Görbe vonalú koordináta-rendszer

Görbe vonalú, affin és Descartes-féle koordináták

A görbe vonalú koordináta-rendszerek az $E^{n}$ euklideszi tér koordináta-rendszerei, melynek koordinátavonalai diffeomorfak a Descartes-féle koordináta-rendszer koordinátavonalaival. Ez azt jelenti, hogy a megfeleltetés lokálisan egy-egyértelmű, és a megfeleltetés, valamint az inverz megfeleltetés is differenciálható. Tehát nem lehet például szakadás vagy töréspont a koordináta-vonalakon.

A leggyakrabban alkalmazott görbe vonalú koordináta-rendszerek:

• a Descartes-féle koordináta-rendszer
• a polárkoordináta-rendszer
• a hengerkoordináta-rendszer
• a gömbkoordináták

A szóban forgó feladattól függően egy megfelelően választott görbe vonalú koordináta-rendszerben a számítások egyszerűbbek lehetnek, mint a Descartes-koordináta-rendszerben. Például a sugaras szimmetriájú feladatokhoz célszerűbb lehet a gömbkoordináták választása.

A következők elsősorban a háromdimenziós térre vonatkoztathatók, ám nagy részük általánosítható más dimenziókra is.

A Descartes-koordináták transzformációja

Egy $n$-dimenziós tér egy pontjának koordinátái egy valós számokból álló $n$-es, amely a pontot a koordináta-rendszer erejéig határozza meg.

A Descartes-féle koordináta-rendszerben az $x_{i}$ koordináták felírhatók az új $u_{i}$ koordináták folytonosan differenciálható függvényeként:

$x_{1}=x_{1}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)\$,     $x_{2}=x_{2}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)\$,   …   $x_{n}=x_{n}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)$

Ez egy egyenletrendszer, ami invertálható, tehát megoldható az $u_{i}$ koordinátákra:

$u_{1}=u_{1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\$,     $u_{2}=u_{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\$,   …   $u_{n}=u_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$

ha az inverz funkcionáldetermináns nem nulla vagy végtelen:

$\det \left({\underline {\underline {J}}}^{-1}\right)=\det {\frac {\partial (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}{\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}}\neq 0$.

Az inverz transzformációnak is folytonosan differenciálhatónak kell lennie.

A transzformáció reguláris azokban a pontokban, melyeknek egyértelmű a megfeleltetése. A többi pontban szinguláris. Ekkor teljesül, hogy ha egy $P$ pont adott az $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ Descartes-koordinátákkal, akkor az inverz transzformációkkal egyértelműen kiszámíthatók a $P$ pont $(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$ görbe vonalú koordinátái. A tér minden reguláris pontja egyértelműen leírható az $\{x_{i}\}$ Descartes-koordinátákkal és ekvivalensen, az $\{u_{i}\}$ görbe vonalú koordinátákkal.

Egy transzformációegyenletekre vonatkozó tétel szerint a fent leírtak alapján a Descartes-féle koordináta-rendszerrel együtt definiálható egy görbe vonalú koordináta-rendszer.

Koordinátavonalak, -felületek és tengelyek

Itt u_i helyett q_i: koordinátavonalak, -felületek és tengelyek (egy kiválasztott hely bázisvektorai szerint)

A gömbkoordináta-rendszer koordinátavonalai, -felületei és tengelyei. Felületek: r – gömbök, θ – kúpok, φ – félsíkok; Vonalak: r – egyenes sugarak, θ – vertikális félkörök, φ – horizontális körök; Tengelyek: r – egyenes sugarak, θ – érintők a vertikális félkörökhöz, φ – érintők a horizontális körökhöz

Ebben a szakaszban a háromdimenziós térben szemléltetjük a koordinátavonalakat, -felületeket és tengelyeket.

A koordinátafelületek megkaphatók egy koordináta rögzítésével és a többi változtatásával:

${\vec {r}}_{ij}(\alpha ,\beta )={\vec {r}}\,(u_{i}=\alpha ,u_{j}=\beta ,u_{k}={\text{const}})$   ahol   $i\neq j\neq k\neq i$

Minden nem szinguláris ponton át az $u_{k}={\text{const}}$ felületsereg egy tagja halad át.

A koordinátavonalak úgy kaphatók, hogy két koordinátát rögzítünk, azaz $u_{i}={\text{const}},\ u_{j}={\text{const}}$ ahol $i\neq j$, és a harmadik koordináta fut:

${\vec {r}}_{k}(\gamma )={\vec {r}}\,(u_{i}={\text{const}},u_{j}={\text{const}},u_{k}=\gamma )$   ahol   $i\neq j\neq k\neq i$

A fenti feltétel azt jelenti a funkcionáldetermináns számára, hogy a háromdimenziós tér minden pontján át három koordinátavonalnak kell áthaladnia, különben a pont nem reguláris.

Például a gömbkoordináták esetén a $z$-tengely pontjaiban az összes $\varphi ={\text{const}}$ sík metszi egymást (ahol $\varphi$ az azimut). Így a $z$-tengely pontjainak koordinátái nem egyértelműek: $z=r\cos \vartheta$, de $\phi$ tetszőleges.

Ha a különböző koordinátavonalak derékszögben metszik egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális.

A koordinátatengelyeket a koordinátavonalak érintőiként definiáljuk. Ez a Descartes-féle koordináta-rendszertől és az affin koordináta-rendszerektől különböző koordináta-rendszerekben azt jelenti, hogy a tengelyek függnek a helytől. Emiatt helyi koordinátákról beszélünk.

Különböző bázisok

Egy vektor koordinátákkal való ábrázolásához bázisra van szükség. Ehhez egy $n$-dimenziós térben $n$ független vektorra van szükség. Egy ilyen bázissal a tér bármely vektora előállítható lineáris kombinációként, ahol is a kombináció együtthatói a vektor koordinátái.

Csak egyenesvonalú esetben állandóak a bázisvektorok; valóban görbe vonalú koordináta-rendszer esetén a bázis, így a koordináták is függenek a helytől. Emiatt ezeket a bázisokat helyi bázisoknak nevezik. Mind a bázisvektorok, mind a koordináták helyfüggők. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben a bázis globális, azaz nem függ a helytől. A helytől kizárólag a koordináták függnek.

Helyi bázis előállítására két módszer létezik:

• kovariáns bázis
• kontravariáns bázis

A két bázis reciprok, illetve duális egymással. Holonóm bázisoknak is nevezik őket. Különböznek abban, hogyan transzformálódnak koordinátaváltáskor – a két transzformáció inverze egymásnak.

