Cassini-görbe

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Néhány Cassini-görbe. A fókuszpontok (-1, 0) és (1, 0). A görbéken a b2 értéke van feltüntetve.

Cassini-görbe azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, melyek a sík egy és pontjától mért távolságának szorzata állandó. A és pontokat a Cassini-görbe fókuszainak nevezik.

A Cassini-görbék Giovanni Domenico Cassini csillagászról kapták nevüket, aki úgy vélte, hogy a bolygók ilyen pályán keringenek a Nap körül.

Ha egy derékszögű koordináta-rendszert úgy veszünk fel, hogy a pont koordinátái , és a pont koordinátái , akkor a görbék pontjai kielégítik az alábbi egyenletet:

.

Más alakban:

,

illetve

.

A görbék polárkoordinátás egyenlete:

Alakja[szerkesztés]

A görbék alakja a viszonytól függ.

  • esetén ovális alakú zárt görbe
  • esetén egyetlen folytonos, zárt görbe, melynek négy inflexiós pontja van.
  • esetén a görbe Bernoulli-féle lemniszkáta lesz.
  • esetén a diagram két független görbére esik szét.
  • esetén a Cassini-görbe a két fókuszponttá fajul.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Fekete kör: a maximumok és minimumok mértani helye; kék lemniszkáta: az infelxiós pontok mértani helye.
  • A Cassini-görbék negyedrendű síkbeli algebrai görbék.
  • Két szimmetriatengelye van: az egyik a két fókuszponton átmenő egyenes, a másik a két fókuszpont távolságát megfelező, az előzőre merőleges egyenes.
  • esetén két abszolút maximummal és két abszolút minimummal rendelkeznek:
  • esetén a görbék négy inflexiós ponttal rendelkeznek, polárkoordinátás alakjuk:

Az inflexiós pontok mértani helye lemniszkáta, csúcspontokkal.

  • A görbületi sugár polárkoordinátákkal kifejezve:

Forrás[szerkesztés]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091

Külső hivatkozások[szerkesztés]