Ciklois

A legördülő kör egy kerületi pontja cikloist generál

Általánosan a ciklois olyan görbe, amelyet egy irányított görbén csúszás nélkül legördülő kör egy meghatározott pontja ír le. A gyakorlatban azoknak a cikloisoknak van jelentősége, melyeknél az irányított görbe egyenes, illetve kör.

A cikloisok olyan ruletták, amelyeknél a legördülő görbe kör. Ruletták azok a görbék, amelyeket úgy származtatnak, hogy egy álló görbén csúszás nélkül legördítenek egy másik görbét.

Csúcsos ciklois

Ha az álló görbe egyenes, az ezen legördülő kör kerületi pontja származtatja a közönséges vagy csúcsos cikloist.

Egyenlete

r=2 sugarú kör generálta csúcsos ciklois

Vegyünk egy $r$ sugarú kört az $xy$-síkon, melynek $\mathbf {C}$ középpontja a $(0,r)$ helyen van. Jelöljük ki azt a ${\boldsymbol {\gamma }}$ pontját, ahol az $x$-tengellyel érintkezik. Miközben a kör forog, e pont mozgása rajzolja ki a cikloist. Legyen a $t$ paraméter a kör $t$ szöggel való elfordulása az óramutató járásával megegyező irányba. A $t$ elfordulás függvényében az elfordult kör középpontja: $\mathbf {C} (t)=(rt,r)$. Ekkor a középpontpól a megfigyelt ${\boldsymbol {\gamma }}(t)$ pontba mutató vektor nem más, mint a középpontból lefelé mutató $(0,-r)$ vektor $t$ szöggel elforgatva. Felírható, hogy

${\boldsymbol {\gamma }}(t)-\mathbf {C} (t)=\mathbf {A} (0,-r)$,

ahol $\mathbf {A}$ a $t$ szöggel negatív irányba való elforgatás mátrixa: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}}$

Átrendezve és behelyettesítve:

${\boldsymbol {\gamma }}(t)=(-r\sin t,-r\cos t)+(rt,r)=(r(t-\sin t),r(1-\cos t))$,

vagy más alakban:

${\boldsymbol {\gamma }}(t):{\begin{cases}x=r(t-\sin t)\\y=r(1-\cos t)\end{cases}}$.

Ez a görbe mindenhol deriválható, kivéve a csúcspontjaiban, amelyek az x-tengelyen vannak, itt a derivált tart a $\infty$ vagy $-\infty$-hez (az érintő függőleges). Kielégíti az alábbi közönséges differenciálegyenletet:

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}$

Az iránytangens értéke, ha az érintő szöge $\theta$:

${\text{tg}}\theta ={\text{ctg}}{\frac {t}{2}}$:

Területe

Egy $r$ sugarú kör által generált ciklois íve parametrikus alakban:

$x=r(t-\sin t)\,$

$y=r(1-\cos t)\,$

a

$0\leq t\leq 2\pi$

tartományban. Mivel

${\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)$

írható, hogy az ív alatti terület:

$A=\int _{t=0}^{t=2\pi }y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}\,dt=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{2}}\cos t\sin t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }=3\pi r^{2}.$

Ívhossza

A ciklois s ívhossza az alábbiak szerint számítható:

$s=\int _{0}^{2\pi }\left(\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right)^{1/2}\,dt=\int _{0}^{2\pi }2r\sin(t/2)\,dt=8r.$

Alkalmazása

Brachisztochron görbe és lejtők összehasonlítása

A ciklois az úgynevezett brachisztochron-probléma megoldása. Ez a probléma annak a görbének a megkeresése, melyen a leggyorsabban legurul súrlódásmentes esetet feltételezve egy golyó az állandónak modellezett nehézségi erő hatására. A golyó mozgásának periódusideje (amíg a golyó az egyik véghelyzetből az ellenkező oldalra gurul és vissza az eredeti pozíciójába) nem függ az indítás magasságától akkor, ha az ellenállásokat elhanyagoljuk.

A valóságos inga lengésideje csak kis kitérések esetén független közelítőleg a kitérítés nagyságától. A valóságban a kitéréstől függ a lengésidő. A ciklois analízise vezette el Huygenst ahhoz a felismeréshez, hogyan lehet pontos, kitérítéstől független lengésidejű (izochron) ingát készíteni.

Műszer fogaskerekeknél (például mechanikus szerkezetű óráknál) többnyire ciklois fogprofilú fogaskerekeket használnak. A ciklois profilú fogaskerék ellenkerekének profilja szintén ciklois. Előnyei között van az, hogy kisebb fogszámú kerekek készíthetőek ciklois fogazással, mint az általában elterjedt evolvensfogazással alámetszés nélkül.

Története

A cikloist először Nicolaus Cusanus vizsgálta, majd később Marin Mersenne. A görbe nevét Galileo Galileitől kapta 1599-ben. 1634-ben Gilles de Roberval igazolta, hogy a ciklois alatti terület háromszorosa a generáló kör területének. 1658-ban Christopher Wren igazolta, hogy a ciklois ívhossza a generáló kör kerületének négyszerese. A cikloist a geométerek "szép Helenéjének" nevezték, mert a 17. század matematikusai között annyi viszályt szított.

Csúcsos, nyújtott és hurkolt ciklois

Rokon görbék

Hurkolt és nyújtott hipociklois

A nyújtott ciklois hasonlóan jön létre, mint a csúcsos ciklois, de a pont, melynek nyoma a görbe lesz, nem a generáló kör kerületén, hanem a kör területén belül helyezkedik el. A hurkolt ciklois generáló pontja a kör területén kívül van. Parametrikus egyenletük:

$x=at-e\sin t\,$

$y=a-e\cos t\,$

A hurkolt cikloisnál

${\frac {e}{a}}=\lambda =>1$

a nyújtott cikloisnál

${\frac {e}{a}}=\lambda =<1$

A csúcsos, nyújtott és hurkolt cikloist együttesen trochoidnak nevezik. Ha a görbe, melyen a generáló kör legördül, nem egyenes, hanem szintén kör, amely a kör kerületén kívül gördül le, akkor epitrochoidról beszélünk, ha a generáló kör az álló körön belül gördül le, akkor hipotrochoidról beszélünk. Ezek egy speciális fajtája az epiciklois, illetve a hipociklois, melyek csúcsos cikloisok. A nyújtott, illetve hurkolt epicikloisnak és hipocikloisnak nincs külön elnevezése.

Rajzoló eszköz

Nyújtott epi- és hipociklois rajzolására alkalmas eszköz

A trochoidok közül a fizikai megvalósítást figyelembe véve a nyújtott cikloisok megvalósítása a legegyszerűbb, mivel ekkor egy körön belüli pontot kell választanunk. A görbét generáló kör csúszásmentes legördülését az elemek fogazásával lehet biztosítani. A mellékelt képen egy 11 darabból álló, különböző fogszámú műanyag körlapból álló készlet látható. Az egyes elemeken több lyuk van a rajzoló ceruzahegy számára. A legnagyobb elem külső-belső fogazással készült; ezt rögzítve a belső fogazás és bármelyik másikkal alkalmas hipotrochoid rajzolására, míg epitrochoidot bármely két elem párosításával rajzolhatunk. Ha valamelyik külső fogazású elemet rögzítjük, akkor a legnagyobb elemet belső fogazatával legördítve egy hurkolt epitrochoidot rajzolhatunk.

További információk

A Wikimédia Commons tartalmaz Ciklois témájú médiaállományokat.

• Magyarított interaktív Flash szimuláció különböző cikloisok animált szemléltetésére. Szerző: David M. Harrison