Az adott sokaság minden pontjában egyidejűleg létezik mindkét bázis. Így egy tetszőleges vektor ábrázolható egyikben vagy másikban. Az $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordinátákat kombinálják a kovariáns ${\vec {b}}_{u_{i}}$ bázisvektorokkal, és az $a_{u_{i}}^{\,*}$ kovariáns koordinátákat a kontravariáns ${\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$ bázisvektorokkal.

${\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$

Ez a keresztbe párosítás biztosítja, hogy ${\vec {a}}$ vektor a koordinátatranszformáció során invariáns maradjon, mivel a bázis és a koordináták inverz módon transzformálódnak, így kölcsönösen kiegyenlítik egymást. A fizikában a vektorok ezen tulajdonsága alapvető, mivel a fizika törvényeinek a koordináta-rendszer választásától függetlennek kell lenniük. Ilyen például egy részecske sebessége.

Egy vektor (koordinátavektor) kontravariáns, ha a koordináták kontravariánsak, és a bázis kovariáns. Egy vektor (koordinátavektor) kovariáns, ha a koordináták kovariánsak, és a bázis kontravariáns.

Kovariáns bázis

Egy v vektor (pirossal) • egy vektorbázisban (sárgával, balra: e₁, e₂, e₃), érintővektorok a koordinátagörbékhez (feketével) és • egy kovektor bázisban vagy kobázisban (kékkel, jobbra: e¹, e², e³), normálvektorok a koordinátafelületekhez (szürkével) általános (nem feltétlenül ortogonális) görbe vonalú (q¹, q², q³) koordinátákban. A bázis és a kobázis nem egyezik, kivéve, ha a rendszer ortogonális

A kovariáns bázis vektorai minden pontban érintőlegesek valamelyik koordinátavonalhoz.

Normált és természetes bázis

A koordinátavonalak érintő-egységvektorai bázist alkotnak, ami kovariáns bázisvektorokból áll:

${\vec {e}}_{u_{i}}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}\right|}}$

Ezek az egységvektorok a helytől függően fordulnak ${\vec {e}}_{u_{i}}={\vec {e}}_{u_{i}}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)$ irányba.

A $h_{u_{i}}$ skálázási tényezők definíciója:

$h_{u_{i}}:=\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}\right|$,   így $\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}$

A nem normált vektorok alkotják a természetes bázist, amiből a normálással a normált bázis nyerhető. Itt a természetes bázis vektorait ${\vec {b}}_{u_{i}}$ jelöli, a normált bázis vektorait pedig ${\vec {e}}_{u_{i}}$.

${\vec {b}}_{u_{i}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}=h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}$

Kontravariáns koordináták

Az új bázisokkal az összes ${\vec {a}}$ vektor kifejezhető a normált kovariáns ${\vec {e}}_{u_{i}}$ bázisban, illetve a ${\vec {b}}_{u_{i}}$ természetes bázisban:

${\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}}\quad {\text{ahol}}\quad {\tilde {a}}_{u_{i}}={\frac {a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}}},\quad {\vec {b}}_{u_{i}}=h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}$

ahol $a_{u_{i}}$ illetve ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ kontravariáns koordináták, melyek iránya az $u_{i}$-koordinátavonal felé mutat; $a_{u_{i}}$ a normált, ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ a természetes bázisban. A tenzoranalízisben a ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ koordinátákat felső $a^{i}$ indexszel jelölik. Ez nem hatványozást jelent.

Egy ${a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}}={{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}}$ vektorkoordináta hossza megfelel a normált bázisban a $a_{u_{i}}$ koordináta abszolútértékének, a természetes bázisban pedig az ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ koordináta abszolútértékének és a ${\vec {b}}_{u_{i}}$ vektorhossz szorzatának:

$|a_{u_{i}}|=|a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}|\,|{\vec {b}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}|\,|h_{u_{i}}|$

Ha a vektor fizikai mennyiséget jelöl, akkor a természetes bázis hossza tartalmazhat mértékegységet is, ami így összeszorzódik a koordinátákkal. Ez körülményes lehet. Normált bázis esetén azonban a mértékegység teljes egészében a koordinátán múlik. Ezért az $a_{u_{i}}$ koordináták fizikai koordináták, és a normált ${\vec {e}}_{u_{i}}$ bázisvektorok fizikai bázisvektorok.

Megkülönböztetésként az ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ koordináták holonóm koordináták, és a természetes ${\vec {b}}_{u_{i}}$ bázisvektorok holonóm bázisvektorok.

A bázisvektorok és koordináták viselkedése a transzformáció során, Jacobi-mátrix

Helyi kovariáns bázis transzformációja általános görbe vonalú koordináták esetén

A természetes bázisvektorok definíciójából következően az $\{u_{i}\}$ koordináták transzformációja $\{x_{i}\}$ koordinátákká adódik a képlet:

${\vec {b}}_{u_{k}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{j}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}$

A természetes bázisvektorok egyszerűen viselkednek a transzformáció során. Normált bázis esetén a $h_{u_{i}}$ skálázási tényezőkkel is számolni kell:

${\vec {b}}_{u_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}\quad \Longrightarrow \quad h_{u_{k}}{\vec {e}}_{u_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}$

Egy tetszőleges ${\vec {a}}$ vektor kifejezhető mjnd a régi, mind az új bázisban:

${\vec {a}}=\sum _{i}a_{x_{i}}{\vec {e}}_{x_{i}}=\sum _{i,k}a_{x_{i}}\delta _{ik}{\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{i,j,k}a_{x_{i}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial u_{j}}}{\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{i,j}a_{x_{i}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\vec {b}}_{u_{j}}=\sum _{j}{\tilde {a}}_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{j}}$

Így kapható a koordináták viselkedése a transzformáció során:

${\tilde {a}}_{u_{i}}=\sum _{j}a_{x_{j}}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}}}=\sum _{j}a_{x_{j}}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}$

Míg a kovariáns vektorok esetén a $J_{kj}={\tfrac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}$ Jacobi-mátrixszal végezhető, a kontravariáns koordináták transzformációjához a Jacobi-mátrix $J_{kj}^{-1}={\tfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}$ inverzét kell alkalmazni.

A tenzoranalízisben a vektorok viselkedését a fenti transzformációs viselkedéssel definiálják. Maga a ${\vec {r}}$ helyvektor nem vektor, de a $\textstyle \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i}{\vec {b}}_{u_{i}}\mathrm {d} u_{i}$ helyvektor-differenciál már igen.

