Görbület

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A görbület matematikai, azon belül geometriai fogalom. Szemléletesen egy sík- vagy térgörbe egyenestől való eltérését, illetve egy térbeli felületnek a síktól való eltérését jellemző számérték.

A görbék és a felületek görbületének definíciója eltérő, az utóbbi az előbbire támaszkodik.

Görbék görbülete[szerkesztés]

Görbület[szerkesztés]

Gorbulet.jpg

Az ábrán s-sel jelölt görbén irányítást definiálunk, s ennek megfelelően értelmezzük a görbe egy-egy pontjában húzott érintő irányát: érintővektor. A görbe egy BC irányított ívéhez tartozó átlagos görbület (v.ö.: átlagsebesség) a két végponthoz tartozó érintővektorok szögének és az s = BC ívhossznak a hányadosa:

A görbe egy pontjában értelmezett görbület e hányados határértéke, midőn az ívhossz 0-hoz tart (s → 0, azaz C → B).

Másként fogalmazva: A pontbeli görbület az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja.

Görbületi sugár, simulókör[szerkesztés]

float

A görbe három (nem egy egyenesbe eső) pontja mindig meghatároz egy síkot (síkgörbe esetén a befoglaló síkot) és e síkban egy kört. Az ú.n. simulókört (görbületi kört) kapjuk, ha a három pont egyetlen pontba konvergál. E kör sugara a görbe adott pontjához tartozó görbületi sugár.

  • A simulókör sugara a görbület reciproka:
,
  • A simulókörök középpontjának mértani helye a görbe evolutája.
  • A görbén egyenletes v pályamenti sebességgel haladó m tömegű testre ható centripetális erő pontonként változó:
.
  • Az egyenes vonal görbülete 0, az r sugarú kör görbülete 1/r minden pontban. E két síkgörbe (és csak ezek) állandó görbületűek. A térben ilyen a körhenger felületére illeszkedő, állandó emelkedésű csavarvonal.

A görbület számítása[szerkesztés]

Ha a görbe egy analitikus függvény grafikonja és egyenlete

,

alakban adott, akkor a görbület:

.


Ha a síkgörbe egyenlete az alábbi parametrikus formában adott:

.

Ha a görbe egyenlete polárkoordinátákkal adott, görbülete:

,

ahol a vessző (') a szerinti deriváltat jelöli.

A görbe egyenlete megadható parametrikus polárkoordinátákkal is:

Ekkor a görbület

.

Ha a görbe egyenlete implicit alakban adott:

, akkor a görbület:

Térgörbék görbülete[szerkesztés]

Paraméteresen adott térgörbe görbülete:

Ha a görbe helyvektorának függvényével adott, akkor a görbület:

Felületek görbülete[szerkesztés]

A felület egy P pontjában a görbültségét (síktól való eltérését) a ponton átmenő jellegzetes felületi görbék görbületének értékével jellemezhetjük. A felületi görbület definíciójánál a P pontra illeszkedő síkmetszetek, s ezek közül csak az ú.n. normálmetszetek görbületét vesszük figyelembe.

Normálmetszet[szerkesztés]

A felület P pontbeli C normálmetszetét (felületi görbét) a felület adott pontbeli normálvektorát tartalmazó sík metszi ki. Egy ilyen normálmetszet görbülete a metszősík helyzetétől függ:

.

A metszősíkot a normálvektor egyenese körül elforgatva az R1 = Rmax és R2 = Rmin értékekhez tartozó C1 és C2 metszetek az adott P ponthoz tartozó főnormálmetszetek.

Euler képlete[szerkesztés]

A C1 főnormálmetszet síkjával α szöget bezáró C normálmetszet görbülete a főnormálmetszetek görbületével kifejezve:

..azaz..
.

Gauss-féle görbület[szerkesztés]

A P ponthoz tartozó két főnormálmetszet görbületi sugarával kifejezve:

.

Középgörbület[szerkesztés]

A P ponthoz tartozó két főnormálmetszet görbületének számtani közepe:

.

Forrás[szerkesztés]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • Bronstejn-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
  • Pach Zs. Pálné - Frey Tamás: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1964.