Lemniszkáta

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Bernoulli-féle lemniszkáta
Lemniszkáta szerkesztése

A Bernoulli-féle lemniszkáta egy negyedrendű, elfordított 8-as számjegy, illetve \infty \, alakú síkgörbe. Ezt a jelet használják a matematikában a végtelen jelölésére.

A lemniszkátát először 1694-ben Jakob Bernoulli írta le az ellipszis egy általánosításaként. Az ellipszis azon pontok mértani helye, melyek két ponttól mért távolságának összege állandó. A Cassini-görbék viszont olyan pontok mértani helye, melyek a két fókuszponttól való távolságának szorzata állandó. Az a speciális Cassini-görbe, amely áthalad a két fókuszpontot összekötő egyenes szakasz felezőpontján, a lemniszkáta.

Egyenletei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ábra jelöléseivel derékszögű koordináta-rendszerben:

{\left(x^2+y^2\right)}^2 - 2c^2\left(x^2-y^2\right) = 0

Polárkoordinátákkal:

\rho = c \sqrt{2 \cos{2\varphi}}

ahol

\varphi\in\langle -\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\rangle \cup \langle \frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\rangle.

Paraméteres egyenletrendszere:

x = c t\sqrt{2}\frac{1+t^2}{1+t^4}
y = c t \sqrt{2}\frac{1-t^2}{1+t^4}

ahol t\in\mathbb{R}.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A görbe polárkoordinátákkal megadott egyenleteihez tartozó görbületi sugár:

R = \frac{2c^2}{3\rho} = \frac{c\sqrt{1+t^4}}{3|t|}

feltéve, hogy \rho\neq 0, illetve t\neq 0. A lemniszkáta egyes hurkainak területe:

T=c^2 \,,

Kerülete:

k\approx 2c \cdot 1,8541 \,.

Ha az

 x^2-y^2=c^2 \,

hiperbolát az

 x^2+y^2=c^2 \,

körön tükrözzük, lemniszkátát kapunk. A második ábrán látható háromtagú csuklós mechanizmus középső rúdjának felezőpontja a mechanizmus mozgatása során lemniszkátát ír le.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.