A Descartes-féle koordináták transzformációjának Jacobi-mátrixa megegyezik azzal a mátrixszal, melyben a természetes bázis oszlopvektorokként szerepel:

${\underline {\underline {J}}}={\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{\partial (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}}=\left({\begin{array}{cccc}\partial x_{1}/\partial u_{1}&\partial x_{1}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{1}/\partial u_{n}\\\partial x_{2}/\partial u_{1}&\partial x_{2}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{2}/\partial u_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\partial x_{n}/\partial u_{1}&\partial x_{n}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{n}/\partial u_{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}|&|&&|\\{\vec {b}}_{u_{1}}&{\vec {b}}_{u_{2}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{n}}\\|&|&&|\end{array}}\right)\equiv [{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]$

Az inverz funkcionáldeterminánsra vonatkozó $\det \left({\underline {\underline {J}}}^{-1}\right)\neq 0$ feltétel a következő kapcsolattal jellemezhető:

${\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}{\vec {b}}_{u_{j}}=\sum _{j}(J^{-1})_{kj}{\vec {b}}_{u_{j}}$

Ez megfelel az ${\vec {b}}={\underline {\underline {A}}}{\vec {v}}$ inhomogén lineáris egyenletrendszernek a ${\vec {v}}$-re. A ${\vec {v}}$ koordinátái tartalmazzák a $\{{\vec {b}}_{u_{j}}\}$ görbe vonalú bázisvektorok koordinátáit. Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a ${\underline {\underline {A}}}$ mátrix magja nulladimenziós, azaz az oszlop- illetve sorvektorok lineárisan függetlenek. Ez ekvivalens azzal, hogy a $\det {\underline {\underline {A}}}$ mátrix determinánsa nullától különbözik. Ez egyértelműen meghatározza az ismeretleneket, azaz minden ponthoz egy, és csak egy $\{{\vec {b}}_{u_{j}}\}$ bázis létezik.

A duális $\{{\vec {b}}_{u_{i}}^{*}\}$ bázis hasonlóan megfeleltethető a fenti mátrix inverzének.

Metrikus tenzor és Gram-determináns

A természetes bázisvektorok skalárszorzatai definiálják a $g$ metrikus tenzor komponenseit:

$g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\cos \!\left(\sphericalangle ({\vec {e}}_{u_{i}},{\vec {e}}_{u_{j}})\right)$

Vegyük észre, hogy a metrikus tenzor a skaláris szorzás kommutativitás miatt szimmetrikus:

$g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}={\vec {b}}_{u_{j}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=g_{ji}$

Emiatt a metrikus tenzornak $N(N+1)/2$ független komponense van, és nem $N^{2}$. Három dimenzióban a független elemek száma 6.

A metrikus tenzor írható, mint a Jacobi-mátrix és transzponáltjának szorzata:

${\underline {\underline {g}}}={\underline {\underline {J}}}^{T}{\underline {\underline {J}}}=[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]^{T}[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]=\left({\begin{array}{ccc}{\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{1}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{n}}\\\vdots &&\vdots \\{\vec {b}}_{u_{n}}\cdot {\vec {b}}_{u_{1}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{n}}\cdot {\vec {b}}_{u_{n}}\end{array}}\right)$

A $g_{ij}$ mennyiségek metrikus együtthatók, melyek segítségével kiszámítható egy vektor hossza a $\{{\tilde {a}}_{u_{i}}\}$ kontravariáns koordinátákból. Ehhez kellenek a skálázási tényezők.

A $h_{u_{i}}$ skálázási tényezőket a $g_{ii}$ átlós elemek adják meg, mivel $|{\vec {b}}_{u_{i}}|={\sqrt {{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}}}$:

$h_{u_{i}}={\sqrt {g_{ii}}}$

A metrikus tenzor determinánsa a $g$ Gram-determináns:

$\det {\underline {\underline {g}}}=g$

$g=\det(J^{T}J)=\det J^{T}\det J=(\det J)^{2}$ következménye, hogy a Jacobi-mátrix determinánsa abszolútértékének meg kell egyeznie a Gram-determináns négyzetgyökével. Másként,

$\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]\equiv \det J=\pm {\sqrt {g}}$,

ahol az előjel a bázis irányításától függ. A normált bázisvektorokból alkotott determináns a multilinearitás miatt adja, hogy:

$\det[{\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {e}}_{u_{n}}]=\det[h_{u_{1}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{1}},h_{u_{2}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,h_{u_{n}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{n}}]={\frac {\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{n}}}}={\frac {\pm {\sqrt {g}}}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{n}}}}$

A metrikus tenzor $g^{ij}$ inverzére teljesül a Cramer-szabály miatt, hogy:

$g^{ij}:=(g^{-1})_{ij}={\frac {A^{ij}}{g}}$

ahol $A^{ij}$ az adjungált és $g$ a Gram-determináns. A kifejtési tételből következik, hogy:

$g:=\det {\underline {\underline {g}}}=\sum _{i,j}g_{ij}A^{ji}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=A^{ji}$

és az inverz metrikus tenzorra:

$g^{ij}={\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial g_{ji}}}$

Ortogonális koordináta-rendszerek

Ha az $n$-dimenziós térben minden nem szinguláris pontban az $n$ koordinátavonal mindegyike merőlegesen metszi egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális. Ekkor az ${\vec {e}}_{u_{i}}$ vektorok az $\mathbb {R} ^{n}$ tér ortonormált bázist alkotnak:

${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$,   $i,j=1,2,\ldots ,n$   ($\delta :\$Kronecker-delta)

A természetes bázisvektorokra:

$g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\delta _{ij}=h_{u_{i}}^{2}\delta _{ij}$

Így az ortogonális bázisvektorok esetén a metrikus tenzor diagonális:

${\underline {\underline {g}}}=\left({\begin{array}{cccc}h_{u_{1}}^{2}&0&\ldots &0\\0&h_{u_{2}}^{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &h_{u_{3}}^{2}\end{array}}\right)$

Az inverz metrikus tenzor ortognális koordináták esetén:

$(g^{-1})_{ij}\equiv g^{ij}=h_{u_{i}}^{-2}\delta _{ij}$

${\underline {\underline {g}}}^{-1}=\left({\begin{array}{cccc}1/h_{u_{1}}^{2}&0&\ldots &0\\0&1/h_{u_{2}}^{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &1/h_{u_{n}}^{2}\end{array}}\right)$

A Gram-determináns is egyszerűbb:

$g=h_{u_{1}}^{2}h_{u_{2}}^{2}\cdots h_{u_{n}}^{2}$

A természetes, illetve normált bázisvektorok esetén a determináns:

$\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]={\sqrt {g}}=h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{3}}\quad \iff \quad \det[{\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {e}}_{u_{n}}]=1$

Háromdimenziós tér

Ha az ortonormált bázis jobbkezes, akkor teljesülnek a következők:

${\vec {e}}_{u_{i}}\times {\vec {e}}_{u_{j}}=\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}$,   $i,j,k=1,2,3$   ($\varepsilon$: Levi-Civita-szimbólum)

Bővebben:

