fogprofilú fogaskerekeket használnak. A ciklois profilú fogaskerék ellenkerekének profilja szintén ciklois. Előnyei között van az, hogy kisebb fogszámú kerekek készíthetőek ciklois fogazással, mint az általában elterjedt evolvensfogazással alámetszés nélkül.

Története[szerkesztés]

A cikloist először Nicolaus Cusanus vizsgálta, majd később Marin Mersenne. A görbe nevét Galileo Galileitől kapta 1599-ben. 1634-ben Gilles de Roberval igazolta, hogy a ciklois alatti terület háromszorosa a generáló kör területének. 1658-ban Christopher Wren igazolta, hogy a ciklois ívhossza a generáló kör kerületének négyszerese. A cikloist a geométerek "szép Helenéjének" nevezték, mert a 17. század matematikusai között annyi viszályt szított.

Csúcsos, nyújtott és hurkolt ciklois

Rokon görbék[szerkesztés]

Hurkolt és nyújtott hipociklois

A nyújtott ciklois hasonlóan jön létre, mint a csúcsos ciklois, de a pont, melynek nyoma a görbe lesz, nem a generáló kör kerületén, hanem a kör területén belül helyezkedik el. A hurkolt ciklois generáló pontja a kör területén kívül van. Parametrikus egyenletük:

A hurkolt cikloisnál

a nyújtott cikloisnál

[2]

A csúcsos, nyújtott és hurkolt cikloist együttesen trochoidnak nevezik. Ha a görbe, melyen a generáló kör legördül, nem egyenes, hanem szintén kör, amely a kör kerületén kívül gördül le, akkor epitrochoidról beszélünk, ha a generáló kör az álló körön belül gördül le, akkor hipotrochoidról beszélünk. Ezek egy speciális fajtája az epiciklois, illetve a hipociklois, melyek csúcsos cikloisok. A nyújtott, illetve hurkolt epicikloisnak és hipocikloisnak nincs külön elnevezése.

Rajzoló eszköz[szerkesztés]

Nyújtott epi- és hipociklois rajzolására alkalmas eszköz

A trochoidok közül a fizikai megvalósítást figyelembe véve a nyújtott cikloisok megvalósítása a legegyszerűbb, mivel ekkor egy körön belüli pontot kell választanunk. A görbét generáló kör csúszásmentes legördülését az elemek fogazásával lehet biztosítani. A mellékelt képen egy 11 darabból álló, különböző fogszámú műanyag körlapból álló készlet látható. Az egyes elemeken több lyuk van a rajzoló ceruzahegy számára. A legnagyobb elem külső-belső fogazással készült; ezt rögzítve a belső fogazás és bármelyik másikkal alkalmas hipotrochoid rajzolására, míg epitrochoidot bármely két elem párosításával rajzolhatunk. Ha valamelyik külső fogazású elemet rögzítjük, akkor a legnagyobb elemet belső fogazatával legördítve egy hurkolt epitrochoidot rajzolhatunk.


További információk[szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Ciklois témájú médiaállományokat.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  2. Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.