Dioklész-féle cisszoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Dioklész-féle cisszoid (piros)

A Dioklész-féle cisszoid síkgörbe, algebrai görbe, melyet az alábbi egyenlet definiál:

x^3+(x-a)y^2=0 \,, \ a>0

A görbe azon A pontok mértani helye, melyekre igaz, hogy OA = BC és az A, B, és C pont egy egyenesen fekszik, valamint

  • O az origóban helyezkedik el,
  • B ennek az egyenesnek és a annak az a átmérőjű körnek a metszéspontja, melynek középpontja (a/2,0).
  • A C pont ennek ez egyenesnek és az x=a egyenesnek a metszéspontja.

A Dioklész-féle cisszoid tehát egy a átmérőjű kör és a hozzá tartozó érintőhöz tartozó görbe. Polárkoordinátás egyenlete:

 \rho = a (\sec \vartheta - \cos \vartheta), \qquad \qquad

vagy

 \rho = a \frac {\sin^2 \vartheta} {\cos \vartheta} \qquad \qquad

ahol  \vartheta \in (-\pi / 2, \pi / 2)

Ezek az egyenletek paraméteres alakra is hozhatók:

 
\begin{cases}
      y = a \left( \operatorname{tg} \vartheta - {1 \over 2} \sin 2 \vartheta \right), \qquad \quad \\
      x = a \sin^2 \vartheta, \qquad \quad  \\
\end{cases}

vagy

 
\begin{cases}
      x = \frac {at^2} {1 + t^2},  \qquad \quad \\
      y = \frac {at^3} {1 + t^2},  \qquad \quad \\
\end{cases} \ -\infty < t < \infty,

ahol

 t = \operatorname{tg} \varphi

 \varphi \, az OA egyenesnek az x-tengellyel bezárt szöge.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az O pont a görbe szinguláris pontja, az x=a egyenes aszimptotája. A görbe és az aszimptota közötti terület:

 T = 3/4 \pi a^2 \,

A kocka megduplázása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A cisszoid segítségével Dioklésznak az i.e. III. században sikerült megoldani az úgyevezett déloszi problémát: a kocka kettőzését.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.