${\begin{aligned}{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}&={\vec {e}}_{u_{3}}\quad &{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}&={\vec {e}}_{u_{1}}\quad &{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}&={\vec {e}}_{u_{2}}\\{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}&=-{\vec {e}}_{u_{3}}&{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}&=-{\vec {e}}_{u_{1}}&{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}&=-{\vec {e}}_{u_{2}}\end{aligned}}$

Egyenes vonalú koordináta-rendszerek

Általában a görbe vonalú koordináta-rendszerekben nincs globális bázis, mivel a koordinátavonalak nem egyenesek. Globális bázis csak abban a speciális esetben létezik, hogyha a koordinátavonalak egyenesek. Ekkor a koordinátafelületek síkok, seregeik párhuzamos síkseregeket alkotnak. Ekkor a transzformációs egyenletek így alakulnak:

$x_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}u_{j}+b_{i}\quad \iff \quad J_{ij}\equiv {\frac {\partial x_{i}}{\partial u_{j}}}=A_{ij}$

ahol $A_{ij}$ és $b_{i}$ konstansok. A $J$ Jacobi-mátrix megfelel az $A$ transzformációs mátrixnak. Így a ${\vec {b}}_{u_{i}}$ természetes egységvektorok alkotják az $A$ mátrix $i$-edik oszlopát.

Duális bázis: kontravariáns bázis

A kontravariőns bázisvektorok minden pontban merőlegesek a megfelelő koordinátafelületekre. Duálisak a kovariáns bázisvektorokra. Egy vektor kontravariáns komponensei megkaphatók a kontravariáns bázisvektorokra való vetítéssel.

Ortogonális koordináták

A ${\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}}$ vektor $a_{u_{i}}$ kontraviariáns koordinátái egy ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$ ortonormált bázis számára megkaphatók vetítéssel:

${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\delta _{ij}}=a_{u_{i}}$

Nem derékszögű koordináta-rendszerekben egy vektor egy kovariáns koordinátája megkapható a ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {a}}$ vetítéssel a megfelelő kovariáns koordinátára. Ez nem a $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordináta, mivel nem teljesül a ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$ reláció, azaz a metrikus tenzor nem diagonális. Ehhez szükség van a duális tér és a duális bázis fogalmára.

Duális tér és duális bázis

Az érintővektorok $V$ vektorterének duális $V^{*}$ tere azokból a lineáris funkcionálokból áll, amelyek a vektorokat az alattuk levő testre képezik le: $f\colon \ V\rightarrow K,\ {\vec {v}}\mapsto f[{\vec {v}}]$. A $V^{*}$ duális tér egy bázisát alkotják a $V$-hez duális bázisvektorok. A duális bázisvektorokat úgy definiálják, hogy ${\vec {e}}_{i}^{\,*}[{\vec {e}}_{j}]=\delta _{ij}$.

Definiáljuk továbbá a következő bilineáris formát: $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \ V^{*}\times V\rightarrow K,\ \langle f,{\vec {v}}\rangle =f[{\vec {v}}]$. Ez az úgynevezett duális párosítás. Így a ${\vec {e}}_{i}^{\,*}\in V^{\,*}$ duális bázisvektorok hatása a ${\vec {e}}_{j}\in V$ bázisvektorokra:

$\langle {\vec {e}}_{i}^{\,*},{\vec {e}}_{j}\rangle =\delta _{ij}$

Véges dimenziós $V$ tér esetén $V^{*}$ izomorf $V$-hez, azaz $V\cong V^{\,*}$. Az $E^{n}$ euklideszi térben (ami $\mathbb {R} ^{n}$ skalárszorzattal ellátva) a duális párosítás azonosítható az

$\langle {\vec {w}}^{\,*},{\vec {v}}\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{\,*}\,v_{i}\equiv {\vec {w}}^{\,*}\cdot {\vec {v}}={\vec {w}}{\underline {\underline {g}}}{\vec {v}}$

skalárszorzattal, így a duális vektorok azonosíthatók vektorokként. Itt $K=\mathbb {R}$ és $V=\mathbb {R} ^{n}$ illetve $V^{\,*}=\mathbb {R} ^{n}$.

Duális bázis

A duális bázist úgy definiálják, hogy a ${\vec {e}}_{u_{j}}$ (kovariáns bázisvektorok) és a ${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$ (kontravariáns bázisvektorok, jelen esetben ${\vec {e}}_{u_{j}}$ normált bázisvektorok) skaláris szorzata:

${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}\quad {\text{ahol}}\quad {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}\ ,\quad {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$.

legyen. Hasonlóan, a ${\vec {b}}_{u_{j}}$ természetes bázisvektorokra és ${\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}$ duális bázisvektoraikra:

${\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$.

A ${\vec {b}}_{u_{j}}$ természetes bázisvektorokra és ${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$ duális bázisvektoraikra mátrixjelöléssel:

$[{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]={\underline {\underline {E}}}$

Mivel a kovariáns bázisvektorokból, mint oszlopokból alkotott Jacobi-mátrix megfelel annak, hogy ${\underline {\underline {J}}}=[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]$, azért a kontravariáns vektorokból, mint sorvektorokból alkotott mátrixnak az inverz Jacobi-mátrixnak kell lennie:

${\underline {\underline {J}}}^{-1}=[{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}$

Tehát a duális bázisvektorok megkaphatók a Jacobi-mátrix invertálásával.

A kontravariáns bázisvektorok Gram-determinánsa megegyezik a kovariáns bázisvektorokból alkotott mátrix determinánsának inverzével:

$\det[{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}=\det(J^{-1})={\frac {1}{\det(J)}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}$

Kovariáns komponensek

Az új bázisban az összes ${\vec {a}}$ kifejezhető a ${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$ (normált), illetve a természetes ${\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}$ bázisban:

${\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{u_{i}}^{\ *}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}}\quad {\text{ahol}}\quad {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}=h_{u_{i}}a_{u_{i}}^{\ *},\quad {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$

Itt $a_{u_{i}}^{\ *}$ illetve ${\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}$ kovariáns vektorkomponensek, ami a $a_{u_{i}}^{\ *}$ illetve ${\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}$ koordinátafelületek normálisának irányába mutat. A tenzoranalízisben ${\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}$ indexeit alsó indexbe írják.

A koordináták mint a bázivektorokra vett vetületek

Egy ${\vec {a}}=\sum _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}}$ vektor $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordinátáját az ${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$ bázisvektorra vett vetítéssel kaphatjuk; ez a kontravariáns bázis, a tenzoranalízisben felső indexet használva (${\vec {e}}^{i}$):

${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\delta _{ij}}=a_{u_{i}}$

Ortonormális bázisvektorok esetén a ko- és kontravariáns bázisvektorok megegyezne, így a ko- és kontravariáns koordináták is.

