Sztrofoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Sztrofoid

A sztrofoid (a görög στροφή — hurokból) harmadrendű algebrai görbe. Szerkesztése az ábra jelöléseivel: Egy x,y derékszögű koordináta-rendszerben vegyünk fel a negatív x-tengelyen agy tetszőleges X pontot. Az X pontból húzzunk egy egy (zöld) egyenest, mely az y-tengelyt Y pontban metszi. Az OY távolságot mérjük rá a zöld egyenesre az Y ponttól két irányban, ezzel kijelöljük a P és Q pontot, melyekre igaz: PY=YP=OY. A P és Q pontok mértani helye a sztrofoid görbe.

Egyenlete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

 x^2 \left( a + x \right) + y^2 \left( x - a \right)= 0, \ \  a>0\, ,

ahol a a csúcspont és az origó távolsága, vagy más alakban:

y = \pm x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \,\! .

Paraméteres egyenlete:


  \begin{cases} 
      x = a \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \\
      y = au \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \\
  \end{cases}
,

ahol

 u = \operatorname {tg} \varphi \,\!.

Polárkoordinátákkal:

 \rho = - \frac{a \cos2 \varphi}{ \cos \varphi} \,\! .

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A koordináta-rendszer kezdőpontja, az (O pont), a görbe szinguláris pontja, ahol a görbe érintői az x=y és x=-y egyenesek. Az x=a egyenes a görbe aszimptotája. A görbe csúcspontja a (-a,0) pont. A hurok területe:

 T_1=2a^2-\pi \frac {a^2}{2} ,

a görbe és az aszimptota közötti terület:

 T_2=T_1=2a^2-\pi \frac {a^2}{2} .

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sztrofoidot először Gilles de Roberval tanulmányozta 1645-ben. Ő ezt a görbét pteroidnak (görögül πτερον=szárny) nevezte. A sztrofoid nevet 1849-ben kapta.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.