Általában, egy tetszőleges vektor ábrázolható ko- és kontravariáns bázisban:

${\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$

Így a kontravariáns bázis a kovariáns koordinátákkal, és a kovariáns bázis a kontravariáns koordinátákkal kombinálódik. Ez a tulajdonság megőrzi a vektorokat a koordináta-rendszer megváltoztatásakor.

Mindkét oldalt megszorozva ${\vec {b}}_{u_{j}}$-vel kapjuk, hogy:

$\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}} _{g_{ij}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}} _{\delta _{ij}}\quad \Rightarrow \quad a_{u_{j}}^{\,*}=\sum \limits _{i=1}^{n}g_{ij}a_{u_{i}}\quad \Rightarrow \quad a_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}g_{ij}^{-1}a_{u_{j}}^{\,*}$

Így a $g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}$ metrikus tenzorok és $g_{ij}^{-1}={\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}$ inverzük segítségével az $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordináták átvihetők a $a_{u_{j}}^{\,*}$ kovariáns koordinátákba és vissza. A tenzorok nyelvén: az index emelhető és süllyeszthető.

Ortogonális koordináták

Ortogonális koordináta-rendszerekben egybeesnek a bázisvektorok és a duális bázisvektorok normáltjai. Ez a természetes bázisokra azt jelenti, hogy a megfelelő bázisvektorok párhuzamosak, és egy $h_{u_{i}}^{2}$ faktorszorosa az egyik a másiknak:

${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}={\vec {e}}_{u_{i}}\quad \iff \quad h_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {b}}_{u_{i}}\equiv {\vec {e}}_{u_{i}}$

Normált bázisok esetén a koordináták megegyeznek:

$a_{u_{i}}^{\ *}=a_{u_{i}}\quad \iff \quad {\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}=h_{u_{i}}{\tilde {a}}_{u_{i}}\equiv a_{u_{i}}$

Három dimenzióban

Három dimenzióban a duális bázisvektorok kifejezhetők a bázisvektorok vektorszorzatát elosztva a bázisvektorok $\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})$ illetve $\det({\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\vec {b}}_{u_{3}})={\sqrt {g}}$ vegyes szorzatával:

${\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}\ ,\quad \quad {\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}\ ,\quad \quad {\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}$

Kompaktabban, a normált bázisvektorokkal:

$\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{i}}\times {\vec {e}}_{u_{j}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}$

és a természetes bázisvektorokkal:

$\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{k}}^{\,*}={\frac {{\vec {b}}_{u_{i}}\times {\vec {b}}_{u_{j}}}{\sqrt {g}}}$

Míg a (kovariáns) bázisvektorok érintik a koordinátavonalakat, addig a (kontravariáns) duális bázis vektorai merőlegesek a koordinátafelületekre. Például, ha ${\vec {e}}_{u_{2}}$ és ${\vec {e}}_{u_{3}}$ része egy koordinátafelületnek, akkor erre az ${\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*}$ merőleges.

Megfordítva, a kontravariáns bázisvektorokkal hasonlóan kifejezhetők a kovariáns bázisvektorok. Tehát a vektorszorzatot elosztjuk a $\det({\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *})=1/{\sqrt {g}}$ illetve $\det({\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*})$ vegyes szorzattal:

$\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}={\frac {{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}\times {\vec {e}}_{u_{j}}^{\,*}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*})}}=\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})\,{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}\times {\vec {e}}_{u_{j}}^{\,*}$

$\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{k}}={\frac {{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}}{\det({\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *})}}=\det({\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\vec {b}}_{u_{3}}){\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}={\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}$

Ha a kovariáns vektorok jobbsodrású bázist alkotnak, akkor a kontravariáns bázisvektorok is jobbsodratú koordináta-rendszert alkotnak. A két determináns szorzatának ugyanis egynek kell lennie.

Tenzorok

Egy $n$-fokú tenzor kifejezhető $n$- vektor tenzorszorzataként:

${\vec {v}}_{1}\otimes {\vec {v}}_{2}\otimes \ldots \otimes {\vec {v}}_{n}$

A tenzorszorzás nem kommutatív, így a vektorok sorrendje nem cserélhető fel. Az $\{u_{i}\}$ skalárok az alaptest elemei, tehát $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, melyek koordinátatranszformáció során nem változtatnak értéket: $\phi (u_{i})={\tilde {\phi }}({\tilde {u}}_{i})$. A skalárok nulladfokú, a vektorok elsőfokú tenzorok.

A vektorok kétfélék lehetnek, ko- és kontravariáns módon ábrázolhatók, ami $n$-edfokú tenzorok számára $2^{n}$ lehetőséget biztosít. A vektorokkal történő ábrázolással a vektorok tulajdonságait a tenzorok is öröklik. Így például metrikus tenzorokkal az indexek emelhetők és süllyeszthetők, azaz a ko- és kontravariáns ábrázolások egymásba átvihetők. Az indexek emelésével és süllyesztésével egymásból kapható tenzorok egymás asszociáltjai. A tenzorok átveszik a vektorok transzformációval szembeni viselkedését, így a kovariáns részek úgy transzformálódnak, mint a kovariáns vektorok, tehát a Jacobi-mátrixszal, és a kontravariáns részek úgy, mint a kontravariáns vektorok, tehát a Jacobi-mátrix inverzével.

Másodfokú tenzorok

Egy másodfokú tenzor négyféleképpen ábrázolható:

${\underline {\underline {T}}}={\vec {v}}\otimes {\vec {w}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{j}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{j}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}$

A négy eset: (tiszta) kontravariáns, (tiszta) kovariáns, kontra-kovaráns, ko-kovariáns.

Az egységtenzor, melyet az ${\underline {\underline {I}}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$ egyenlőség definiál:

${\underline {\underline {I}}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}g_{ij}\,{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}g^{ij}\,{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}$

Skalárszorzat

Két vektor skalárszorzata:

${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=\sum \limits _{i=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{i}}^{\,*}=\sum \limits _{i=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{i}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}g^{ij}w_{u_{j}}^{\,*}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}g_{ij}w_{u_{j}}$

Ez megfelel a ${\vec {v}}\otimes {\vec {w}}$ másodfokú tenzor kontrakciójának egy nulladfokú tenzorra.

Harmadfokú tenzorok

Egy harmadfokú tenzor nyolcféleképpen ábrázolható:

${\underline {\underline {\underline {T}}}}={\vec {a}}\otimes {\vec {b}}\otimes {\vec {c}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}b_{u_{j}}c_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}b_{u_{j}}c_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}=\ldots =\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}b_{u_{j}}^{\,*}c_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}$

Három dimenzióban a teljesen antiszimmetrikus tenzor adódik, mint:

Az első reláció a Descartes-féle írásmód, a következő kettő pedig a görbe vonalú tenzorverzió leírásai közül kettő.

${\underline {\underline {\underline {\mathcal {E}}}}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{x_{i}}\otimes {\vec {e}}_{x_{j}}\otimes {\vec {e}}_{x_{k}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}{\mathcal {E}}_{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}=\ldots =\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}{\mathcal {E}}^{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}$

$\epsilon _{ijk}=\det[{\vec {e}}_{x_{i}},{\vec {e}}_{x_{j}},{\vec {e}}_{x_{k}}]\equiv \det[{\vec {e}}_{x_{i}},{\vec {e}}_{x_{j}},{\vec {e}}_{x_{k}}]\ ,\quad {\mathcal {E}}_{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}},{\vec {b}}_{u_{j}},{\vec {b}}_{u_{k}}]={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}\ ,\quad {\mathcal {E}}^{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}]={\frac {1}{\sqrt {g}}}\,\epsilon ^{ijk}$

A bázisvektorok deriváltjai

A bázisvektorok deriváltjai görbe vonalú koordináta-rendszerekben a következőképpen különböznek a Descartes-féle koordináta-rendszerekben megszokottól. Mivel általában a koordinátagörbék nem egyenesek, és a bázisvektorok függenek a helytől, a bázisvektorokat is differenciálni kell. A szorzatszabályt alkalmazva:

${\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left(a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left[{\frac {\partial a_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{u_{i}}+a_{u_{i}}{\frac {\partial {\vec {e}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\right]}$

Illetve a természetes bázisban:

${\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left({\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {b}}_{u_{i}}+{\tilde {a}}_{u_{i}}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\right]}$

Christoffel-szimbólum

Az ${\vec {b}}_{u_{i}}$ bázisvektor egy $u_{k}$ koordináta szerinti deriváltja kifejezhető a $\{{\vec {b}}_{u_{j}}|j=1,2,\ldots ,n\}$ bázisvektorok lineáris kombinációjával:

${\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{j=1}^{n}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}$

A $\Gamma _{ki}^{j}$ együtthatók másodfajú Christoffel-szimbólumok.

$\Gamma _{ki}^{j}={\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}g^{jl}{\vec {b}}_{u_{l}}^{\,}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}g^{jl}\Gamma _{ki,l}=(\nabla u_{j})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{k}\partial u_{i}}}=\sum _{l}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}{\frac {\partial ^{2}x_{l}}{\partial u_{k}\partial u_{i}}}$

A $\Gamma _{ki,l}$ mennyiségek elsőfajú Christoffel-szimbólumok. Egy természetes bázisvektor teljes differenciálja:

$\mathrm {d} {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{j,k=1}^{n}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}\mathrm {d} u_{k}$

Egy vektor deriváltja kifejezhető Christoffel-szimbólumokkal:

${\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {b}}_{u_{i}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{i}}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}\right]{\vec {b}}_{u_{i}}$

Itt a második egyenlőségjelnél felcseréltük az $i$ és $j$ indexeket, mivel mindkettőre összegzünk, és felbontottuk ${\vec {b}}_{u_{i}}$ zárójeleit.

Kovariáns derivált

Erre alapozható egy vektor kovariáns deriváltja:

$\nabla _{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{i}}={\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}$

Az első term az ${\vec {a}}$ vektormező ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ komponensének megváltozását írja le az $u_{k}$ koordinátatengely mentén, a második a mező megváltozását, amit a koordináta-rendszer változása von magával. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben, ahol a metrikus tenzor konstans, a Christoffel-szimbólumok eltűnnek, és a kovariáns derivált megegyezik a parciális deriválttal.

A kovariáns derivált a sokaság geometriájának további geometriai szerkezetét tárja fel, ami lehetővé teszi különböző vektorterek és érintőterek vektorainak összehasonlítását. Így a kovariáns derivált különböző vektorterek differenciálgeometriai összefüggését állítja elő. Ez ahhoz szükséges például, hogy kiszámítsák egy ${\vec {\gamma }}(t)$ görbe görbületét. Ehhez a ${\vec {\gamma }}^{\,\prime }(t+\Delta t)$ és ${\vec {\gamma }}^{\,\prime }(t)$ vektorok differenciálhányadosát kell képezni, melyek különböző vektorterekben élnek.

A metrikus tenzorok kovariáns deriváltjának koordinátái eltűnnek: $\nabla _{u_{k}}g_{ij}=\nabla _{u_{k}}g^{ij}=0$.

A kovariáns deriválttal általánosíthatók az irány szerinti deriváltak:

$\nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}=\sum _{i,k=1}^{n}\left({\tilde {w}}_{u_{k}}{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {w}}_{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}\right){\vec {b}}_{u_{i}}$

Például ha egy görbe egy Riemann-sokaság geodetikus vonala, akkor definíció szerint két pont között a legrövidebb $\gamma :\,\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n},\,t\mapsto {\vec {r}}(t)$ összekötő vonal a sokaságon belül, ami kifejezhető az $\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0$ geodetikus differenciálegyenlettel. Ez azt jelenti, hogy az ${\dot {\vec {r}}}$ görbe sebesség-vektormezője (érintő-vektormezője) konstans a $\gamma$ görbe mentén. Ez a definíció annak felel meg, hogy $\mathbb {R} ^{n}$ geodetikus vonalai egyenesek. A görbe görbülete így eltűnik, így az érintővektor deriváltja is nulla végig a görbe mentén. Lokális koordinátákkal a geodetikus differenciálegyenlet:

$\nabla _{\dot {\vec {r}}}{\dot {\vec {r}}}=\sum _{i,k=1}^{n}{\Biggl (}\underbrace {\frac {\mathrm {d} u_{k}}{\mathrm {d} t}} _{{\dot {u}}_{k}}{\frac {\partial {\dot {u}}_{i}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\dot {u}}_{k}{\dot {u}}_{j}\Gamma _{kj}^{i}{\Biggr )}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mathrm {d} {\dot {u}}_{i}}{\mathrm {d} t}}+\sum _{j,k=1}^{n}{\dot {u}}_{k}{\dot {u}}_{j}\Gamma _{kj}^{i}\right){\vec {b}}_{u_{i}}$

A Christoffel-szimbólumok a $\nabla$ affin összefüggés koordinátái. Ha az együtthatók adottak, akkor megadtuk, hogy a sokaságban hogyan változnak pontról pontra a koordináta-rendszerek. Lehet, hogy több információnk van a térről és a benne levő differenciálható sokaságról, így tudjuk, hogy mit értünk kovariáns differenciáláson, így a Christoffel-szimbólumok meghatározhatók. Az utóbbi esetben be kell látni, hogy Riemann-sokaságról van szó, és a sokaság minden érintőtere skalárszorzat, így metrikát indukál, tehát van távolság.

Mivel a tekintetbe vett sokaságok (szemi)-Riemann-sokaságok (itt eltűnik a torziótenzor), azért a $\nabla$ összefüggés egy Levi-Civita-összefüggés, vagyis torziómentes, illetve szimmetrikus, és emellett még metrikus összefüggés is. Torziómentessége miatt az antiszimmetrizált $\nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}-\nabla _{\vec {a}}{\vec {w}}$ irány menti derivált megegyezik a $L_{\vec {w}}{\vec {a}}\equiv [{\vec {w}},{\vec {a}}]$ Lie-deriválttal. Míg az $\nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}$ irány menti derivált lineáris az ${\vec {w}}$ iránymezőben, azért az $L_{\vec {w}}{\vec {a}}$ Lie-derivált egy argumentumában sem lineáris.

A Christoffel-szimbólumok tulajdonságai

Schwarz tétele, illetve a $\nabla$ torziómentessége miatt a Christoffel-szimbólumok szimmetrikusak két alsó indexükben:

${\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{j}}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{j}\partial u_{i}}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{i}\partial u_{j}}}={\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}}{\partial u_{i}}}\quad \Longrightarrow \quad \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$

Ez alapján a Christoffel-szimbólumok a $g_{ij}$ metrikus együtthatók alapján:

$\Gamma _{ki,l}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{il}}{\partial u_{k}}}+{\frac {\partial g_{kl}}{\partial u_{i}}}-{\frac {\partial g_{ki}}{\partial u_{l}}}\right)\quad \Longrightarrow \quad \Gamma _{ki}^{j}=\sum _{l=1}^{n}{\frac {g^{jl}}{2}}\left({\frac {\partial g_{il}}{\partial u_{k}}}+{\frac {\partial g_{kl}}{\partial u_{i}}}-{\frac {\partial g_{ki}}{\partial u_{l}}}\right)$

Ez következik abból a relációból, hogy:

${\frac {\partial g_{ij}}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial ({\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}})}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}+{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}\Gamma _{ik}^{l}{\vec {b}}_{u_{l}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}+\sum _{l}\Gamma _{jk}^{l}{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{l}}=\sum _{l}\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}+\sum _{l}\Gamma _{jk}^{l}g_{il}=\Gamma _{ik,j}+\Gamma _{jk,i}$

és $\partial _{k}g_{ij}$ két permutációjából, azaz $\partial _{i}g_{jk}$-ból és $\partial _{j}g_{ki}$-ből.

A duális bázisvektorok deriváltjára a következő összefüggést kapjuk:

$\Gamma _{ki}^{j}={\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}\cdot {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\underbrace {{\frac {\partial }{\partial u_{k}}}\overbrace {{\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}} ^{\delta _{ij}}} _{0}-{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=-{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}=-\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$

Ez alapján a kovariáns komponensek kovariáns deriváltjai:

${\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left({\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}-\sum _{j}{\tilde {a}}_{u_{j}}^{\,*}\Gamma _{ki}^{j}\right]{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\quad \Longrightarrow \quad \nabla _{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}={\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}-\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}^{\,*}\Gamma _{ki}^{j}$

Fontos megjegyezni, hogy a Christoffel-szimbólumok három indexükkel nem írnak le harmadfokú tenzort, mivel nem mutatják a tenzoroknál megkövetelt viselkedést a transzformációkkal szemben:

${\bar {\Gamma }}_{ij}^{k}:=\sum _{l,m,n}{\frac {\partial {\bar {u}}_{k}}{\partial u_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial {\bar {u}}_{i}}}{\frac {\partial u_{n}}{\partial {\bar {u}}_{j}}}\Gamma _{mn}^{l}+\sum _{n}{\frac {\partial {\bar {u}}_{k}}{\partial u_{n}}}{\frac {\partial ^{2}u_{n}}{\partial {\bar {u}}_{i}\partial {\bar {u}}_{j}}}$

A transzformációs formulában szereplő második tag miatt nincs szó tenzorról. Emiatt a Christoffel-szimbólumokat jelölik úgy is, hogy ne lehessen tenzornak nézni őket:

$\Gamma _{ij}^{k}=\left\{{\begin{array}{c}k\\ij\end{array}}\right\}\quad {\text{illetve}}\quad \Gamma _{ij,k}=\left[ij,k\right]$

A transzformációval szembeni viselkedésről tett kijelentés általánosítható: Egy tenzor parciális deriváltjának indexe ($i$) úgy transzformálódik, mint egy kovariáns index ($\partial _{i}A$). Ezzel szemben egy $\partial _{i}\partial _{j}A$ második parciális derivált indexei ($i,j$) közül egyik sem transzformálódik tenzorindexek módjára. Kiutat a kovariáns derivált jelent: Egy tenzorkoordináta $n$-edik kovariáns deriváltja újra tenzorkoordináta, kovariáns index módjára transzformálódik. Például ebben: $\nabla _{i}\nabla _{j}A$ $i$ és $j$ kovariáns indexek.

Görbe vonalú koordináták három dimenzióban

Vektorszorzat és alternáló tenzor

Descartes-koordinátákban a vektorszorzás az $\epsilon ^{ijk}$ Levi-Civita szimbólummal:

${\vec {v}}\times {\vec {w}}=\sum _{ijk}\epsilon _{ijk}v_{j}w_{k}{\vec {e}}_{i}^{\,*}=\sum _{ijk}\epsilon ^{ijk}v_{j}^{\,*}w_{k}^{\,*}{\vec {e}}_{i}\quad {\text{ahol}}\quad \epsilon _{ijk}=\epsilon ^{ijk}=\det[{\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j},{\vec {e}}_{k}]$

Görbe vonalú $\{u_{i}\}$ koordináták esetén az

${\mathcal {E}}_{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}},{\vec {b}}_{u_{j}},{\vec {b}}_{u_{k}}]={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}\ ,\quad {\mathcal {E}}^{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}]={\frac {1}{\sqrt {g}}}\,\epsilon ^{ijk}$

alternáló tenzor használható:

${\begin{aligned}{\vec {v}}\times {\vec {w}}&=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}_{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}^{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}^{\,*}{\tilde {w}}_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\\&={\sqrt {g}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *}&{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *}&{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *}\\{\tilde {v}}_{u_{1}}&{\tilde {v}}_{u_{2}}&{\tilde {v}}_{u_{3}}\\{\tilde {w}}_{u_{1}}&{\tilde {w}}_{u_{2}}&{\tilde {w}}_{u_{3}}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}_{u_{1}}&{\vec {b}}_{u_{2}}&{\vec {b}}_{u_{3}}\\{\tilde {v}}_{u_{1}}^{\,*}&{\tilde {v}}_{u_{2}}^{\,*}&{\tilde {v}}_{u_{3}}^{\,*}\\{\tilde {w}}_{u_{1}}^{\,*}&{\tilde {w}}_{u_{2}}^{\,*}&{\tilde {w}}_{u_{3}}^{\,*}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}$

Ez levezethető abból, hogy ${\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}=\sum _{i}{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$:

${\mathcal {E}}_{ijk}:=\left({\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}\right)\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{l}{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ljk}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{l}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}} _{\delta _{l,i}}={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}$

${\vec {v}}\times {\vec {w}}=\sum _{jk}\left({\tilde {v}}_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{j}}\right)\times \left({\tilde {w}}_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{k}}\right)=\sum _{jk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}\left({\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}\right)=\sum _{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}\underbrace {{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}} _{{\mathcal {E}}_{ijk}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$

A következő számításból látható, hogy ${\mathcal {E}}_{ijk}$ tenzorként viselkedik a transzformációkkal szemben. A kovariáns verzió:

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}_{ijk}:=\det \!\left[{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}},{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{j}}},{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{k}}}\right]&=\det \!{\Biggl [}\sum _{l}{\frac {\partial x_{l}}{\partial u_{i}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{l}}} _{{\vec {e}}_{l}},\sum _{m}{\frac {\partial x_{m}}{\partial u_{j}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{m}}} _{{\vec {e}}_{m}},\sum _{n}{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{k}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{n}}} _{{\vec {e}}_{n}}{\Biggr ]}\\&=\sum _{l,m,n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial x_{m}}{\partial u_{j}}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{k}}}\underbrace {\det \!\left[{\vec {e}}_{l},{\vec {e}}_{m},{\vec {e}}_{n}\right]} _{\epsilon _{lmn}}\end{aligned}}$

A vektorszorzat a normált bázisban:

${\begin{aligned}{\vec {v}}\times {\vec {w}}&=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}_{ijk}{\frac {v_{u_{j}}w_{u_{k}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}}{h_{u_{j}}h_{u_{k}}h_{u_{i}}}}=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}^{ijk}h_{u_{j}}v_{u_{j}}^{\,*}h_{u_{k}}w_{u_{k}}^{\,*}h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}\\&={\sqrt {g}}\left|{\begin{matrix}h_{u_{1}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{1}}^{\ *}&h_{u_{2}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{2}}^{\ *}&h_{u_{3}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{3}}^{\ *}\\h_{u_{1}}^{-1}v_{u_{1}}&h_{u_{2}}^{-1}v_{u_{2}}&h_{u_{3}}^{-1}v_{u_{3}}\\h_{u_{1}}^{-1}w_{u_{1}}&h_{u_{2}}^{-1}w_{u_{2}}&h_{u_{3}}^{-1}w_{u_{3}}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left|{\begin{matrix}h_{u_{1}}{\vec {e}}_{u_{1}}&h_{u_{2}}{\vec {e}}_{u_{2}}&h_{u_{3}}{\vec {e}}_{u_{3}}\\h_{u_{1}}v_{u_{1}}^{\,*}&h_{u_{2}}v_{u_{2}}^{\,*}&h_{u_{3}}v_{u_{3}}^{\,*}\\h_{u_{1}}w_{u_{1}}^{\,*}&h_{u_{2}}w_{u_{2}}^{\,*}&h_{u_{3}}w_{u_{3}}^{\,*}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}$

Koordinátafelületek: belső geometria

Az általánosság megszorítás nélkül feltesszük, hogy az $u_{3}={\text{const}}$ koordinátafelületről van szó. A felület egy nem normált normálvektora kollineáris a ${\vec {b}}_{u_{3}}^{\,*}$ kontravariáns bázisvektorral:

${\vec {n}}={\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}={\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{3}}^{\,*}$

Konvenció szerint $\mathbb {R} ^{3}$-ben egy felületet a belső geometria következő mennyiségeivel definiálhatjuk. Azért belső geometriai jellemzők, mivel megállapíthatók a felületen belül szög- és távolságméréssel (lásd első alapforma):

$E=\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{1}}}\right)^{2}={\vec {b}}_{u_{1}}^{\ 2}=h_{u_{1}}^{2}=g_{11}$

$F={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{1}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{2}}}={\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{2}}=h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\vec {e}}_{u_{1}}\cdot {\vec {e}}_{u_{2}}=g_{12}$

$G=\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{2}}}\right)^{2}={\vec {b}}_{u_{2}}^{\ 2}=h_{u_{2}}^{2}=g_{22}$

Ortogonális koordinátákban ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$, tehát $F=0$.

A felület metrikus tenzora és ennek Gram-determinánsa:

${\underline {\underline {\tilde {g}}}}=\left({\begin{array}{cc}E&F\\F&G\end{array}}\right)\quad \Rightarrow \quad {\tilde {g}}=\det {\underline {\underline {\tilde {g}}}}=EG-F^{2}={\vec {b}}_{u_{1}}^{\ 2}{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ 2}-({\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{2}})^{2}=({\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}})^{2}$

A felület funkcionáldeterminánsa:

${\sqrt {\tilde {g}}}={\sqrt {EG-F^{2}}}=\left|{\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\right|=\det \left[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\hat {n}}\right]$

ahol ${\hat {n}}={\vec {n}}/|{\vec {n}}|$ a felület normált normálvektora.

Az inverz metrikus tenzor:

${\underline {\underline {\tilde {g}}}}^{-1}={\frac {1}{\tilde {g}}}\left({\begin{array}{cc}G&-F\\-F&E\end{array}}\right)$

Koordinátafelületek: Külső geometria

A következőkben a görög betűs indexek az 1,2 értékeket veszik fel, és a felület koordinátáit és bázisvektorait jelölik.

A ${\hat {n}}$ $u_{\beta }$ szerinti parciális deriváltja előállítható a ${\vec {e}}_{\alpha }$ felület bázisvektorainak lineáris kombinációjaként. Ez következik a ${\hat {n}}\cdot {\hat {n}}=1$ normálási feltételből a ${\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\hat {n}}=0$ deriváltból következően. Így $\partial _{\beta }{\hat {n}}$ ortogonális az ${\hat {n}}$ felületi normálisra, ennélfogva a felületben kell lennie. Bevezetünk egy másik $h$ mennyiséget is, ami másodfokú tenzor:

$\partial _{\beta }{\hat {n}}=-\sum _{\alpha =1}^{2}h_{\ \beta }^{\alpha }{\vec {e}}_{\alpha }=-\sum _{\alpha =1}^{2}h_{\alpha \beta }{\vec {e}}_{\alpha }^{\ *}$

A szakirodalom a $h$ tenzort másodfokú felülettenzornak, görbületi tenzornak vagy felülettenzornak nevezi. A $h_{\alpha \beta }$ kovariáns koordináták számítása:

$h_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$